求数列通项公式及求和的基本方法
只因我爱你-
v1.0
可编辑可修改
求数列通项公式及求和的基本方法
1
.
公
式
法
：<
/p>
利
用
熟
知
的
的
公
式
求
通
项
公
式
的
方
法
称
为
公
式
法
，
常
用
的<
/p>
公
式
有
a
n
S
n
S
n
1
(
n
2)
，等差数列或等比数列的通项公式。
*
例一
已
知无穷数列
a
n
的前
n
项和为
< br>S
n
，并且
a
< br>n
S
n
1(
n
N
)
，求
a
n
的通项
1
公式
a
n
.
2
反思：利用相关数列
a
< br>n
与
S
n
的关系：
a
1
S
1
,
a
n
<
/p>
S
n
S
n
1
(
n
2)
与提设条件，<
/p>
建立递推关系，是本题求解的关键
.
<
/p>
2.
累加法：
利用
a
n
a
1
(
a
2
a
1
)
(
a
n
a
n
1
)
求通项公式的方法称
为累加法。累加法是
求型如
a
n
1
a
n
f
(
n
)
的递推数列通项公式的基本方法（
f
(
n
)
可求前
n
项和）
.
n
1
1
*
已知
a
1
,
a
n
1
a
n
(
n
N
)
,
求数列
a
n
< br>通项公式
.
2
2
3.
累乘法
:
利用恒等式
< br>a
n
a
1
n
a
a
2
a
3
n
(
a
n
0,
n
2)
求通项公式的方法称为累乘法
,
a
1
a
2
a
n
1
累乘法是求型如
:
a
n
1
g
(
n
)
a
n
的递推数列通项公式的基本方法
(
数列
g
(
n
)
可求前
n
项
积
).
*
已知
a
1
1
,
a
n
n<
/p>
(
a
n
1
a
n
)
(
n
N
)
,
求数列
a
n
通项公式
.
a
n
n
.
1
v1.0
可编辑可修改
反思
:
用累乘法求通项公式的关键是
将递推公式变形为
a
n
1
g
(
< br>n
)
a
n
.
4.
构造新数列
:
类型
1
a
n
1
<
/p>
a
n
f
(
n
)
a
n
f
(
n
)
，利用累加法
(
逐差
相加法
)
求解。
解法：把原递推公式转化为
a
n
1
例
1:
已知数列
解：
类型
2
a
n
1
a<
/p>
n
满足
a
1
1
，
a
n
1
a
n
< br>2
1
1
3
1
1
a
，求
a
1
n
n
2
2
n
2
n
n
< br>
n
f
(
n
)
a
n
解法
：把原递推公式转化为
a
n
1
f
(
n
)
，利用累乘法
(
逐商相乘法
)
求解。
a
n
例
2:<
/p>
已知数列
解：
a
n
满足
a
1
2
，
a
n
1
3
2
n
a
n
，求
a
n
。
a
n
n
1
3
n
变式
:
（全国
I,
）已知数列
{
a
n
}
，
满足
a
1
=1
，
a
n
a<
/p>
1
2
a
2
3
a
3
(
n
1
)
a
n
1
(
n
≥2)，则
{
a
n
}
的通项
a
n
n
1
1
___
n
2
a
n
n
!
(
n
2
)
2
2
v1.0
可编辑可修改
解
类型
3
a
n
1
<
/p>
pa
n
q
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq
(
p
1
)<
/p>
0
)
）
。
t
p
(
a
n
t
)
，其中
t
解法（待定系数法）<
/p>
：把原递推公式转化为：
a
n
1
q
，再利用换元法转
化
1
p
为等
比数列求解。
例
4:
已知数列
解：
类型
4
a
n
1
n
pa
n
q
n
(
pq
(
p
1
)(
q
1
)
0
)
）
（其中
p
，
q
均为常数，
。
（
或
a
n
1
< br>pa
n
rq
< br>,
a
n
中，
a
1
1
，
a
n<
/p>
1
2
a
n
3
，求
a
n
.
a
n
2
n
1
3
.
