(完整版)数列求和方法归纳
长谷川京子-
数列求和
一、直接求和法（或公式法）
掌握一
些常见的数列的前
n
项和：
1
2
3
……
+n=
2
2
2
2
n
(
n
1)
< br>，
1+3+5+
……
+(2n-
1)=
n
2
2
n
(
n
<
/p>
1)(2
n
1
)
1
2
<
/p>
3
……
+n<
/p>
=
，
1
3
2
3
3
3
……
+n
3
=
6
n
(
n
1)
等
.
2
2
例<
/p>
1
求
1
2
2
2
3
2
4
2
< br>5
2
6
2
L
9
9
2
100
2
．
解：原式
(2
2
1
2
)
(4
2
3
2
)
(6
2
5
2
)
L
(100
2
99
2
)
3
7
11
< br>L
199
．
< br>
由等差数列求和公式，得原式
50
(3
199)
5050
．
2
变式练习
：已知
log
3
x
1
n
解
：
1
－
2
1
，求
< br>x
x
2
x
3
.
.....
x
n
......
的前
n
项和
.
log
2
3
二
、倒序相加法
此方法源于等差数列前
n
项和公式的推导，
目的在于利用与首末两项等距离的两项
相加有公因式可提取，以便化简后求和
.
1
2
2
2
3<
/p>
2
10
2
L
2
2
的和．
例
2
求<
/p>
2
1
10
2
2
2
9
2
3
2
8
2
10
1
1
2
2
2
3
2
10
2
2
2
2
L
2
2
解：设
S
2
2
2
1
10
2
9
3
8
10
< br>
1
10
2
9
2
8
2
1
2
则
S
<
/p>
2
2
2
2
2
2
L
2
2
．
10
< br>
1
2
9
3
8
1
0
1
两式相加，得
< br>
2
S
1
1
L
1
10
，
S
5
．
三、裂项相消法
常见的拆项公式有：
1
1
1
1
1
1
(
(
n
k
n
< br>)
，
)
，
n
(
n
k
)
k
n
n
k
n
< br>k
n
k
1
1
1
1
(
)
，等<
/p>
.
(2
n
<
/p>
1)(2
n
1
)
2
2
n
<
/p>
1
2
n
1
1
例
3
已知
1
2<
/p>
2
2
L
n
2
n
(
n
1)(2
n
1)
，
6
3
5
7
2
n
1
求
2
2<
/p>
L
(
n
N
)
的和．
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
3
1
<
/p>
2
L
n
2
n
1
2
n
1
6
解：
Q
< br>a
n
2
，
2
2
1
1
2
L
n
n
(
n
1)(2
n
1)
n
(
n
1)
6
1
1
1
S
n
6
L<
/p>
1
2
2
3
n
(
n
1)
< br>
1
1
1
1
1
6
1
L
< br>
2
2
3
n
n
1
1
6
1
n
1
< br>ln
.
n
1
小结：
如果数列
{
a
n
}
< br>的通项公式很容易表示成另一个数列
{
b
n
}
的相邻两项的差，即
a<
/p>
n
b
n
1
b
n
，则有
S
n
b
n
1
b
1
.
这种方法就称为裂项相消求和法
.
变式练习：
求数列
1
1
1
1
，
，
，…，
，…的前
n
项和
S.
n
(
n
2
)
1
3
2
4
3
5
解
：∵
1
1
1
1
=
(
）
n
(
n
2
)
2
n
n
2
1
1
< br>1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
)
=
(
1
S
n
=
(
1
< br>
)
(
)
(
)
=
2
3
2
4
n
< br>n
2
2
2
n
1
n
2
4
2
n
2
2
n
4
四、错位相减法
源于等
比数列前
n
项和公式的推导，
对于形如
{
a
n
b
n
}
的数列，
其中
{
a
n
}
为等差数列，
{
b
n
}
为等比数列，均可用此法
.
例
4
求<
/p>
x
3
x
2
5
x
3
L
(2
n
1)
x
n
的和．
x
2
x
2
(1
x
n
1
)
(2
n
1)
x
n
1
解：当
x
1
时，
S
n
；
当
x
1
时，
S
n
< br>n
2
．
2
1
x
(
1
x
)
1<
/p>
x
小结：错位相减法的步骤是：①在等
式两边同时乘以等比数列
{
b
n
}
的公比；②将两个等式相
减；③利用等比数
列的前
n
项和公式求和
.
变式练习：
求数列
a,2a
2
,3a
3
,4a
4
,
…
,na
n
,
…
(a
为常数
)
的前
n
项和。
解
：
（
1
）若
a=0,
则
S
n
=0
（
2
）若<
/p>
a=1,
则
S
n
=1+2+3+
…
+n=
（
3
）若
a
≠
0
且
a
≠
1
则
S
n
=a+2a
2
+3a
3
+4a
4
+
…
+ na
n
，
∴
aS
n
=
a
2
+2
a
3
+3 a
4
+
…
+na
n+1
< br>
n
1
a
a
n
a
n
1
∴<
/p>
(1-a) S
n
=a+
a
2
+ a
3
+
…
+a
n
-
na
n+1
=
1
a
n
1
n
1
∴
S
n
=
a
a
na
(<
/p>
a
1
)
当
a=0
时，此式也成立。
< br>
2
(
1
a
)
1
a
∴
S
n
=
n
(<
/p>
n
1
)
2
五、分组求和法
若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求
. <
/p>
1
1
1
1
例
5
求数列
2
，
4
，
6
，
L
，
2
n
n
< br>
1
，
L
的前
n
项和
S
n
．
4
8
16
2
1
<
/p>
1
1
1
1
1
S
n
(2
4
6
L
< br>
2
n
)
2
3
4
L
n
1
n
(
n
1)
n
1
．
2
2
2
2
2<
/p>
2
n
(
n
1
)
(
a
1
)
2
a
a
n
1
na
n
1
(
a
1
)
(
1
a
)
2
1
a
变式练习：
求数列
1
,2
,3
n
2
n
1
1
解：
2
2
3
n
1
3
1
9
1
1
,4
,
L
的前
n
项和
27
81
数列求和基础训练
4
n
1
1.
等比数列
{
a
n
}
的前ｎ项和
S
ｎ
＝
2
－１，则
a
a
a
a
＝
3
ｎ
2
< br>1
2
2
2
3
2
n
2.
设
S
n
<
/p>
1
3
5
7
L
(
1)
n
(2
n
1)
，则
S
n
＝
(
1)
n
n
.
3.
n
1
1
1
.
L
<
/p>
1
4
4
7
(3
n
2)
(3
n
1)
3
n
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
<
/p>
...
=
2
2
3
n
2
n
3
< br>2
•
4
3
•
5
4
•
6
(
n
1)(
n
3)
4.
5.
数列
1,(1
< br>
2),(1
2
2
2
),
L
,(1
2
2
2
L
2
n
1
),
L
的
通项公式
a
n
2
n
1
，
前
n
项和
S<
/p>
n
2
n
1
n
2