几种常见数列求和方法的归纳
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几种常见数列求和方法的归纳
1
．
公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求
和。主要适用于等差，比数列求和。
（
1
）等差数列的求和公式：
S
n
殊方法：倒序相加）
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
< br>na
1
d
（等差数列推导用到特
2
2
na
1
(
q
1
)
n
（
2
）等比数列的求和公式
S
n
a
1
(
1
q
)
（
切记：公比含字母时一定要讨论
）
(
q
1
)
1
q
n
n
(
n
<
/p>
1)(2
n
1
)
（
3
）
<
/p>
k
2
1
2
2
2
3
2
n
2
6
k
1
（不作要求，但要了解）
例：
（
1
）求
=2+4
+6+
…
+2n
（
2
）求
=x+
+<
/p>
+
…
+
(x
)
2
．
倒序相加：适用于：数列距离首尾项距离
相同的两项相加和相同。
例：
（
1
）求证：等差数列
{
}
的前
n
项和
S
n
n
(
a<
/p>
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
d
< br>
2
2
sin
89
（
2
）
sin
1
sin
2
sin
3
.
3
.
分组求
和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
例：
（
1
）求和：
(1)
S
n
1
11
111
11
1
n
个
2
2
2
2
10
n
1
9
n
10
81
<
/p>
（
2
）
S
n
(
x
1
2
1
1
)
(
x
2
2
)
2
<
/p>
(
x
n
n
)
2
x
x
x
(
x
2
n
1
)(
x
2
n
2
1
)
当
x
1
时，
S
n
2
n
2
n
2
x
(
x
1
)
当
x
1
时<
/p>
,
S
n
4
n
1
4
．裂项相消法：把数列的通项拆成
两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
（分式求和常用
裂项相消
）
1
1
1<
/p>
1
1
1
1
(
)
常见的拆项公式：
n
(
n
1
)
n
n
1
，
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
2
2
n
1
2
n
<
/p>
1
，
1
1
1
1
(
)
，
n
(
n
2)
2
n
n
2
(
2
n
)
2
1
1
，
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
1
1
2
n
1
2
n
3
2
< br>2
n
1
2
n
3
例：
（
1
）求
和：
1
1
1
,
,
,
1
3
2
4
3
5
< br>,
1
,
n
(
n
2)
2
2
4
2
(
2
n
)
2
（
2
< br>）求和
S
n
< br>1
3
3
5
(
2
n
1
)(
2<
/p>
n
1
)
.
S
n
2
n
(
n
1
)
2
n
1
5
．
错位相减法
：比如
a
n
等差
,
b
n
<
/p>
等比
,
求
a
1
b
1
a
2
b
2
a
< br>n
b
n
的和
.
(
适用于：等差数列乘
以等比数列的通项求和
)
例：
求和：
a
,
2
a
,3
a
,
< br>2
3
,
na
n
,
当
a
1
时，
S
n
1
2
3
…
n
n
(
n
< br>1)
，
2
na
n
2
(
n
1
)
a
n
1<
/p>
a
当
a
1
时，
S
n
2
(1
a
)
2