(完整word版)数列求和的各种方法
简历上的自我评价-
数列求和的方法
教学目标
1
．熟练掌握等差、等比数列的前
n
项
和公式．
2
．掌握非等差、等比数列
求和的几种常见方法．
3
．能在具体
的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．
教学内容
知识梳理
1
．求数列的前
n
项和的方法
(1)
公式法
①等差数列的前
n
项和公式
S
n
＝
n
a
1
a
n
n
n
1
＝
na
1
＋
d
.
2
2
②等比数列的前
n
项和公式
(
Ⅰ
)
当
q
＝
1
时，
S
n
＝
na
1
；
<
/p>
a
1
1
q
n
a
1
－
a
n
q
(
Ⅱ
)
当
q
≠
1
时，
S
n
＝
＝
.
1
－
q
1
q
③常见的数
列的前
n
项和：
1
2
3
……
+n=
n
(
n
1)
2
，
<
/p>
1+3+5+……+(2n
－
1)=
n
2
2
n
(
n
1)(2
n
1)
n
(
n
1)
2
2
2
2
3
3
3
3
1
2
3
<
/p>
……
+n
=
1<
/p>
2
3
……
+n
=
，
等
6
2
(2)
分组转化法
把数列的每一项分成两项或几
项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)
裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)
倒序相加法
< br>这是推导等差数列前
n
项和时所用的方法，将一个数列倒
过来排序，如果原数列相加时，若有公因式
可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数
列可用倒序相加法求和．
(5)
错位相减法
< br>这是推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方法，主要用
于求
{
a
n
·
b
n
}
的前<
/p>
n
项和，其中
{
a
n
}
和
{<
/p>
b
n
}
分
别是等差数列和等比数列．
(6)
并项求和法
< br>一个数列的前
n
项和中，可两两结合求解，则称之为并项
求和．形如
a
n
＝
(
－
1)
n
f
(
n
)
类
型，可采用两项
合并求解．
例如，<
/p>
S
n
＝
100<
/p>
2
－
99
2
＋
98
2
－
97
2
＋…＋
2
2
－
1
2
＝
(100
＋
99)<
/p>
＋
(98
＋
97
)
＋…＋
(2
＋
1)
＝
5 050.
1
2.
常见的裂项公式
(1)
1
1
1
＝
< br>－
；
n
n
＋
1
n
n
1
1
1
1
1
＝
(
－
)
；
k
n
< br>n
＋
k
n
n
k
1
1
1
1
＝
(
－
)
；
2
2
n
－
1
2
< br>n
＋
1
2
n
1
2
n
1<
/p>
(2)
(3)
(4)
1
1
1
1
＝
<
/p>
；
n
n
1
n
2
2
n
< br>
n
1
n
1
n
2<
/p>
1
＝
(
n
＋
k
－
n
)
．
n
＋
n
＋
k
k
1
(5)
1
1
1
1
(6)
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
，则
＝
(
－
)
．
a
n
a
n
＋
1
d
a<
/p>
n
a
n
＋
1
数列求和题型
考点一
公式法求和
1
1.(2016·
新课标全国
Ⅰ)
已
知
{
a
n
}<
/p>
是公差为
3
的等差数列，数列
{
b
n
}
满足
b
1
＝
< br>1
，
b
2
＝
，
a
n
b
n
＋
1
＋
b
n
＋
1
＝
nb
n
.
3
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
求
{
b
n
}
的前
n
项和
.
2.(2013·
新课标全国
Ⅰ
，
17)
已知等差
数列
{
a
n
}
的公差不为零，
a
1
< br>＝
25
，且
a
< br>1
，
a
11
，
a
13
成等比数列
.
(1)
求
{
a
n
}
< br>的通项公式；
(2)
求
a
1
＋
a
4
＋
a
7
＋
…
＋
a
3
n
－
2
.
变式训练
1.(2015·
四川，
16)
设数列
{
a
n
}(
n<
/p>
＝
1
，
2
，
3
，
…)
的前
n
项和
S
n
满足
S
n
＝
2
a
n
－
a
1
，且
< br>a
1
，
a
2
＋
1
，
a
3
成等差数
列
.
