求数列求和的方法(最全)
开心网名-
求数列前
n
项和的
8
种常用方法
一
.
公式法（定义法）
：
1.
等差数列求和公式：
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1)
S
n
na
1
d<
/p>
2
2
特别地，
当前
n
项的个数为奇数时，
S
2
k
1
(2
k
1)
a
k
< br>
1
，即前
n
< br>项和为中间项乘以项数。这个公
式在很多时候可以简化运算；
2.
等比数列求和公式：
（
1
）
q
1
，
S
n
na
1
；
（
2
）
q
1
，
S
n
a<
/p>
1
1
q
n
1
q
3.
可转化为等差、等比数列的数列；
4.
常用公式
: <
/p>
n
，特别要注意对公比的讨论；
1
（
1
）
k
1
2
3
L
n
n
(
n<
/p>
1)
；
（
2
）
k
2
1
2
2
2
< br>
3
2
L
n
2
n
(
n
1)(2
n
1)
n
(
n<
/p>
)(
n
1)
；
（
3
）
k
3
1
3
2
3
3
3
L
n
3
[<
/p>
k
1
n
k
1
k
1
n
k
1
n
2
1
1
6
3
1
2
n
(
n<
/p>
1)
2
]
2
；
（
4
）
(2
k
1)
1
3
< br>5
L
(2
n
1)
n
2
.
1
，求
x
x
2
x
3
L
x
n
的前
n
项和
.
log
2
3
1
1
log
3
x
log
3
2
x
解：由
log
3
x
log
2
3
2
例
1
已知
log
3
x
由等比数列求和公式得
S
n
x
x
2
x<
/p>
3
L
x
n
1
1
(
1
)
n
x
(
1
x
n
)
2
＝
＝
2
1
1
x
1
2
1
＝
1
－
n
< br>2
S
n
例
2
设
S
n
1
2
<
/p>
3
L
n
，
n
N
*
,
求
f
(
n
)
的最大值
.
(
n
32
)
< br>S
n
1
1
1
解：易知
S
n
n
(
n
1
)<
/p>
，
S
n
1
(
n
1
)(
n
2
)
< br>
2
2
S
n
n
∴
f
(
n
)
＝
2
(
n
32
)
S
n
1
n
34
n
64
1
1
1
＝
＝
8
2
64
50
(
n
)
50
n
34
n
n
8
1
∴
当
n
，即
n
8
时，
f
(
n
)
max
.
50
8
二
.
倒序相加法
:
如果一个数列
a
n
，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那
么求这个数列的前
n
项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前
n
项和即是用此法推导的，就是
1
将一个数列倒过来排列（反序）
，再
把它与原数列相加，就可以得到
n
个
(
a
1
a
n
)
.
例
3
求
si
n
2
1
<
/p>
sin
2
2
<
/p>
sin
2
3<
/p>
sin
2
88
sin
2
89
的值
解：设
S
sin
2
1
sin
2
2
sin
2
3
sin
2
88
sin
2
89
…………①
将①式右边反序得
S
sin
2
89
sin
2
88
sin
2
3
sin
2
2
sin
2
1
…………②
（反序）
又因为
sin
x
cos(
90
< br>
x
),
sin
2
x
cos
2
x
1
①
+
②得
（反序相加）
2
S
(sin
2
< br>1
cos
< br>2
1
)
(sin
2
2
cos
2
2
)
(s
in
2
89
cos
2
89
)
＝
89
∴
S
＝
44.5
x
1
1
1
<
/p>
f
L
f
例
4
函数
f
x
，
求
f
1
f
2
L
f<
/p>
2012
f
f
1
的值
.
2012
2011
1
x
2
三
.
错位相减法：
适用于差比数列（如果
a
n
等差，
b
n
等比，那么
a
n
b
n
叫做差比数列）即把
每一项都乘以
b
n
的公比
q
，向后错一项，再对应同次项相减，即可转化为等比数列求和
.
如：等比数列的前
n
项和就是用此法推导的
.
