错位相减法数列求和法
我是一个兵来自老百姓-
标准
特定数列求和法—错位相减法
在高中
所学的数列求合的方法有很多，比如倒序相加法、公式法、数学归
纳法、
裂项相消法、
错位相减法等等，
在此处我们就只着重讲
解一种特定数列求
和的方法——错位相减法。那到底什么是错位相减法呢？现在咱们来回
忆当初
学习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的，
下面是推导过
程：
数列
a
n
是由第一项为
a
1
，且
公比为
q
的等比数列，它的前
n
项和是
s
n
a
1
a
1
q
a
1
q
2
...
a
1
q
n
1
，求
s
n
的通项公式。
解
由已知有
1
s
n
a
1
a
1
q
a
1
< br>q
2
...
< br>
a
1
q
n
1
，
○
两端同乘以
q
，有
2
qs
n<
/p>
a
1
q
a
1
q
2
a
1
q
3
...
a
1
q
n
○
1
-
○
2
得
○
3
(1<
/p>
q
)
s
n
a
1
a
1
q
n
○
1
可得
当
q
1
时，由
○
s
n
na
1
3
可得
当
q
1
时，由
○
a
1
a
1
q
n
s
n
< br>1
q
a
1
a
1
q
n
于是
s<
/p>
n
na
1
(
q
1)
或者
s
n
(
q
1)
1
q
通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简
化
了，
从而得到等比数列的求和公式，
这种方法叫错位相减法，<
/p>
那我们是不是遇
文案
标准
到复杂的运算就都可以用这种方
法呢？答案当然不是，我们仔细观察这推导过
程，
就会发现其实
错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的
复杂数列的。可以归纳数学
模型如下：
已知数列
a
n
是以
a
1
为首项，
d
为公差的等差数列，数列
b
n
是以
b
1
为首
项，
q
(
q
1)
为
公比的等比数列，数列
c
n
a
n
b
n
，求数列
c
n
的前
n
项和
.
解
由已知可知
1
c
n
a
1
b
1
a
2
b
2
a
3
< br>b
3
...
< br>
a
n
b
n
○
两端同
乘以
q
可得
qc
n
a
1
b
1
q
a
2
b
2
q
a
3
b
3
q
< br>...
a
n
< br>
1
b
n
1
q
a
n
b
n
q
2
=
a
1
b<
/p>
2
a
2
b
3
a
3
b
4
...
a
n
1
b
n
a
n
b
n
q
○
1
-
○
2
得
由
○
(1
q
)
c
n
a
1
b
1
d
(
b
2
<
/p>
b
3
...<
/p>
b
n
1
b
n
)
a
n
b
n
q
化简得
c
n
a
1
b
1
d
(
b
2
< br>b
3
...
< br>
b
n
1
b
n
)
a
n
b
n
q
(
q
1)
1
q
许许多多的高考试题以及课后习题证明了不是
所有的数列题目都会很直接
地写明所求数列是一个等比数列乘以一个等差数列的形式，<
/p>
通过对最近几年高考
中的数列题的分析总结出了以下几种错位相减
法求和类型：
所求数列中的等差数列是已知
这第一
种类型的题顾名思义是所求的复杂数列中直接给出其中一个是等差
数列，
则只要证明或者求出另一个是等比数列，
那么就可以用错位相减法来求解
该题，
同时如果另一个不能被证明是等比数列就不能用错位相减法来求
解，
得另
找他法了
.
例
1.
（
2013
文）设
S
n
为数列
{
a
n
}
的前
n
项和，已知：
文案
标准
a
1
0,<
/p>
2
a
n
a
1
S
1
S
n
,
n
N
*
.
（
1
）求
a
1
，并求数列
{
a
n
}
的通项公式
（
2
）求数列
{
na
n
}
的前
n
项和
.
分析：在本题中第二问要求的是数列
{
na
n
}
的前
n
项和，其中的
a
n
我们不能
直接知道是什么数列，
n
可以由做题经验看出是公差为
1
的等差数列
，
所以在本
题中要先求出
a
n
，证明是等比数列以后，则才可以用错位相减法求解
b
n
.
