二项式定理与数列求和
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二项式定理与数列求和
陕西
刘大鸣
1
对一道高考题的探究
题目
（
03
上海高考）已知
数列
a
n
是首项为
a
1
，公比为
q
的等比数列
.
⑴
求
a
1
C
2
0
a
2
C
2
1
< br>a
3
C
2
2
，
a
1
C
3
0
a
2
C
3
1
a
3
C
3
2
a
< br>4
C
3
3
;
⑵
由
⑴
的结果归纳慨括出关于正整数的<
/p>
n
的
一个结论，并加以证明
.
简析：
注意二项式定
理展开式的特征“除二项式系数外是关于
b
为公比的等比数列的
和”
.
用等比数列
a
< br>
a
1
2
a
1
q
a
1
q
2
a
1
1
q
2
的
通
项
< br>公
式
，
逆
用
定
理
解
决
.
⑴
a
1
C
2
0
a
2
C
2
1
a
< br>3
C
2
2
，
3
a
1
C
3
0
a
2
C
3
1
a
3
C
3
2
a
< br>4
C
3
3
a
1
3
a
1
q
3
a
1
q
2
a
1
q
3
a
< br>1
1
q
;
⑵
由⑴的结果归纳慨括出关于正整数
的
n
的
一
个<
/p>
结
论
：
数
列
a
n
是
首
项
为
a
1
，
公
比
为
q
的
等
比
数
列<
/p>
，
则
a
1
C
n
0
a
2
C
n
1
a
3
C
n
2
a
4
C
n
3<
/p>
1
n
a
n
1
C
n
n
a
1
1
q
n
将<
/p>
通
项
公
式
代
入
逆
用
二
项
式
定
理
证
明
：
a
1
C
n
a
2
C
n<
/p>
a
3
C
n
a
4
C
n
1
a
n
1
C
n
a<
/p>
1
C
n
a
1
qC
n
a
1
q
2
C
n
< br>a
1
q
3
C
n
1
a
1
q
n
0
1
2
3
n
n
0
1
< br>2
3
n
a
C
n
q
C
n
q
2<
/p>
C
n
q
3
C
n
1
q
n
C
n
a
1
1
q<
/p>
.
0
1
2
3
n
n
n
2
类比推广探究方法和结论：
重新认识二项式定理，其展开式，实质为二项式系数构成的一个数列与一个等比数对应项的积构
成的数
列的和，于是，沟通了二项式定理和数列的求和的关系
.
凡与二项式系数有关的恒等式问题，常常借助二项
式定理和数列
求和的解决
.
问题：如何求
定理求和；
若
a
n
是某等比数列的和，则求和公式代入分解组合，整体逆用
二项式定理求和；若
则“反序整体思维求和”.
3
应用
<
/p>
a
i
C
n
i
0
n
i
？
探究的结论及方法：
若
a
n
< br>是等比数列，则通项公式代入，逆用二项式
a
n
是等差数列，
例<
/p>
1
.a
n
1
q
q
2
q
n
< br>1
q
1
,
n
N
*
,
A
n
C
n
a
1
C
n
a
2
< br>
C
n
a
n
,
若
-
3
q
1,<
/p>
求
1
2
n
n
A
n
.
2
n
简析：
如何求和？等比数列求和公式代入，
分解组合整体逆用二项式定理化简求解
.
注意二
项式定理展开
式的特征，两个特殊数列对应项的积构成的数列之和，重新改写所求和，分
解组合，目标逆用二项式定
理
.
2
1
q
n
1
q
n
1
q
1
1
< br>
q
2
1
q
n
1
2
n
1
2
n
由题设知，
a
n
,
A
n
C
n
C
n
C
< br>n
C
n
C
n
C
n
C
n
q
C
n
q
2
C
< br>n
q
n
1
q
1
q
1
q
1
q
1
q
1
q
1
1
n
n
< br>
2
n
1
1
q
1
2
n
1
q
.
1
< br>q
1
q
例
2
（教材第二册下
(A) 146
页
8
题）
求
S
n
1
2
3
n
C
n
2
C
n
3
C
n
nC
n
.
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