高中数列通项公式求法及数列求和
英雄联盟露露-
数列的综合应用
【
教学目
标】
：
1
、掌握常见的求数列通项的一般方法；
2
、
用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题。
【教学
重难点】
：
1
、掌握常见的求数列通项的一般方法；
2
、用数
列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题
3
、灵活应用等差数列、等比数列的
定义，把非等差或等比数列的问题，转化成等差或
等比数列问题来
解决
.
4
、用数列知识对数列应用题进行正确的建模。
【教学过程】
知识要点梳理
知识点一：求数列通项公式的一般求法
1
．公式法：
①
若数列
是等差数列或等比数列，可利用等差数列或等比数列的通项公式求
.
②
若已知
数列的前
n
项和公式，则
。
2
．观察法：
观察数列特征，找出各项共同的构成规律，归纳找出通项公式。
（
1
）根据所给数列的前几项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出
不同部分与序号
n
之间的关系。
（
2
）
熟记以下数列的前几项：
（
3
）项若
正负相间，注意用
3
．累加法：
利用恒等式
式的方法；
形如
公式常用此法。
4
．累乘法：
（
求通项公
为可求和的等差或者等比数列）
< br>的递推数列求通项
，
或
，
，
表示。
，
，
，
。
利
用
恒
等
式
的递推数列
求通项公式常用此法。
求
通
项
公
式
的
方
法
；
形
< br>如
5
．转化法：
通过对递推关系式进行适当变形，
将非等差（等比
)
数列转化为与等差数列或等比数列
有关的数列形式，从而求得通项公式的方法。常用转化途径：
（
1
）把数列
等差或者等比
数列；
的
每一项都取倒数，构成一个新的数列
，看新数列
是否为
（
2
）
一般地，
对递推式为
均可
用待定
，
（
为常数，
）
的数列
,
< br>
系数法转化为一个新的等比数列来求通项公式。具体步骤：<
/p>
设
得
求等比数列
6
．数列通项
与
的通项。
，利用已知得
即
，从而将数列
转化为
的关系法：
如果已知条件是关于
将条件转化为仅含
或
< br>、
的关系式
，
可利用
，
的关系式再根据关系式想法求通项公式。
注意分
n=1
和
n≥2
两种
情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。
知识点二：数列应用题
在我们生活中经常遇到利息、分期付款和优化等实际问题
.
1.
复利的概念：
银行按规定在一定时间结算利息一
次，
结息后即将利息并入本金，
这种计算方法叫做复
利
.
2.
分期付款
采用分期付款，
< br>可以提供几种付款方案，
供顾客选择，
对于每一种分期付
款方案应明确
以下几点：
(1)
规定多少时间内付清全部款额；
(2)
在
规定时间内分几期付款，选择什么还款方式；
(3)
规定多长时间段结算一次利息
，并且在规定时间段内利息按复利计算
.
在选择分期付款方案时，
必须计算各
种方案中每期应付款多少，
总共应付款多少，
这样
才便于比较，优化选择方案
.
规律方法指导
求数列通项公式的常用方法总结：
1
．公式法：
①
若数列
是等差数列或等比数列，可利用等差数列或等比数列的通项公式求
.