其中
p
，
q,
r
均为常数）
。
n
1
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以
q
，得：
a
n
1
p
a
n
1
•
<
/p>
引入辅助数列
b
n
（其
q
n
1
q
q<
/p>
n
q
中
b
n
a
n
q
n
）
，得：
b
n
1
p
1
b
n
再待定系数法解决。
q
q
例
5:
已知数列
解：
a
n
中，
a
1
5
,
a
n
1
1
a
n
(
1
)
n
1
，求
a
n
。
6
3
2
3
v1.0
可编辑可修改
1
1
2
a
n
(
)
n
1
< br>两边乘以
2
n
1
得：
2
n
< br>
1
•
a
n
1
(
2
n
•
a
n
)
1
3
2
3
2
2
n
n
< br>令
b
n
2
•
a
n
，
则
b
n
1<
/p>
b
n
1
,
解之得：
b
n
3
2
(
)
3
3
b
n
< br>1
n
1
n
所以
a
n
n
3
(
)<
/p>
2
(
)
2
3
2
在
a
n
1
类型
5
递推公式为
a
n
2
pa
n
1
qa
n
（其中
p
，
q
均为常数）
。
pa
n
1
qa
n
，
a
1
,
a
2
给出的数列
解
(
< br>特征根法
)
：对于由递推公式
a
n
2
a
n
，方程
x
2
px
q
0
，叫做数列
a
n
的特征方程。
若
x
1
,
x
2
是特征方程的两个根，
当
x
1
n
1
x
2
时，数列
a
n
的通项为
a
n
Ax
1
n
1
B
x
2
，其中
A
，
B
由
a
1<
/p>
,
a
2
决定（即把<
/p>
n
1
a
1
,
a
2
,
x
1
,
x
2
和
n
1
,
2
，代入
a
n
Ax
1
n
1
Bx
2
，得
到关于
A
、
B
的方程组）
；
当
x
1
x
2
时，数列
a
n
的通项为
a
n
(
A
Bn
)
x
1
n
1
，其中
A
，
B
由
a
1
,
a
2
决定（即把
a
1
,
a
2
,
x
1
,
x
< br>2
和
n
1
,
2
，代入
a
n
(
A
Bn
)
x<
/p>
1
n
1
，得到关于
A
、
B<
/p>
的方程组）
。
例
6:
数列
解
a
n
：
3
a
n
2
5
a
n
< br>
1
2
a
n
0
(
n
0
,
n
N
)
，
a
1
a
,
a
< br>2
b
,
求
a
n
4
v1.0
可编辑可修改
（特征
根法）
：的特征方程是：
3
x
2
5
x
2
0
< br>。
x
1
1
,
x
2
2
,
3
2
n
1
a
n
Ax
1
n
1
Bx
< br>2
A
B
(
)
n
1
。又由
a
1
a
,
a
2
b
，于是
3
a
A
B
A
< br>3
b
2
a
2
n
1
故
a
3
b
<
/p>
2
a
3
(
a
b
)(
)
2
n
< br>3
B
3
(
a
b
)
b
A
B
3
练习
:
已知数列
a
n
中，
a
1
1
,
a
2
2
,
a
n
2
2
a
n
1<
/p>
1
a
n
，求
a
n
。
3
3
key
:
a
n
7
3
1
n
< br>
1
(
)
。
4
4
3
变式
:<
/p>
（福建
,
文
,2
2
）
已知数列
（
I
）解：
a
n
a
n
满足
a
1
1,
a
2
3,
a
n
2
3
a
n
1
2
a
n
(
n
<
/p>
N
*
).
求数列
a
n
的通项公式；
(
a
n
a<
/p>
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
...
(
a
2
a
1
)
a
1<
/p>
2
n
1
2
n
2
...