(1
)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
1
(2)
设数列
a
的前
n
项和为
T
n
，求
T
n
.
n
2
<
/p>
2.(2014·
福建，
17)
在等比数列
{
a
n
}
中，
a
2
＝
3
，
a
5
＝
81.
(1)
求
a
n
；
(2)
设
b
n
＝
log
3
a
n
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
考点二
错位相减法
1.(
< br>山东
)
已知数列
a
n
< br>的前
n
项和
S
< br>n
=3
n
2
+8
n
，
b
n
是等差数列，且
a
n
b
< br>n
b
n
1
.
（
Ⅰ
）求数列
b
n
的通
项公式；
(
a
n
1)
n
1
（
Ⅰ
）令
c
n
.
求数列
c
n
的前
n
项和
T
n
.
n
(
b
n
2)
2.(2015·
天津，
18)
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
＋
2
＝
qa
n
(
q
为实数，
且
q
≠1)
，
n
Ⅰ
N
*
，
a
1
＝
1
，
a
2
＝
2
，
且
a
2
＋
a<
/p>
3
，
a
3
＋
a
4
，
a
4
＋
a
5
成等差数列
.
(1)
求
q
的值和
{
a
n
}
的通项公式；
log
2
a
2
n
(2)
设
b
n
＝
，
n
Ⅰ
N
*
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
.
a
2
n
－
1
变式训练
1.(2014·
江西，
17)
已知首
项都是
1
的两个数列
{
a
n
}
，
{
b
n
}(
b
n
≠0
，
n
Ⅰ
N
*
)<
/p>
满足
a
n
b
n
＋
1
－
a
n
＋
1
b
n
＋
2
< br>b
n
＋
1
b
n
＝
0.
a
n
(1)
令
c
n
＝
，求数
列
{
c
n
}<
/p>
的通项公式；
b
n
3 <
/p>
(2)
若
b
n<
/p>
＝
3
n
1
，求数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
.
2.(
2014·
四川，
19)
设等差数列<
/p>
{
a
n
}
的公差为
d
，点
(<
/p>
a
n
，
b
n
)
在函数
f
(
x
)
＝
2
x
的图象上
(
n
Ⅰ
N
*
).
(1)
若
a
1
＝－
2
，点
(
a
8
，
4
b
7
)
在函数
f
(
x
)
的图象上，求数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
；
1
< br>a
n
(2)
< br>若
a
1
＝
1
，函数
f
(
x
)
的图象在点
(
< br>a
2
，
b
2
)
处的切线在
x
< br>轴上的截距为
2
－
，求数列
b
的前
n
项和
T
n
.
ln
2
n
3.(2015·
湖北，
18)
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
，前<
/p>
n
项和为
S
n<
/p>
，等比数列
{
b
n
}
的公比为
q
，已知
b
1
＝
a
1
，
b
2
＝
2
，
q
＝
d
，
S
10
＝
100.
(1)
求数列
{
a
n
}
，
{
b
n
}
的通项公式
；
a
n
(2
)
当
d
>1
时
，记
c
n
＝
，
求数列
{
c
n
}
的前
n
项和
T
n
.
b
n
4
－
4
．
(2015·
山东，
18)
设数列
{
a
n
}
的前
< br>n
项和为
S
n
< br>.
已知
2
S
n
＝
3
n
＋
3.
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
若数列
{
b
n
}
满足
a
n
< br>b
n
＝
log
< br>3
a
n
，求
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
1
1
1
5.(20
15·
浙江，
17)
已知数列
{
a
n
}
和
{
b
n
< br>}
满足
a
1
＝
2
，
b
1
＝
1
，
a<
/p>
n
＋
1
＝
2
a
n
(
n
Ⅰ
N
*
)
，
b
1
＋
b
2
＋
b
3
＋
…
＋<
/p>
b
n
＝
b
n
＋
1
2
3
n
*
－
1(
n
Ⅰ
N
< br>).
