完整word版数列求和常见的7种方法
戴笠简介-
数列求和的基本方法和技巧
一、总论：数列求和
7
种方法：
利用等差、等比数列求和公式
错位相减法求和
反序相加法求和
分组相加法求和
裂项消去法求和
分段求和法（合并法求和）
利用数列通项法求和
二、
等差数列求和的方法是逆序相加
法，
等比数列的求和方法是错位
相减法，
三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
数列是
高中代数的重要内容，
又是学习高等数学的基础
.
在高考和各种数学竞赛中都占有重要的
地位
.
数列求和是数列的重要内容之一，
除
了等差数列和等比数列有求和公式外，
大部分数列的求和都
需要
一定的技巧
.
下面，
就几个历届高考
数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧
.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
.
n(a
a)n(n
1)
n1
S
na
d
1
、
等差数列求和公式：
1n
22
(
q
1)na
1
n
a
aq)qa(1
S
2
、等比数列求和公式：
n11n
(q
1)
1
q1
q
nn
11
2
)
1)(2n()k
nn
1S
S
(k
nn
1
、
4
3
、
nn
62
1
kk
<
/p>
1n
1
23<
/p>
)]1n
[nS
(k
5
、
n
2
1k
1
23n
logx
x
xx
x
例
已知
1]
的前
n
，求项和
.
3
3log
2
1
1lo
g
2
x
log
logxx
解：由
333
23log
2
1
n32
x
S
x
x
x
（
利用常用公式）
由等比数列求和公式得
[
n
11)(1
n
)x(1
x1
n
22
＝
＝
＝
1
－
1
n
x
12
1
2
S
*n
<
/p>
)f(n
例
.
S)
32
(n
1
n
1
1)
2
(
n
1)(S
nSn(n
1)
（利用常用公式）
解：
由等差数列求和公式得
，
nn
22Sn
n
(fn)
∴
＝
2
S32)(n
64n
n
34
1n
1
11
＝
＝
,
求的最大值
[
∈
2]
设
S<
/p>
＝
1+2+3+
…
+n
，
nN
n
n
＝当
8
时，
max
508
8
64<
/p>
50
2
50)(n
n
34
n
n18
nf(n)
∴
，即
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的
方法，这种方法主要用于求数列
{a
·
b}
的
前
n<
/p>
nn
项和，其中
{ a
}
、
{ b
}
分别是等差数列和等比数列
.
<
/p>
nn23n
1
S
1
3x
5x
7x
(2n
< br>1)x
例
………………………求和：
①
[
3]
nn
1n
1
x1)(2n
x
}
的通项之积
{
解：由题可
知，
{ }
的通项是等差数列
{2n<
/p>
－
1}
的通项与等比数列
xS
1x
3x
5x
7x
(2n
1)x
（设制错位）
②设
………………………
.
n234n
1n
(1<
/p>
x)S
1<
/p>
2x
2x<
/p>
2x
2x<
/p>
2x
(2n
1)x
（错位相减
）①－②得
nn<
/p>
1
x
1
n
(1
x)S
1n
1)x
2x
<
/p>
(2
再利用等比数列的求和公式得：
n
1
x
n
1n
(1
x)2n<
/p>
1n(2
1
)x)x
(S
∴
n2<
/p>
)
x(12462n,,,
,,
例
前
n
求数列项的和
[4]
.
n32
2
2222n1
解：
由题可知，
{}
的通项是等差数列
{2n}
的通项与等比数
列
{}
的通项之
积
nn
22
2
2462n
S
设
…………………………………①
nn32
2222n22461
S
（设制错位）
………………………………②
n14n3
2
22222n2221222
(1
)S
（错位相减
）
①－②得
n1n
2
34n
2222222n12
2
1n
<
/p>
1
n
222<
/p>
n
4S
∴
n1n
2
三、反序相加法求和，再把它与原这是推导等差数
列的前
n
项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序）
)(a
a
.
数列相加，就可以得到
n
个
n1n012n
2n
1)(2n
1)C
< br>
(C
3C
< br>
5C
例
[5]
求证：
nnn
nn012
Cn
1)C
(2S
C
3C
5
①设…………………………
..
证明：
nnnnn
把①式右边倒转过来
234n
得
C
3C)C
S
< br>
(2n
1)C(2n
1
（反序）
nnnnnmn
< br>m
CC
又由可得
nnn
101n
C
3C)
1)C
(2n
1C
S(2n
②
…………
..
……
..
nnnnnnn01n
1
21(n
)
C
C)<
/p>
2
2S
(2n
2)(
C
C
（反序相加）
< br>
①
+
②得<
/p>
nnnnnn
2n
1)
S
(
∴
n22222
89
sinsinsin1
sin2
3
< br>
sin88
例
求的值
[ 6]
22222
89sin
sin883
Ssin1
sin2
sin
解：设①…………
.
将①式右边反序得
22222
1sin
s
sin
88
sin3
in2
Ssin89
（反序）
…………
..
②
22<
/p>
1
xco
sxx
sinxcos(90
),sin
又因为
（反序相加）
+
①②得
2
222
2
2
)
c
os(sin
8989
cos
(sinS2
1
cos1)(sin2
2)
＝
89
0
1
1nn
44.5
S
＝
∴
题
已知函数
1
3
；
（
1
）证明：
）求的值
2.
（解：
（
1
）先利用指数的相关性质
对函数化简，后证明左边
=
右边
（
2
）利用
第（
1
）小题已经证明的结论可知，
两式相加得：
所以
.
练习、求值：
四、分组法求和
有一类数列，既不是
等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可
分为几个等差、等比或常见的数
列，然后分别求和，再将其合并即可
.
111
4,
< br>7,
,
3n
2,1
1
例
，求数列的前
n
项和：…
[ 7]
1n
<
/p>
2
aaa111S
(1
1)
(
4)
(
7)
(
3n
< br>2)
解：设
n1n2
aaa
将其每一项拆开再重新
组合得
111
)
(1
< br>
4
7
3n
2
S(1
)
（分组）
n1
<
/p>
2n
aaa(3n
1)n(3n
1)nS
n
（分组求和）
＝
时，
当<
/p>
a
＝
1
n
22
11
1
n
(3n
1)na
a
n1)(3n
< br>
n
a
a1S
当时，＝
n
1
a
12
21
a
例
8]
求数列
{n(n+1)(2n+1)}[
的
前
n
项和
.
32
a
k(
k
1)(2k
1)
2k
3k
k
解：设
k
4
nn
2
3
)(2kk)k
3S
(kk
1)(2k<
/p>
1
＝
∴
n11
k
k
将其每一项拆开再重新组合得
23
nnn
kk
k
32
（分组）
S
＝
)
n(1
2
n)
3(12
n)
2(1<
/p>
2
＝
22
)1
n
1)n(nn(n
1)
n(n
1)(2
（分组求和）
＝
222
2
)(n1)
2n(n
＝
2
n1k
11k
k233322
五、裂项法求和裂
项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后这是分解与组合思想在数
列求和中的具
体应用
.
（裂项）
通项分解如：重新组合，使
之能消去一些项，最终达到求和的目的
.
< br>1sin
nn
1)
tan
tan()(n)
f
af(n
1
2
）
（
（
1
）
n
)<
/p>
1ncos(ncos
2
1)11(2n111
a(
)
1
a
）
（
3
）
4
（
（
5
nn
12n
n
1)22n
1)((2n
121n
(nn
1)n1
111][
a
< br>
）