《教学案例等比数列求和》教学案例
白居易的草-
《等比数列求和》教学案例
背景介绍
：
《等比数列求和公式》
是数列这一章
的重点，
尤其是乘公比错位相减法，
在考试中学生经常出错，所
以这节课，怎么教好学生公式的推导很重要。
案例描述
:
在我讲等比数列求和这一课时，首先讲了一个故事：
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为
赞
赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的
64
个方格
上，第一格放
1
粒小麦，第
二格放
2
粒，第三格放
4
粒，往后每一格都是前一
格的两倍，直至第
64
格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一
惊。为什么呢
？
当<
/p>
我
将
古
印
度
国
王
奖
励
国
际
象
棋
发
明
者
的
讲
给
学
生
并
引
出
0<
/p>
1
2
63
“
2
2
2
2
”时，
有的学生是这样完成的：
设
则
S
n
2
0
2
1
2
2
2
n
1
，
S
1
1
，<
/p>
，
，
S
2
3
S
3
7
…
S
n
2
< br>n
1
，所以
< br>S
64
2
64
1
。
我备课时可没有想到学生会这么做，学生的意外思维让我怦然心动，于
是更改了自己的课堂预设，顺着学生的思路抛出了如下问题：
求和：
S
n
3
0
3
< br>1
3
2
3
n
1
。
如何设计情境，才能更符合学生的认知规律呢？
要猜想
S
n
的结果并不容易
，在我的适时引导及学生的共同努力下可得出
3
n
1
S
< br>n
2
。
那么
S
n
4
0
4<
/p>
1
4
2
4
n
1
呢？
4
n
1
S
n
< br>
2
。
此时便可猜想出更一般的结论：
<
/p>
S
n
1
q
q
q
2
n
1
q
n
1
(
q
1)
q
1
①
以上的过程展示了从特殊到一般的
归纳猜想思想，这不仅与以前的数学
结构大不相同，而且承接了前面数列递推公式的内容
，符合学生的认知规律。
所以等比数列的求和公式推导为：
S
n
a
1
a
1
q
a
1
q
a
1
q
2
n
< br>
1
a
1
(
q
n
1
)
(
q
<
/p>
1)
q
1
②
不过，式①仅仅是猜想而已，如何
证明其成立呢？于是我又启发引导学
生，根据多项式的运算：
2
n
1
(
q
1)(1<
/p>
q
q
q
)
因为
2
3
n
q
q
q
q
=
< br>2
n
1
(1
q
q
q
)
n<
/p>
q
=
1
q
n
1
2
n
1
1
q
q
q
q
1
当
时，
=
q
1
。
板书时，我有意地按以上的格式来书写，则：
a
S
已知
< br>n
为等比数列，公比为
q
，求其前
n
项和
n
。
因为
a<
/p>
n
a
1
q
n
1
，所以
，
S
n
a
1
a
1
q
a
1
q
2
< br>
a
< br>1
q
n
1
qS
n
a
1
q
a
1
q
2
a
1
q
n
1
< br>
a
1
q
n
相减得：
(1
< br>q
)
S
n
a
1
a
1
q
n
，