(1)
求
a
n
与
b
n
；
(2)
记数列
{
a
n
b
n
}
的前
n
项和为
T
n
，求
T
n
.
5
6.(
2015·
湖南，
19)
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
＝
1
，
a
2
＝
2
，且
a
n
＋
2
＝
3
S
n
－
S
n
＋
1<
/p>
＋
3,
n
Ⅰ<
/p>
N
*
.
(1)
证明：
a
n<
/p>
＋
2
＝
3
a
n
；
(2)
求
S
n
.
考点三
分组求和法
1.(2015·
福建，
17)
在等差数列
{
a
n
}
中，
a
2
＝
4
，
a
4
＋
a
7
＝
15.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项
公式；
(2)
设
b
n
＝
2
a
n
2
＋<
/p>
n
，求
b
1
＋
b
2
＋
b
3
＋
…
＋
b
10
的值
.
湖南，
16)
已知数列
{
a
的前
n
项和
S
n
2
2.(2014·
＋
n
n
}
n
＝
2
，
< br>n
Ⅰ
N
*
.
(1)
求数列
< br>{
a
n
}
的通项公式；
(2)
设
b
n
＝
2
a
n
＋
(
－
1)
n
a
n
，求数列
{
b
n
}
的前
2
n
项和
.
6
变式训练
1.(2014·
北京，
15)
已知<
/p>
{
a
n
}
是等差数列，满足
a
1
＝
3
，
a
4
＝
12
，数列
{
b
n
}
满足
b
1
＝
4
，
b
4
＝
20
，且
{
b
n
－
a
n
}
为等
比数列
.
(1)
求数列
{
a
n
}
和
{
b
n
}
的通项公式；
(2)
求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
.
考点四
裂项相消法
1.(2015·
新课标全国
Ⅰ
，
17
)
S
n
为数列
{
a
n
}
的前
n
项和．已知
a
n
>0
，
a
2
n
＋
2
a<
/p>
n
＝
4
S
n
＋
3.
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式；
<
/p>
1
(2)
设
b<
/p>
n
＝
，求数列
{
b
n
}
的前<
/p>
n
项和．
a<
/p>
n
a
n
＋
1
7
2.(2011·
新课标全国，
17)
等比数列
{
a
n
}
的各
项均为正数，且
2
a
1
＋
3
a
2
＝
1
，
a
2
3
＝
9
a<
/p>
2
a
6
.
(1)
求数列
{<
/p>
a
n
}
的通项公
式；
(2)
设
b
a
…
＋
l
og
1
n
＝
log
3
1
＋
log
3
a
2
＋
3
a
n
，求数列
<
/p>
b
n
的前
n
项和．
3.(2015·
安徽，
18)
已知数列
{
a
n
}
是递增的等比数列，且
a
1
＋
a
4
＝
9
，
a
2<
/p>
a
3
＝
8.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项
公式；
(2)
设
S
为数列
{
a
a
n
＋
1
n
n
}
的前
n
项和，
b
n
＝
S
n
S
n
，求数列
{
b
＋<
/p>
1
n
}
的前
n
项和
T
n
.
变式训练
1.(2013·
江西，
16)
正项数
列
{
a
n
}<
/p>
满足：
a
2
n<
/p>
－
(2
n
－
1)
a
n
－
2
n
＝
0.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式
a
n
；
(2)
令
b
1
n
＝
（
n
＋
1
）
a
n
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
8
2.(2013·
大纲全国，
17)
等差数列
{
a
n
}
中，<
/p>
a
7
＝
4
，
a
19
＝
2
a
9
.
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式；
1
(2)
设
b
n
＝
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
na
n
1
2
S
n
－
.
3.
