《等比数列求和》教案
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等比数列的前
n
项和
（第一课时）
一、教材分析
1.
从在教材中的地位与作用来看
<
/p>
《等比数列的前
n
项和》是数列这一章中
的一个重要内容，从教材的编写顺序上来看，
等比数列的前
n<
/p>
项和是第三章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差数列的前
n
项和”
与“等比数列”
内容的延续、
与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，
另一方面它又为
进
一步学习
“数列的极限”等内容作准备。就知识的应用价值上来看，
它不仅在现实生活中
有着广泛的实际应用，
如储蓄、
分期付款的有关计算等等，
而且公式推导过程中所渗透的类
比、化归、
分类讨论、
整体变换和方程等思想方法
，
都是学生今后学习和工作中必备的数学
素养。
就内容的人文价值上来看，
等比数列的前
n
项和公式的探究与推导需要学生观察、
分
析、归纳
、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神
,
是培养学生应
用意识和数学能力
的良好载体。
2.
从学生认知角度来看
从学生的思维特点看，
很容易把本节内容与等差数列前
n
项和从公式的形成、
特点等方
面
进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前
n<
/p>
项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于
q
=
1
这一特殊
情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。
3.
学情分析
教学对象是刚进入高中的学生，
虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，
逻辑思维
能力也初步形成，但由于年龄的原因，对问题的分析缺乏深刻
性和严谨性。
4.
重点、难点
教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用．
教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．
公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它
< br>蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。
二、目标分析
1
．知识与技能目标：理解等比数列的前
n
项和公式的推导方
法；掌握等比数列的前
n
项和公式并能运用公式解决一些简单问
题。
2.
过程与方法目标：通过公式
的推导过程，培养学生猜想、分析、综合的思维能力，
提高学生的建模意识及探究问题、
分析与解决问题的能力，
体会公式探求过程中从特殊到一
般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。
3
．情感态度与价值观：通过经历对公式的探索，激发学
生的求知欲，鼓励学生大胆尝
试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的
体验，感受思维的奇异美、结构
的对称美、
形式的简洁美、数学
的严谨美。用数学的观点看问题，
一些所谓不可理解的事就
可以
给出合理的解释，从而帮助我们用科学的态度认识世界。
三、教学方法与教学手段
本节课属于新授课型，主要利用计算机和实物投影等辅助教学，
采用启发探究，合作学习，自主学习等的教学模式
.
四、教学过程分析
学生是认知的主体
，也是教学活动的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，
引导学生去经历知识的
形成与发展过程，
结合本节课的特点，
我按照自主学习的教学模
式来
设计如下的教学过程，
目的是在教学过程中促使学生自主学
习，
培养自主学习的习惯和意识，
形成自主学习的能力。
1
．创设情境，提出问题
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大舍罕为赞赏，对
他说：
我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的
64
个方格上，
第一格放
1
粒小麦，
第二格放
2
粒
，第三格放
4
粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第
64
格．国王觉得太
容易了，就同意了他的要
求。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊．为什么
呢？大家想一下，这个
国王能够满足宰相的要求吗？
【教师提问】
同学们，
你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数．
带着这样的问题
，
学生会动手算了起来，
他们想到用计算器依次算出各项的值，
然后再求和．
这时我对他们的
这种思路
给予肯定．
2
．学生探究，解决情境
2
63
在肯定他们的思路后，我接着问：
1
，
2
，
2
，…，
2
是什么数列？有
何特征？
应归结为什么数学问题呢？
探讨
1
：
，记为（
1
）式，注意观察每一项的特
征，有何联
设
s
=1+
2+
2
2
+
< br>2
3
+
< br>+
2
63
64
< br>系？（学生会发现，后一项都是前一项的
2
倍）
探讨
2
：
<
/p>
如果我们把每一项都乘以
2
，就变成了它
的后一项，（
1
）式两边同乘以
2
则
2
s
64
=
2+
2
2
+
2
3
+
+
2
63
+
2
64
，记为（
2
）式．比较（
1
）
(2
）两式，你有什么发现？
有
【
设计意图
】
留出时间让学生充分地比较，
等比数列前
n
项和的公式推导关键是变
“加”
为“减”，在教师看来这是
很显然的事，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应
着力在这儿做文章，从而
培养学生的辩证思维能力．
解决情境问题：经过比较、研究，
学生发现：（
1
）、（
2
）两式有许多相同的项，把两
s
64
2
64
< br>1
式相减，相同的项就可以消去了，得到：
。老师强调指出：这就是错位相减法，并
要求学生纵观全过程，
反思：为什么（
1
）式两边要同乘以
2
呢？
【
设计
意图
】经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了，
让学生在探索过程中，
充分感受到成功的情感体验，
从而增强学习数学的兴趣和学好数学的
信心，同时也为推导一般等比数列前
n
项和提供了方法。
3
．类比联想，解决问题
这时我再顺势引导学生将结论一般化，
设等比数列为
a
n
，
公比为
q
，
如
何求它的前
n
项和？让学生自主完成，然后对个别学生进行指导
。
一般等比数列前
n
项和：
S
n
a
1
a
2
a
3
a<
/p>
n
1
a
n
?
即
S
n
a
1
a
1
q
a
1
q
2
<
/p>
a
1
q
n
2
a
1
q
n
1
?
方法
1
：错位相减法
2
n
2
a
1
q
n
1
S
n<
/p>
a
1
a
1
q
a
1
q
a
1
q
2
3
n
1
n
<
/p>
a
1
q
qS
n
a
1
q
a
1
q
< br>a
1
q
a
1
q
a
1
(
1
q
n
)
(
1
q
)
S
n
< br>
a
1
a
1
q
1
q
这里的
q
能不能等于
1
？等比数列中的公比能不
能为
1
？
q=1
时是什么数列？此时
s
n
=
？
n
a
1
(
1
< br>
q
n
)
S
n
1
q
na
1
q
1
q
1
n
a
1
a
1
q
n
在学生推导完成之后，我再问：由
(
1
q
)
S
n<
/p>
a
1
a
1
q
得
S
n
1
q
【
设计意图
】
在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知
到未知，步步深入，让学
生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。
4
．讨论交流，延伸拓展
探究等比数列前
n
项和公式，还有其它方法吗？我
们知道
,
s
n
=a
1
+a
1
q+a
1
q
2
+
+a
1
q
n-1
=a
1
+q(
a
1
+a
1
q
+
+a
1
q
n
-2
)
那么我们能否利用这个关系而求出
S
n
呢？
方法
2
：提取公比
q
S
n
a
1
a
1
q
a
1
q<
/p>
2
a
1
q
n
2
a
1
q
n
1