2
1
2
1(
n
N
).
n
*
类型
6
递推公式为
S
n
与
a
n
的关系式。
(
或
S
n
f
(
a
n
)
)
与
解
法
：
利
用
S
1
< br>
(
n
1
)
a
n
S
n
S
n
< br>1
(
n
2
)
a
n
S
n
S
n
1
f
< br>(
a
n
)
f
(
a
n
1
)
消
去
S
n
(
n
2
)
或与
S
n
f
(
S
n
S
n
1
)
(
n<
/p>
2
)
消去
a
n
进行求解。
例
7
：数列
a
n
前
n
项和
S
n
4
a
n
1
2
n
2
.
（
1
）求
a
n
1
与
a
n
的关系；
（
2
）求通项公式
a
< br>n
.
5
v1.0
可编辑可修改
解：<
/p>
（
1
）由
S
n
于是
S
n
1
所以
a
n
1
4
a
n
< br>
1
2
n
2
得：
S
n
1
4<
/p>
a
n
1
1
n
1
1
2
n
1
S
n
(
a
n
a<
/p>
n
1
)
(
1
2
n
2
a
n
a
n
1
1
a
n
<
/p>
1
n
1
2
2
1
1
a
n
n
2
2
)
.
（
2
）应用类型
4
（
a
n
1
两边同乘以
2
由
a
1
n
1
pa
n
q
n
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq
(
p
1
)(
q
1
)
0
)
）
）的方法，上式
a
n
1
2
n
a
n
2
2
为首项，
2
为公差的等差数列，所以
得：
2
n
1
1
n
< br>2
a
n
是以
.
于是数列
< br>a
1
1
1
2
2
n
2
n
a
n
2
2
(
n
1
)
2
n
< br>
a
n
n
1
2
S
1
4
a
1
数列求和的常用方法
数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓通项，
找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法：
一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
.
1
、
等差数列求和公式：
S
n
< br>
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
d
2
2
(
q
1
)
na
1
n
a
a
n
q
2
、等比数列求和公式：
S
n
a
1
(
1
q
)
1
(
q
< br>
1
)
1
q
1
q
3
、
n
1
1
S
n
k
n
(
< br>n
1
)
4
、
S
n
k
2
n
(
n
1
)(
2
n
1
)
2
6
k
1
k
1
n
5
、
< br>
1
S
n
k
3
[
n
(
n
1
)]
2
2
k
1
7
，且
n
例
1
（山东文
18
）设
{
a
n
}
是公比大于
1
的等比数列，
S
n
为
数列
{
a
n
}
的前
n
项和．已知
S
3
6
v1.0
可编辑可修改
a
1
3
，
3
a
2
，
a<
/p>
3
4
构成等差
数列．
（
1
）求数列
{
a
n
}
的等差数列．
（
2
）令
b
n
< br>
ln
a
3
n
1
，
n
1<
/p>
，
2
，
，
求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
．
a
1
a
2
a
3
7
，
解：
（
1
）由已知得
< br>:
(
a
3)
(
a
4)
解得
a
2
2
．<
/p>
1
3
3
a
2
.
2
设数列
{
a
n
}
的公比为
q
，由
a
2
2
2
，可得
a
1
，
a
3
2
q
．
q
又
S
3
7
，可知
2
2
2
q
7
，即
2
q
2
5
q
2
0
，
q
1
．由题意得
q
1
，
q
2
．
<
/p>
2
解得
q
1
2
，
q
2
a
1
1
．故数列
{
a
n
}
的通项为
a
n
2
n
1
< br>．
（
2
）由于
b
n
3
n
ln
a
3
n
1
，
n
1
，
2
，
，
由（
< br>1
）得
a
3
n
1
2
b
n<
/p>
ln
2
3
n
3
n
ln
2
，
又
b
n
1
b
n
3ln
2
n
{
b
n
}
是等差数列．
T
n
< br>b
1
b
2
b
n
n
(
b
1
b
n
)
2
n
(3ln
2
3ln
2)
2
3
n
(
n
1)
ln
2.
2
3
n
(
n
1)
ln
2
．
2
*
故
T
n
练习
：设
S
n
＝
1
+2+3+
…+n，
n
∈
N
,
求
f
< br>(
n
)
S
n
(
n
32
)
S
n<
/p>
1
的最大值
.
二、错位相减法
7