在数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，当
n
≥
2
时，其前
n
项和
S
n
满足
S
n
＝
a
n
< br>
2
(1)
求
S
n
的表达式；
S
n
< br>(2)
设
b
n
< br>＝
，求
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
2
n
＋
1
考点五
倒序相加法
1
1
1
2
2 014
< br>已知函数
f
(
x
)
＝
x
(
x
Ⅰ
R
)
．
(1)
证明：
f
(
x
)
＋
f
(1
－
x
)
＝
；
(2)
若
S
＝
f
(
)
＋
f
(
)
＋
…
＋
f
(
)
，则
S
＝
2
2
015
2 015
2 015
4
＋
2
________.
变式训练
4
x
1
2
2
014
1.
设
f
(
x
)
＝
x
，若
S
＝
f<
/p>
(
)
＋
f
(
)
＋
…
＋
f
(
)
，则
S
＝
________.
2 015
2
015
2
015
4
＋
2
考点六
并项求和
1.(2012·
新课标，
16)
数列
{
a
n
}
满足<
/p>
a
n
＋
1
＋
(
－
1)
n
a
n
＝
2
n
－
1
< br>，则
{
a
n
}
的前
60
项和为
________.
9
2.(
2014·
山东，
19)
在等差数列<
/p>
{
a
n
}
中，已知公差
d
＝
2
，
a
2
是
a
1
与
a
4
的等比中项
.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
设
b
n
＝
a
n
n
1
<
/p>
，记
T
n
＝－<
/p>
b
1
＋
b
2
－
b
3
＋
b
4
－
…
＋
(
－
1)
n
b
n
，求
T
n
.
2
变式训练
1.(2014·
山东理，
19)
已知
等差数列
{
a
n
}
的公差为
2
，前
< br>n
项和为
S
n
< br>，且
S
1
，
S
2
，
S
4
成等比数列
.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
令
b
－
1)
n
1
4
n
＝
(
－
n
a
n
a
n
，求数列
{
b
＋
< br>1
n
}
的前
n
项和
T
n
.
2.(2013·
湖南，
15)
设
S
1
n
为数列
{
a
n
}
的前
n
项和，
S
n
＝
(
－
1)
n
a
n
－
2
n
，
n
Ⅰ
N
*
，则：
(1)
a
3
＝
________
；
(2)
S
1
＋
S
2
＋
…
＋
S
100
＝
________.
1
0
考点七
数列
{|
a
n
|}
的前
n
项
和问题
1
1.(2011·
北京，
11)
在等比数列
{
a
n
}
中
，
若
a
1
＝<
/p>
，
a
＝－
4
，
则公比
q
＝
________
；
|
a
1
|
＋
|
a
2
|
＋<
/p>
…
＋
|
a
n
|
＝
______
__
．
2
4
变式训练
1.(2013·
浙江，
19)
在公差为
d
的等差数列
{
a
n
}
中
，已知
a
1
＝
10
，且
a
1
，
2
a
2
＋<
/p>
2
，
5
a
3
成等比数列
.
<
/p>
(1)
求
d
，<
/p>
a
n
；
(2)
若
d
＜
0
，求
|
a
1
|
＋
|
a
2
|
＋
< br>|
a
3
|
＋
…
＋
|
a
n
|.
考点八
周期数列
1.
已知数列
2 008,2
009,1
，－
2
008
，－
2 009
，
…
，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后
< br>两项之和，则这个数列的前
2
014
项之和
S
2
014
等于
(
)
A
．
2 008
B
．
2
010
C
．
1
D
．
0
变式训练
n
π
1.(2012·
福建
)
数列
{
a
n
}
的通项公式
a
n
＝
n
cos
，其前
n
项和为
S
n
，则
S
2
012
等于
(
)
2
A.1 006
B.2 012
C.503
D.0
考点九
数列与不等式的应用
1
．
(2014·
新课标全
国
Ⅰ
，
17)
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
＝
1
，
a
n<
/p>
＋
1
＝
3
a
n
＋
1.