解
(1)
令
n
1
得
a
1
a
1
2
因为
a<
/p>
1
0
所以
a<
/p>
1
1
令
n
2
,
得
2
a
2
1
S
2
1
a
2
< br>a
2
2
，
当
n
2
时
,
由
2
a
n
1
s
n
，
< br>2
a
n
1
s
n
1
,
两式相减得
2
a
n
2
a
n
1
a
n
,
即
a
n
2
.
a
n
1
故数列
{
a
n
}
是由首项为<
/p>
1,
公比为
2
的
等比数列，所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
2
n
1
.
(2)
由
(1)
知
,
na
n
n
2
n
1
.
记数列
{
na
n
}
的前
n
项和为
B
n
.
于是
B
n
1
2
2
3
2
< br>2
L
n
2
n
1
,
①
2
B
n
1
2
2
2
2
< br>
L
n
2
n
,
②
②
-
①得
B
n
n
2
n
(1
2
2
2
L
2
n
1
)
1
(<
/p>
n
1)
2
n
.
例
2
．（
2010
新课
标卷理）设数列
a
n
满足
a
1
< br>
2,
a
n
1
a
n
3
2<
/p>
（
1
）
求数列
a
n
的通项公式；
文案
2
n<
/p>
1
.
标准
（
2
）
令
b
n
na
n
，求数列的前
n
项和
S
n
解
（
1
）由已知，当
n
1
时，
a
n
1
[(<
/p>
a
n
1
a
n
)
(
a
n
a
n
1
)
L
(
a
2
<
/p>
a
1
)]
a
1
3(2
2
n
1
2
2
n
3
< br>L
2)
2
2
2(
n
1)
1
所以数列
{
a
n
}
的
通项公式为
a
n
2
2
n
1
.
（
2
）
由
b
n
na
n
n
2
2
n
1
知
S
n
1
2
2
2
3
3
< br>2
5
L
n
2
2
n
1
，
①
从而
2
2
S
n
1
2
3
2
2
< br>5
3
2
7
L
n
2
2
n
1
，
②
①
-
②得
(1<
/p>
2
2
)
S
n
2
2
3
2
5
L
2
2
n
1
n<
/p>
2
2
n
1
，
即
1
S
n
[(3
n
1)2
2
n
1
2]
.
9
评析：在上述
两个例题中的第一问中都是先求出了
a
n
是等比数列，所以
此时的
na
n
就是一个等比数列乘以一个等差数列而成的复杂数列，符合模型要
求
，最后才可以用错位相减法快速地求出
na
n
< br>的前
n
项和
.
所求数列中的等比数列是已知
这种类
型的题与第一种类型题相反，就是在所求的复杂数列中直接写明其
中一个是等比数列，<
/p>
只要求出或者证明另一个是等差数列，
则我们就可以用错位
相减法来求解该题，如果另一个不是等差数列则我们就不能用错位相减法来求
< br>解，下面我们又来看看这类题型的应用。
文案
标准
例
3.
（
20
13
理
17
）已知等差数列
a
n
满足
a
2
< br>0
，
a
6
a
8
10
.
（
1
）求数列
a
n
的通项公式；
< br>
a
（
2
）求数列
n
n
的前
n
项和
.
1
2
a
分析：在本题中最终要求的是数列
n
n
的前
n<
/p>
项和，其中的
a
n
不能直接知
1
< br>
2
道是什么数列，
要通过已知求解，
1
1
我们可以由做题经验看出是以公比为
的
n
1
2
2
等
比数列，故在本题中我们要先求出
a
n
，证明它是等差数列以后，则才可以用
a
错位相减法求出数列
n
n
的前
n
项和
.
1
2
解（
1
）设等差数列
a
n
的公差为
d<
/p>
，从已知条件可知道：
a
1
d
< br>
0
a
1
1
，
解得
<
/p>
2
a
12
d
10
d
1
1
故数列
a
n
的通项公式为
a
n
2
n
a
（
< br>2
）设数列
n
n
的前
n
项和为
S
n
，
< br>
1
2
即
S
n
a
1
故
S
1
1
，所以当
n
1
时，
a
a
2
a
3
1
< br>
○
2
n
n
1
2
2
< br>2
S
n
a
1
a
2
a
1
a
n
2
○
1
2
n
n
○
n
1
2
2
2
2
2
2
有：
-
○
S
n
a
a
a
a
a
a
a
< br>a
1
2
1
3
2
2
n
n
1
n
1
n
，
n
2
< br>2
2
2
2
又
a
n
a
n
1
1
所以
S<
/p>
n
a
1
1
1
a
1
(
2
n
1
)
n
2
2
2<
/p>
2
2
n
文案