②
若已知
数列的前
n
项和公式，则
。
2
．观察法：
观察数列特征，找出各项共同的构
成规律，用不完全归纳法求通项公式。
3
．累加法：
已知
4
．累乘法：
已知
，求通项公式常用此法。
（
可求和）
，求通项公式常用此法。
5
．转化法：
通过对递推关系式进行适当变形构
造，
得到一个新数列为等差数列或等比数列。
一般地，
对递推式为
，
（
为常数
，
）的数列
,
均可用待定系数
得
法
转
化
为
一
个
新
< br>的
等
比
数
列
来
求
通
项
公
式
。
具
体
步
骤
：
设
，
利用已知得
的通项
。
6
．数
列通项
与
的关系法：
即
，
从而将数列
转化为求等比
数列
已知
含
或
、
的关系式
，利用
，将条件转化为仅
的递推关系式，
再根据关系式选用以上方法求通项公式。
注意分
n=1
和
n≥2
两种
情况
讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。
7
．先猜后证法：
根据已知条件求出前几项，猜出通项，再用数学归纳法证明。
类型一：观察法求数列的通项公式
1
．写出下面各数列的一个通项公式：
（
1
）
1
，
，
，
，
，
…
；
< br>（
2
）
2
，
11
，
101
，
1001
，
10001
，
…
；
（
3
）
3
，
0
，
3
，
0
，
3
，
…
< br>；
解析：
（
1
）各项正负相间，可用
2
3
表示；
各项分母是
2―1
< br>，
2
―1
，
2
―1
，
……
，
∴
数列的一个通项公式为
（
2
）各项
为
10
+1
，
10
+1
，
10
+1
，
10
+1
，
∴
数列的
一个通项公式
。
0
< br>1
2
3
。
（
3
）因为
1
，
0
，
1
，
0
，
……
的通项为
，
∴
3
，
0
，
3
，
0
，
……
的通项公式为
。
总结升华：
（
1
）根据所给数列的前几项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出
不同部分与序号
n
之间的关系。
（
2
）
熟记以下数列的前几项：
（
3
）项若
正负相间，注意用
，
或
，
，
表示。
，
，
，
。
举一反三：
【变式】写出下面各数列的一个通项公式：
（
1
）
，
，
，
，
…
。
（
2
）
8
，
88
，
888
，
8888
，
88888
，
…
【答案】
（
1
）
，
，
，
∴
数列的通项公式为
。
（
2
）将数列改写为
∴
.
类型二：累加法求数列的通项公式
2
．求分别满足下列条件的数列
，
；
（
2
）
的通项公式
，
，可以判断数列
.
.
是等差数列，因此可
（
1
）
思路点拨：
分析（
< br>1
）题的结构
以利用通项公式求解，
（
2
）题的结构
与（
1
）题相似，虽然不是等差数列，
但可以利用等差数
列的通项公式的推导过程中的方法（叠加法）求解
.
解析：
（
1
）∵
∴
（
2
）∵
当
将上面
个式子相加得到：
时，
，
，
，
，
，∴
数列
是等差数列，且首项为
.
，公差为
∴
当
故
总结升华：
1.
在数列中
，若
时，
.
（
符合上式
）
，
为常数，则数列
不是等差数列
.
是等差数列；若
不是
一个常数，而是关于<
/p>
的式子，则数列
2
．当数列的递推公式是
举一反三：
【变式
1
】
数列
【答案】
当
将上面
个式子相加得到：
时，
，
，
，
中
，
，可以利用累加的方法求数列的通项公
式
.
，求通项公式
.
∴
当
故
时，
.
（
）
，
符合上式
【变式
2
】
数列
【答案】
当
将上面
∴
当
故
时，
时，
，
，
，
中
，
，求通项公式
.
个式子相加得到：
（
）
，
符合上式
.
类型三：累乘法求数列的通项公式
3
．求分
别满足下列条件的数列
的通项公式
.
（
1
）
，
；
（
2
）
，
.
思路点拨：
分析（
1
）题的结构
，可以判断数列
是等比数列，因此可以利
用通项公式求解，
（
2
）题的结构
与（
1
）题相似，虽然不是等比数列，但可以利
用等比数
列的通项公式的推导过程中的方法（累乘法）求解
.
解析：
（
1
）∵
∴
，∴
数列
.
是等比数列，且首项为
，公比为
（
2
）∵
，
当
将上面
时
，
，
，
，
…
，
个式子相乘得到：
∴
当
故
总结升华：
时，
（
，
）
，
符合上式
.
1
．在数
列中
个常数，而是关
于
的式子，则数列
，若
为常数，则数列
是等比数列；若
不是一
不是等比数列
.
2
．当数列的递推公式是
举一反三：
，可以利用累乘的方法求数列的通项公式
.
【变式
1
】数列
【答案】
中
，
，求通项公式
.
当
∴
时，
时，
符合上式
，
【变式
2
】已知数列
中，
，
（
n
∈
N
+
）
，求
通项公式
.
【答案】
由
得
，∴
，
∴
，
∴
当
时
，
当
∴
时，
符合上式
类型四：转化法求通项公式
4
．数列
中
，
,
，求
.
思路点拨：
对
两边同除以
得
，得
为等
差数列。把求数列
的通项公式转化为求等差数列
的通
项公式。
解析：
∵
< br>，∴
两边同除以
得
，
∴
成等差数列，公差为
，首项
，
∴
，
∴
.
（
为非零常数）的一类数列，
总结升华：
对递推公式可变形为
两边同时除以
，
得
，
即把数列
的每一项都取倒数，
构成一
个新的