1
(1)
证明
a
n
＋
2
是等比数列，并求
{
a
n
}
的通项公式；
1
1
1<
/p>
3
(2)
证明
＋
＋
…
＋
<
.
a
1
a
2
a
n
2
1
*
2.(2015·
浙江，
20)
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
＝
且
a
n
＋
1
＝
a
n
－
a
2
n
(
n
Ⅰ<
/p>
N
)
．
2
a
n
(1)
证明：
1≤
≤2(
n
Ⅰ
N
*
)
；
a
n<
/p>
＋
1
1
1
1
S
n
1
(2)
设数列
{
a
2
≤
≤
(
n
Ⅰ
N
*
)
．
n
}
< br>的前
n
项和为
S
n
，证明：
2
（
n
＋
2
）
< br>n
2
（
n
＋
1
）
2
2
2
3.
(2013·
江西，理
)
正项数列
{a
n
}
的前项和
{a
n
}
满足：
s
n
(
n
n
1)
s
n
(
n
< br>
n
)
0
（
1
）
求数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
；
< br>
（
2
）令
b
n
n
1
5
*
n<
/p>
T
，数列
{b
}
的前
项和为
。证明：对于任意的
，都有
n
N
T
n
n
n
(
n
2)
2
a
< br>2
64
变式训练
1.(2014·
湖北，
18)
已知等差数列
{
a
n
}
满足：
a
1
＝
2
，且
a
1
，
a
2
，
a
5
成等比数列．
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
记
S
n
为数列
{
a
n
}
的前
n
项和，是否存在正
整数
n
，使得
S
n
>60
n
＋
800
？若存在，求
n
的最小值；若
不存
在，说明理由．
1
2
2
S
n
1
2
2
．
(2013·
广东
，
19)
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
.
已知
a
1
＝
1
，
＝
a<
/p>
n
＋
1
－
n
2
－
n
－
，
n
Ⅰ
N
*
.
n
3
3
(1)
求
a
2
的值；
(2)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
1
1
1
7
(3)
证明：对一切正整数
n
，有
＋
＋
…
＋
<
.
<
/p>
a
1
a
2
a
n
4
3
3.(
2013·
天津，
19)
已知首项为<
/p>
的等比数列
{
a
n
}
的前
n
项
和为
S
n
(
n
Ⅰ
N
*
)
，且－
2
S
2
，
S
3
，
4
S
4
成等差数列
.
2
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
1
13
(2)
证明
S
n
＋
≤
(
n
Ⅰ
N
*<
/p>
).
S
n
6
2
2
4.(2014·
广东，
19)
设各项均为正数的数列
{
a
n
}
的
前
n
项和为
S
n
，且
S
n
满
足
S
2
n
－<
/p>
(
n
＋
n
－
3)
S
n
－
3(
n
＋
n
)
＝
0
，
n
Ⅰ
N
*
.
(1)
求
a
1
的值；
(2)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
1
1
1
1
(3)
证明：对一切正整数
n
，有
＋
＋
…
＋
＜
.
<
/p>
a
1
（
a
1
＋
1
）
a
2
（
a
2
＋
1
）
a
n
（
a
n
＋
1
）
3<
/p>
1
3
答案
考点一
公式法求和
1
1.(2016·
新课标全国
Ⅰ
)<
/p>
已知
{
a
n
}
是公差为
3
的等
差数列，数列
{
b
n
< br>}
满足
b
1
＝
1
，
b
2
＝
，
a
n<
/p>
b
n
＋
1
＋
b
n
＋
1
＝
nb
n
.
3
(1)
求
{
a
n
< br>}
的通项公式；
(2)
求
{
b
n
}
的前
n
项和
.
【答案】
（
I
）
a
n
3
n
< br>1
（
II
）
3
1
.
2
2
3
n
1
考点：等差
数列与等比数列
2.(2013·
新
课标全国
Ⅰ
，
17)
< br>已知等差数列
{
a
n
}
的公差不为零，
a
1<
/p>
＝
25
，且
a<
/p>
1
，
a
11
，
a
13
成等比数
列
.
(1)
求
{
a
n
}<
/p>
的通项公式；
(2)
< br>求
a
1
＋
a
4
＋
a
7
＋
…
＋
a
3
n
－
2
.
