错位相减法求和附答案
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错位相减法求和专项
错位相减法求和适用于<
/p>
{a
n`
b
n
}
型数列，其中
{a
< br>n
},{b
n
}
分别是等差数列和等比数列，在应用过
程中要注意：
项的对应需正确；
相减后应用等比数列求和部分的项数为（
n
-
1
）项；
若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为
1
1.
已知二次函数
和为
，点
的图象经过坐标原点，
其导函数
均在函数
的通项公式；
的图象上．
，
数列
的前
项
（
Ⅰ
）求数列
（
Ⅰ
）设
，
是数列
的前
项和，求
．
[
解析
]
考察专题：
2.1<
/p>
，
2.2
，
3.
1
，
6.1
；难度：一般
[
答案
]
（
Ⅰ
）由于二次函数
的图象
经过坐标原点，
则设
，
，
<
/p>
Ⅰ
，
Ⅰ
，
又点
均在函数
的图
象上，
Ⅰ
．
Ⅰ
当
时，
，<
/p>
又
，适合上式，
Ⅰ
．
．
．
．
．
．
．
．<
/p>
．
．
．
．
（
7
分）
（
Ⅰ
）由（
Ⅰ
）知，
，
Ⅰ
，
Ⅰ
上面两式相减得：
，
．
整理得
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
（
14
分）
2.
已知数列
的各项均为
正数，
是数列
的前
n
< br>项和，且
．
（
1
）求数列
的通项公式；
（
2
）
[
答案
]
查看解析
的值
.
[
解析
]
（
1
）当
n
= 1
时，
又
4S
n
=
a
n
2
+
2a
n
－
3
①
解出
a
1
=
3,
当
时
4s
n
－
1<
/p>
=
+ 2a
n
-
1
－
3
②
①
－
②
,
即
，
Ⅰ
,
（
）
，
是以
3
为首项，
2
为公差的等差数列，
6
分
．
（
2
）
③
又
④
④
－
③
=
12
分
<
/p>
3.
（
2013
年四川成都市高新区高三
4
月月考，
1
9,12
分）
设函数
数列
前
项和
，
，数列
，满足
.
，
（
Ⅰ
）求数列
的通项公式
；
（
Ⅰ
）设数列
的前
项和为
，数列
的前
项和为
，证明：
.
[
答案
] (Ⅰ)
由
，得
是以
为公比的等比数列，故
.
（
Ⅰ
）由
，
得
…
，
记
…+
，
用错位相减法可求得：
.
（注：此题用到了不等式：
进行放大
.
）
4.
已知
等差数列
中，
；
是
与
的等比中项．
（
Ⅰ
）求数列
的通项公式：
（
Ⅰ
）若
．求
数列
的前
项和
[
解析
]
（
Ⅰ
）因为数列
是等差数列，
是
与
的等比中项．所以
，
又因为
，设公差为
，则
，
所以
，解得
或
，
当
时
,
，
；
当
时，
.
所以
或
.
（
6
分
)
（
Ⅰ
）因为
，所以
，所以
，
所以
，
所以
两式相减得
，
所以
.
（
13
分）
5.
已知数列
且公差
< br>.
的前
项和
< br>，
，
，
等差数列
中
，
（
Ⅰ
）求数列
、
的通项公式；
（
Ⅰ
）是否存在正整数
，使得
若不存在，说明理由
.
若存在，求出
的最小值，
[
解析
]
（
Ⅰ
）
时，
相减得：
，又
，
，
<
/p>
数列
是以
1
为首
项，
3
为公比的等比数列，
.
又
，
，
.
（
6
分）
（
Ⅰ
）
令
………………①
…………………②
①
－
②
得：
< br>，
，即
，当
，
< br>，当
。
的最小正整数为
4.
（
12
分）
6.
数列
满足
，等比数列
满足
.
（
Ⅰ
）求数列
，
的通项公式；
（
Ⅰ
）设
，求数列
的前
项
和
.
[
解析
]
（
Ⅰ
）由
，所以数列
是等差数列，又
，
所以
，
由<
/p>
，所以
，
，所以
，即
，
所以
.
（
6
分
)
（
Ⅰ
）因为
，所以<
/p>
，
则
，
所以
，
两式相减的
，
所以
.
(12
分）
7.
< br>已知数列
满足
，其中
为数列
的前
项和．
(Ⅰ)
求
的通项公式；
(Ⅰ)
若数列
满足：
(
)
，求
的
前
项和公式
.
[
解析
]Ⅰ)
Ⅰ
，
①
Ⅰ
②
②
－
①
得，
，又
时，<
/p>
，
，
.
（
5
分）
(Ⅰ) Ⅰ
，
，
，
两式相减得
，
.
（
13
分）
8.
设
d
为非
零实数
, a
n
=
[
d+2
d
2
+…+(n
-
1)
d
n
-
1
+n
d
n
](nⅠN
*
) .
(Ⅰ)
写出
a
1
,
a
2
, a
3
并判断
{a
n
}
是否为等比数列
.
若是
,
给出证明
;
若不是
,
说明理由
;
(Ⅰ)
设
b
n
=nda
n
(nⅠN
*
) ,
求数列
{b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
[
答案
]
(Ⅰ)
由已知可得
a
1
=d, a
2
=d(1+d) ,
a
3
=d(1+d)
2
.