数列求和之奇偶项的讨论【真题+模拟】
聊斋志异之陆判-
题型一：
数列奇数偶数项问题
1
n
n
1
n
<
/p>
1
n
1
n
(
n
1
)
1
n
(
n
1
)
【真题再现】
1
、
（
2011
，山东，文
20
）
等比数列
a
n
中，
a
1
,
a
2
,
a
3
分别是下表第一、二、三行中的某一
个数，且
a
1
,
a
2
,
a
3
中的任何两个数不
在下表的同一列．
第一行
第二行
第三行
第一列
3
6
9
第二列
2
4
8
第三列
10
14
18
（Ⅰ）求数列
a
n
的通项公式；
（Ⅱ）若数列
b
n
满足
：
b
n
a<
/p>
n
(
1)
n
ln
a
n
，求数列
b
n
的前
2
n
项和
S
2
n
．
解析：
（
I
）当
a
1
3
时，不合题意；<
/p>
当
a
1
2
时，当且仅当
a
2
6,
a<
/p>
3
18
时，符
合题意；
当
a
1
10
时，不合题意。
因此
a
1
2,
a
2
6,
a
3
< br>
18,
所以公式
q=3
，
故
a
n
2
3
n
1
.
（
II
）因为
b
n
a
n
(
1)
n
ln
a
n
2
3
n
1
(
1)
n
(2
3
n
< br>1
)
2
3
n
1
(
1)<
/p>
n
[ln
2
<
/p>
(
n
1)
ln
3]
2
3
n
1
(
1)
n
(ln
2
ln
3)
(
1)
n
n
ln
3,
所以
S
2
n
b
1
b
2
L
b
2
n<
/p>
2(1
3<
/p>
L
3
2
n
1
)
[
1
1
1
L
(
1)
](ln
2
ln3)
2
< br>n
|[
1
2
3
L
(<
/p>
1)
2
n
2
n
]ln
3
1
3
2
n
2
n
ln
3
1
3
3
2
n
n
ln
3
1.
2
、<
/p>
（
2011
，山东，理
< br>20
）
等比数列
{
a
n
}
< br>中，
a
1
,
a
2
,
a
3
分别是下表第一、二、三行中的某
一个数，且
a
1
,
a
2
,
a
3
中的任何两个数不在下表的同一列
.
第一行
第二行
第三行
（Ⅰ）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）若数列
{<
/p>
b
n
}
满足：<
/p>
b
n
a
n
(
1)
n
ln
a
n
求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
解析：
（
1
）
当
a
1
< br>3
时，
不合题意；
当
a
1
2
时，
当且仅当
a
2
6
,
a
3
18
< br>时，
符合题意；
当
a
1
10
时，不合题意；
因此
a
1<
/p>
2
,
a
2
6
,
a
3
18
，所以公比
q
3
故
第一列
3
6
9
第二列
2
4
8
第三列
10
14
18
a
n
2
g
3
n
1
（
2
）因为
b
n
a
n
(
1)
n
ln
a
n
=2
g
3
n
1
+(
< br>1)
n
ln
（
< br>2
g
3
n
1
）
=2
g
3
+(
1
)
n
1
n<
/p>
ln
2
(
n
1)ln<
/p>
3
=2
g
3
n
1
+(
1)
n
(ln
2
ln
3)
(
1)
n
n
ln
3
所以
<
/p>
n
S
n
2(1
3
…
+3
n-1
)
1
1
1
…
+(
1)
< br>(ln
2
ln
3)
< br>
1
2
3
…
+
(
1)
n
ln
3
n<
/p>
1
3
n
n
n
ln
3
3
n
ln
3
1
所以
<
/p>
当
n
为偶数时，
S
n
2
<
/p>
1
3
2
2
1
3
n
n
1
S
n
2
(ln
2
ln
3)
(
n
)ln
3
1
3
2
当
n
为奇数时，
n
1
3
n
ln
3
ln
2
1
2
n
n
3
< br>ln
3
1
2
综上所述，
S
n
3
n
n
1
ln
3
ln
2
1
2
n
为偶数
n
为奇数
3
、
（
2014
，山东，文
19
）
在
等差数列
{
a
n
}
中，已知公差
d
2
，
a
2
是
a
1
与
a
4
的等比中项
.
< br>（Ｉ）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
n
（
II
）设
b
n
a
n
(
n
1)
，记
T
n
b
1
< br>b
2
b
3
b
4
…
(
1)
b
n
，求
T
n
.
2
解析：
（
Ⅰ）由题意知：
a
n
为等差数列，设
a
n
a
1
n
1
d
，
a
2
为
a
1
与
a
4
的等
比中
2
项
a
2
a
1
a
4
且
a
1
0
，
即
a
< br>1
d
2
a
1
a
1
3
d
，
d
2
解
得
：
a
< br>1
2
a
n
2
(
n
1
)
2
2
n
（Ⅱ）由
（Ⅰ）知：
a
n
2
n
，
b
n
a
n
(
n<
/p>
1
)
n
(
n
1
)
2
①
当
n
为偶数时：
T
n
1
2
2
3
<
/p>
3
4
n
n
1
2
1
3
4<
/p>
3
5
n
n
1
n
1
<
/p>
2
2
4
2
6
2
n
2
2
2<
/p>
4
6
n
2
n
n
n
2
2
n
2
2<
/p>
2
2
T
n
1
2
2
3
3
4
<
/p>
n
n
1
②
当
n
为奇数时：
2
1
3
4
3
5
<
/p>
n
1
n
2
n
n
n
1
<
/p>
2
2
4
2
6
2
n
1
2<
/p>
n
n
1
2
2
4
6
n
1
<
/p>
n
n
1
2
n
1
n
1
n
2
2
n
1<
/p>
2
2
n
n
1
2
2
n
2
2
n
1
，<
/p>
n
为奇数
<
/p>
2
T
2
综上：
n
n
2
n
,
n
为偶数
2
4
、
（
2014
，山东，理
19
）
已知等差数列
{
a
n
}
的
公差为
2
，前
n
项和为
S
n
，且
S
1
，
S
2
，
S
4
成等
比数列．
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
令
b
n
＝
(
－
1)
n
－
1
4
n
，求数列
{
b
n
< br>}
的前
n
项和
< br>T
n
.