解
(1)
设
{
a
n
}
的公差为
d
.
由题意，
a
2
11
＝
a
1
a
13
，
即
(
a
< br>1
＋
10
d
)
2
＝
a
1
(
a
1
＋<
/p>
12
d
).
<
/p>
于是
d
(2
a<
/p>
1
＋
25
d
)
＝
0.
又
a
1
＝
25
，所以
d
＝
0(
舍去
)
，
d
＝－
2.
故
a
n
＝－
2
n
＋
27.
1
4
(2)
令
S
n
＝
a
1
＋
a
4
＋
a
7
＋
…
＋
a
< br>3
n
－
2
.
由
(1)
知
a
3
n
－
2
＝－
6
n<
/p>
＋
31
，故
{<
/p>
a
3
n
－
2
}
是首项为
25<
/p>
，公差为－
6
的等差数列
.
n
n
从而
S
n
＝
(
a
1
＋
a
3
n
－
2
)
＝
(
－
6
n
＋
56)
＝－
3
n
2
＋
28
n
.
2
2
变式训练
1.(2015·
四川，
16)
设数列
{
a
n
}(
n
＝
1
，
2
，
3
，
…)
的前
n
项和
S
n
满足
S
n
＝
2
< br>a
n
－
a
1
，且
a
1
，
a
2
＋
1<
/p>
，
a
3
成等差数
列
.
(1)
求数列
{
a
n
}
的
通项公式；
(2)
设数列
1
a
n
的前
n
项和为
T
n
，求
T
n
.
解
(1)
由
已知
S
n
＝
2
a
n
－
a
1
，有
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝
2
a
n
－
2
a
n
－
1
(
n
≥2
)
，即
a
n
＝
2
a
n
－
1
(
n
≥2)
，
从而
a
2
＝
2
a
1
，
a
3
＝
2
a
2
＝
4
a
1
，
又因为
a
1
，
a
2
＋<
/p>
1
，
a
3
成等差数列，即
a
1
＋
a
3
＝
2(
a
2
＋
1)<
/p>
，
所以
a
1
＋
4
a
1
＝
2(2
a
1
＋
1)
，解得
a
1
＝
2
，
所以，数列
{
a
n
}
是首项为
2
，公比为
2
的等
比数列，故
a
n
＝
2
n
.
(2)
由
(1)
得
1
a
n
＝
1
2
n
，
<
/p>
1
1
－
1
n
所以
T
1
1
1
< br>2
2
1
n
＝
2
＋
2
2
＋
…
＋
2
n
＝
＝
1
－
n
.
< br>1
－
1
2
2
2.(2014·
福建，
17)<
/p>
在等比数列
{
a
n
}
中，
a
2
＝
3
，
a
5
＝
81.
(1)
求
a
n
；
(2)
设
b
n
＝
log
3
a
n
，求数列<
/p>
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
解
(1)
设
{
a
n
}
的公比为
q
，依题意得
a
1
q
＝
3<
/p>
，
a
a
1
q
4
＝
81
，
解得
1
＝
1
，
q
＝
3.
因此，
a
n
＝
3
n
－
1
.
(2)
因
为
b
n
＝
lo
g
3
a
n
＝<
/p>
n
－
1
，
所以数列
{
b
n
（
b
1
＋
b
n
）
n
2
－
n
< br>n
}
的前
n
项和
S
n
＝
2
＝
2
.
考点二
错位相减法
1.(2015·
山东，理，
18)
已知数列
< br>
a
n
的前
n
项和
S
n
=3
n
2
+8
n
，
b
n
是等差
数列，且
a
n
b
n
b
n
1
.
（Ⅰ）
求数列
b
n
的通项公式；
< br>(
a
n
1)
n
1
（Ⅱ）令
c
n
(
b
n
.
求
数列
c
n
的前
n
项和
T
n
.
n
2)
【答案】
（
Ⅰ）
b
n
3
n
1
；
（Ⅱ）
T
n
3
n
2
n
2
.
