高中数列专题常见求和方法总结
鱼藤-
专题：数列及其数列求和
►
重点、考点精读与点拨
一、基本知识
1
．定义：
(1)
.
数列：按一定次序排序的一列数
(2)
等差数列：一般地，如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的差等于同一
个常数，则
这个数列叫做等差数列
(3)
等比数列：一般地，如果一个数列从第
2
项
起，每一项与它的前一项的比等于同一
个常数，则这个数列叫做等比数列
2
．
通项公式与前
n
项和公式
{
a
n
}
为等差数列：
a
n
a
1
(
n
1
)
d
S
n
na
1
n
(
n
1
)
2
d
n
(
a
1
a
n
)
2
{<
/p>
b
n
}
为等比数
列：
n
1
b
n
b
1
q
(
q
1
)
< br>S
n
a
1
(
1
q
)
1
q
n
a
1
a
n
q
1
q
（
< br>q
1
)
3
．
常用性质
{
a
n
}
为等差数列，则有
（
1
）
从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，
a
n
（
2
）
a
n
a
m
(<
/p>
n
m
)
d
(
m
,
n
N
)
*
a
n
1
a
n
1
2
（<
/p>
n>1
）
（
3
）
若
m+n = p+q ,
则：
a
m
a
n
a
p
a
q
，
< br>特殊的：
若
m+n=2r ,
则
有：
a
m
a
n
2
a
r
（
4
）
若
a
m
n
,
a
n
m
,
则有：
a
m
n
< br>
0
（
5
）
若
S
m
n
,
S
n
m
,
则有：
S
m
n
< br>
(
m
n
)
2
（
6
）
{
a
n
}
为等差数列
a
n
pn
q
(
p
,
q
为常数
)
S
n
pn
qn
(
p
,
q
R
)
（
7
）
S
m
,
S
2
m
S
m
,
S
3
< br>m
S
2
m
┅┅仍成等差数列
（
8
）
{
a
n
},
{
b
< br>n
}
为等差数列，则
{
pa
n
qb
n
}
为等差数列（
p<
/p>
，
q
为常数）
（
9
）若项数为偶数
< br>2n
，
S
偶
－
S
奇
＝
nd
，
S
奇
S
偶
＝
a
n
a
n
1
＝
若项数奇数
2n<
/p>
－
1
，
S
奇
－
S
偶
a
n
，
a
n
S
n
S
n
1
(
n<
/p>
2
（
10
）
)
a
1
S
1
{
a
< br>n
}
为等比数列，则有
S
奇
S
偶
n
n
1
（
1
）
只有同号的两数才存在等比中项
（
2
）
a
n
a
m
q
n
m
(
m
,
< br>n
N
)
2
*
（
3
）
若
m+n
= p+q ,
则：
a
m
a
n
a
p
a
q
，特殊的：若
m+n=2r ,
则有：
a
m
a
n
a
r<
/p>
（
4
）
{
a
n
},
{
b
n
}
为等比数列，则
{
a
n<
/p>
b
n
}
，
{
a
n
b
n
}
，
{
ca
n
< br>}
为等比数列（
c
0
）
（
5
）
等比数列中连续
n
项之积构成的新数列仍是
等比数列，
当
q
1
时，
连续项之和仍为
等比数列<
/p>
（
6
）
a
n
cq
n
(
c
0
,
q
0
)
S
n
kq
n
k
(
q
0
,
q
1
)
二、在数列中常见问题：
1
、等差数列的通项公式是关于
n
的一次函数，<
/p>
a
n
dn
(
a
1
d
)
（定义域为正整
数集）
，
一
次
项
的
系
数
为<
/p>
公
差
；
等
差
数
列
的
前
n
项
和
公
式
是
关
于
n
的
二
次
函
数
，
s<
/p>
n
d
2
n
(
a
1
2
d
2
)
n
二次项系数为公差的一
半，常数项为
0.
证明某数列是等
差（比）
a
n
1
a
n
常数，（
数列，
通常利用等差
（比）
数列的定义加以证明，
即证：
a
n
1
a
n
常数）
a
n
0
2
、
等差数列当首项
a
1
>0
且公差
d<0
时
(
递减数列
)
，
前
n
项和存在最大值。
利用
确
a
0
n
1<
/p>
定
n
值，即可求得
s
n
的最大值（也可以用二次函数的性质或图象解）
。
等差数列当首项
< br>a
1
<0
且公差
d>0
时（递增数列）
，前
n
项和存在最小值。
S
1
n
1
3
、遇到数列前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系的问题应利用
a
n
<
/p>
S
n
S
n
1
n
2
a
1
a
4
、满足
的数列，求通项用累加（消
项）法，
a
n
1
a
n
f
(
n
)
如：已知数列
{a
n
}
中，
a
1
=1,a
n+
1
=a
n
+2
,
求
a
n
；
a
1
a
满足
的数列，求通项用累乘（消项）法，
a
n
1
a
n
f
(
n
)
< br>n
如：已知数列
{a
n
}
中，
a
1
=1,a
n+
1
=
n
n
1
a
n
,
求
a
n
；
三、数列求和的常用方法：
(1)<
/p>
公式法
：必须记住几个常见数列前
n
项和
等差数列
：
S
n
n<
/p>
(
a
1
a
n
)
2
na
1
n
(
n
< br>1
)
d
2
；
等比数列：
S
< br>n
na
1
q
1
a<
/p>
1
(
1
q
n
)
；
q
1
1
q
1
a
< br>
4
,
1
a
3
(2)
分组求和
：如：求
1+1,
可进行分
组即：
1
1
a
1
a
1<
/p>
a
2
7
,
…
,
1
n
1
2
a
1
3
n
2
,
…的
前
n
项和
a
n
1
1
4
7
3
n
2
< br>
前面是等比数列，后面是等差数列，分别求和
(
3
n
1
)
n
a
1
2
）
<
/p>
(
3
n
1
)
n
a
1
2
1
n
(
n
2
)
（注：
S
n
(3)
裂
项
法
：
如
a<
/p>
n
1
n
(
n
2
)
，
求
S
n
，
常
用
的
裂
项
1
n
(
n
1
)
1
< br>n
1
n
1
，
1
1
1
1
1
1
1
(
)
；
[
]
< br>2
n
n
2
n
(
n
1
)(
n
<
/p>
2
)
2
n
(
n
1
)
(
n
1
)(
n
< br>2
)
(4)
错
< br>位
相
减
法
：
其
特
点
是
c
n
=a
n<
/p>
b
n
其
中
{a
n
}
是
等
差
，
{b
n
}
是
等
比
如
：
求
和