a
n
a
n
＋
1
2×1
解析
(1)
因为
S
1
＝
a
1
，<
/p>
S
2
＝
2
a
1
＋
2
×2
＝
2
a
1
＋
2
，
< br>
4×3
S
4
< br>＝
4
a
1
＋
2
×2
＝
4
a
1
＋
12
，
由题意，得
(2
a
1
＋
2)
2
＝
a
1
(4
a
1
＋<
/p>
12)
，解得
a
1
＝
1
，
<
/p>
所以
a
n
＝
2
n
－
1.
(2)
b
n
＝
(
－
1)
n
－
1
4
n
4
n
－
< br>＝
(
－
1)
n
1
a
n
a
n
＋
1<
/p>
2
n
－
1
2
n
＋
1
1
1
－
＝
(
－
1)
n
< br>1
(
＋
)
．
2
n
－
1
2
n
＋
1
当
n
为偶数时，
1
1
1
1
1
1
1
1
2
n
T
n
＝
(1
＋
3
)
－
(
3
＋
5
)
＋
…
＋
(
＋<
/p>
)
－
(
＋
)
＝
1
－
＝
.
2
n
－
3
2
n
－
1
2
n
－
1
2
n<
/p>
＋
1
2
n
＋
1
2
n
＋
1
当
n
为奇数时，
2
n
＋
2
1
1
1
1
1
1
1
1
T
n
＝
(1
＋
3
)
－
(
3
＋
5
)
＋
…
－
(
＋
)
＋
(
＋
)
< br>＝
1
＋
＝
.
2
n
－
3
2
n
－
1
2
n
－
1
2
n
＋
1
2
n
＋
< br>1
2
n
＋
1
所以
T
＝
2
n<
/p>
2
n
＋
1
，
n
为偶数
.
n
2
n
＋
2
，
n
为奇数，
2
n
＋
1
< br>2
n
＋
1
＋
－
1
(
或
T
n
＝
2
n
＋
1
【模拟题库】
n
－
1
)
1
、
（
2016
届济宁一模，理
19
）
已知等差数列
a
n
的前
n
项和为
S<
/p>
n
，且
a
1
2,
S
5
30
.
数
列
b
n
的前
n
项和为
T
n
，且
T
n
2
n
< br>
1
.
（
I
）求数列
a
< br>n
、
b
n
的通项公式；
（
II
）设
c
n
1
n
a
n
b
n<
/p>
ln
S
n
，求数列
c<
/p>
n
的前
n
项和
.
解析：
（
Ⅰ
）记等差数列
{a
< br>n
}
的公差为
d
，
依题意，
S
5
=5a
1
+
又
∵
a
1
< br>=2
，
∴
d=
=2
，
d=30
，
∴
数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
=2n
；
∵
T
n
=2
n
﹣
1
，
∴
T
n
﹣
1
=2
n
﹣
1
﹣
1
（
n≥2
），
两式相减得：
b
n
=2
n
﹣
1
，
又
∵
b
1
=T
1
=2
1
﹣
1=1
满足上式，
∴
数列
{b
n
}
的通项公式
b
n
=2
n
﹣
1
；
（
Ⅱ
）由
（
I
）可知
a
n
b
n
=n•2
n
，
S
n
=
2•
=n
（
n+1
），
∴
c
n
=
（﹣
1
）
n
（
a
n<
/p>
b
n
+lnS
n
）
=n
（﹣
2
）
n
+
（﹣<
/p>
1
）
n
[lnn
+ln
（
n+1
）
]
，
记数列
{
（﹣
1
）
n
a
n
b
n
}
的前
n
项和
为
A
n
，数列
{
（﹣
1
）
n
lnS
n
}
的
前
n
项和为
B
n
，
则
A<
/p>
n
=1•
（﹣
2
）
1
+2•
（
﹣
2
）
2
+3
•
（﹣
2
）
3
+…+n•
（﹣
2
）
n
，
﹣
2A
n
=1•
（﹣
2
）
2
+2•
（﹣
2
）
3
+…+
（
n
﹣
1
）
•
（
﹣
2
）
n
+n
•
（﹣
2
）
n
+1
，
错位相减得：
3A
n
=
（﹣
2
）
1
+
（﹣
2
）
2
+
（﹣
2
）
3
+…+
（﹣
2
）
n
﹣
n•
（﹣
2
）
n+1
=
•
（﹣
2
）
n+1
，
•
（﹣
2
）<
/p>
n+1
；
﹣<
/p>
n•
（﹣
2
）<
/p>
n+1
=
﹣<
/p>
﹣
∴
A
n
=
﹣
﹣
当
n
为偶数时，
B
n
=
﹣（
ln1+ln2
）
+
（
ln2+ln3
）﹣（
ln3+ln4
）
+
…+[lnn+ln
（
n+1
）
]
=ln
（
n+1
）﹣
ln1
=ln
< br>（
n+1
），
当
n
为奇数时，
B
n
=
﹣（
ln1+ln2
）
+
（
ln2
+ln3
）﹣（
ln3+ln4
）
+…
﹣
[lnn+ln
（
n+1
）
]
< br>=
﹣
ln
（
n+1
）﹣
ln1