1
5
(6
n<
/p>
6)
n
1
3(
n
1)
2
n
1
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
c
n<
/p>
n
(3
n
3)
又
T
n
c
1
c
2
c
3
c
n
，
2
3<
/p>
4
n
1
得
T
n
3
[2
2
3
< br>2
4
2
(
n
1)
2
]
，
<
/p>
2
T
n
3
[2
2
3
3
2
4
< br>4
2
5
(
n
1)
2
n
2
]<
/p>
，
两式作差，得
T
n
3
[2
2
2
2
3
2
4
2
n
1
(
n
1)
2
n
2
]
4(2
n
1)
3
[4
(
n
1)
2
n
2
]
2
1
3
n
2
n
< br>2
所以
T
n
3
n
2
n
2
<
/p>
考点：数列前
n
项和与第
n
项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法
2.(2015
·天津，
18)
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
＋
2
＝
qa
n
(
q
为实数，且
q
≠
1)
，
n
∈
N
*
，
a
1
＝
1
，
a
2
＝
2
，
且
a
2
＋
a<
/p>
3
，
a
3
＋
a
4
，
a
4
＋
a
5
成等差数列
.
(1)
求
q
的值和
{
a
n
}
的通项公式；
1
6
(2)
设
b
n
＝
log
2
a
2
n
，
n
∈
N
*
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
.
a
2
n
－
1
解
(1)
由已知，有
(
a
3
＋
a
4
)
－
(
a
2
＋
a
3
)
＝
(
a
4
＋<
/p>
a
5
)
－
(
a
3
＋
a
4
)
，
即
a
4
－
a
2
＝
a
5
－
a
3<
/p>
，
所以
a
2
(
q
－
1)
＝
a
3
(
q
－
1)
，又因为
q
≠
1
，
故
a
3
＝
a
2
＝
2
，由
a
3
＝
a
1
q
，得
q
＝
2.
n
－
1
当
n
＝
2
k
－
1(
k
∈
N
*
)
时，
a
n
＝
< br>a
2
k
－
1
＝
2
k
－
1
＝
2
n
当
n
＝
2
k
(
k
∈
N
*
)
时，
a
n
＝
a
2
k
＝
2
k
＝
2
2.
2
；
2
2
，
n
为奇数，
所以，
{<
/p>
a
n
}
的通项公
式为
a
n
＝
n
2
2
，
n
为偶数
.
log
2
a
2
n
n
(2)
由
(1)
得
b
n
＝
＝
n
－
1
，
n
∈
N
*
< br>.
a
2
n
－
1
2
设
{
b
n
}
的前
n
项和为
S<
/p>
n
，
1
1
1
1
1
则
S
n
＝
1
×
2
0
＋
2
×
2
1
＋
3
×
2<
/p>
2
＋…＋
(
n<
/p>
－
1)
×
n
－
2
＋
n
×
n
－
1
，
2
2
< br>1
1
1
1
1
1
S
n
＝
1
×
1
＋
2
×
2
＋
3
×
3
＋…＋
(
n
－
1)
×
n
－
1
＋
n
×
n
.
2
2
2
2
2
2
上述
两式相减得：
1
1
< br>－
2
n
1
1
1
1
n
n
2
S
n
＝
1
＋
2
＋
2
2
＋…＋
2
n
－
1
－
2
n
＝
1
< br>－
2
n
1
－
2
2
n
＝
2
－
2
n
－
2
n
，
n
＋
2
整理得，
S
n
＝
4
－
n
－
1
，
n
∈
N
*
.
2
所以，数列
{
b
n
}
的前
n
项和为
4
－
变式训练
1.(2014
·江西，<
/p>
17)
已知首项都是
1
< br>的两个数列
{
a
n
}
，
{
b
< br>n
}(
b
n
≠
0
，
n
∈
N
*
)
满足
a
n
b
n
＋
1
－
a
n
＋
1
b
n
＋
2
b
< br>n
＋
1
b
n
＝
0.
1
7
n
－
1
n
＋
2
*
n
－
1
，
n
∈
< br>N
.
2