例
5 <
/p>
求和：
S
n
<
/p>
1
3
x
5
x
2
7
x
3
(
2
n
1
)
x
n<
/p>
1
…………①
解：由题可知，
{
(
< br>2
n
1
)
x
n
1
}
的通项是等差数列
2
n
1
的通项与等比数列
{
x
n
1
}
的通项之积
设
xS
n
1
x
3
x
2
5
x
3
7
x
4
<
/p>
(
2
n
1
)
x
n
………………②
（设制错位）
①－②得
(
1
x
)
S<
/p>
n
1
2
x
2
x
2
2
x
3
2
x
4
2
x<
/p>
n
1
(
2
n
1
)
x
n
（错位相减）
1
x
n
1
(
2
< br>n
1
)
x
n
即：
(
1
x
)<
/p>
S
n
1
2
x
1
x
(
2
n
1
)
x
n
1
(
2
n<
/p>
1
)
x
n
(
1
x
)
∴
S
n
2
(
1
x
)
2
4<
/p>
6
2
n
变式
求数列
,
2
,
3
,
,
n
,
< br>前
n
项的和
.
2
2
2
2
1
2
n
解：由题可知，
n
的通项是等差数列
2
n
的通项与等比数列
{
n
}
的通项之积
2
2
2
4
6
2
n
设
S
n<
/p>
2
3
n
……………………
……①
2
2
2
2
1
2
4<
/p>
6
2
n
S
n
2
3
4
n
1
………………………②
（设制错位）
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
n<
/p>
①－②得，
(
1
)
S
n
<
/p>
2
3
4
n
n
1
（错位相减）
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n
2
n
1
n
1<
/p>
2
2
n
2
∴
S
n
4
n
1
2
四
.
裂项相消法
:
即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余
有限几项，可求和。这是分解
2
与组合思想
（分是为了更好地合）
在数
列求和中的具体应用
.
裂项法的实质是将数列中的每项
（通
c
项）
分解，
然后重新组合，
使之能消去一些项，
最终达到求和的目的
.
适用于
其中
a
n
，
a
n
a
n
1
是各项不为
0
的等差数列，
c
为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
其基本方法是
a
n
< br>f
n
1
f
n
.
常见裂项公式
：
（
1
）
（
2
）
1
n
(<
/p>
n
1)
n
1
1
n
1
，
1
n
(
n
< br>
k
)
(
k
n
1
1
1
n
k
)
；
1
1
1
1
(
)
（
< br>
a
n
的公差为
d
）
；
a
n
a
n
1
d<
/p>
a
n
a
n
1
1
1
；
(
a
n
1
a
n
)
.
（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）
a
n
a
n
1
d
（
3
）
1
n
(
n
1)(
n
1)
1
2
[
1
n
(
n
1)
1
(
n
1)(
n
2
)
]
；
（<
/p>
4
）
a
1
n
(2
n
1)(2
n
1)
1
2
(
1
2
n
1
1
< br>(
2
n
)
2
2
n
1
)
；
a
n
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
1
1
2
(
1
2
n
1
1<
/p>
2
n
1
)
；
（
5
）
a
n
2
1
2
(
n
1
)
n
1
n<
/p>
n
(
n
1
)
2
n
(
n
1
)
2
1
n
2
n
1
<
/p>
1
(
n
1
)
2
n
,
则
S
n
1
1
n
n
(
n
1
)<
/p>
2
n
；
（
6
）
sin
1
tan(
n
1
)
tan
n
cos
n
cos(
n
1
)
；
（
7
）
n
1
1
(
n
1)!
n
!
(
n
1)!
；
（
8
）常见放缩公式：
2(
n
1
n
)
2
n
1
n
1
2
n<
/p>
n
n
1
2(
n
n
1
)
.
例
6
求数
列
1
1
1
<
/p>
2
,
2
3
,
,
1
n
n
1
,
的前
n
项和
.
解：设
a
1
n
n
n
1
n
1
n
（裂项）
则
S
1
n
1
2
1
2
3
< br>
1
n
n
1
（裂项求和）
＝
(
2
1
)
(
< br>3
2
)
(
n
1
n
)
＝
n
1
1
例
7
求和
S
1
n
1
3
1
3
5
1
5
7
< br>
L
1
(2
n
1)(2
< br>n
1)
.
例
8
在数列
a
1
n
中，
a
n
n
1
2
n
1
n
n
1
，又
b
2
n
a
a
，求数列
b
n<
/p>
的前
n
项的和
.
n
n<
/p>
1
解：
∵
a
1
2
n
n
n
n
1
n
1
< br>
n
1
2
∴
b
2
1
1
n
n
n
1
8
(
n
< br>
n
)
（裂项）
<
/p>
2
1
2
3