刘徽割圆术和物理解题的极限、微元、积分思想
病句类型及例句-
刘徽割圆术和物理解题的微元法
“圆，一中同长也。
”纯语文翻译<
/p>
:
圆这种图形
,
有一个中心
,
从这个这个中心到圆上各点都一
< br>样长
.
< br>数学意义
:
圆有一个圆心
,
圆心到圆上各点的距离
(
即半径
)
都相等
.
关于“圜”
的定义。
墨子说：
“圜，
一中同长也。
”(
《
墨经上》
)
这里的“圜”
即为圆，
墨子指出圆
可用圆规画出，
也可用圆规进行检验。
圆规在墨子之前早已
得到广泛地应用，
但给予圆以精确的定义，
则是墨子的贡献。
墨子关于圆的定义
与欧几里得几何学中圆的定
义完全一致。
遇到求圆的周长的问题，
周长的计算涉及到一个圆周率
π
，
古
人根据经验一直沿用
“周
三径一”
。实
践中发现，周三径一并不是圆周长与直径的关系，而是圆内接六边形的周长与
直径的比值
。
公元三世纪，
我国数学家刘徽对这个问题作了深入的研究，<
/p>
运用他的话说：
“周
三者，
从六觚之环耳。
”
他在为
《
九章算术》
作注时谈到：
“
学者踵古，
习其谬失。
不有明据，
辩之斯难。凡物
类形象，不圆则方，方圆之率，诚著于近，则虽远可知也
。
”<
/p>
刘徽进行长期的追本觅源，
刻苦钻研
，
终于悟出其中的真谛实义，
创造出震惊中外数坛
的“割圆术”
。
他是从正
六边形开始运算，
令边数一倍一倍地增加，
边数变为
12
，
24
，
48
，
96
，
192
，
„，
逐个算出六边形、十二边形、二十四形、„„的边长，然后乘以边数得到周长，逐步地逼近
圆的周长，则正多边形的周长与圆的直径的比值就逐渐接近圆周率。
圆，是由什么样的图形演变而来的呢？《周髀算经》中写道：
“
数之法出于圆方，圆出
于方。
”
“环矩以为圆，合矩以为方。
”
“方数为典，
以方为圆。
”
于是刘徽看到了圆与方
形的关系，
用了下下面的方法证明了
《九章算术》
中计算圆面积
的法则：
圆内接正
n
边形，其面积，周长，一
边分别记为
Sn,Pn,a
n
设
AB
是
圆
内
接
正
6
边
形
的
一
边
，
AC
是
内
接
正
12
边
形
< br>的
一
边
，
S
OBC
=1/2DB*DC=1/4a
6
*r=1/2P
6
*r
,
同
理
，
S
24
=1/2P
12
*r
S
2n
=1/
2P
n
*r,
为了确定圆面积的上界，他还提出
S2 n < S < S n + 2 ( S2 n - S n ) = S2
n + ( S2 n - S n ) ,
得到
:31
4
×
64/625< S <
314
×
169/625,
由
S =1/2L r
,
得
L
≈
2
S2 n/r= 628.
故
π
=628/200= 3.14.
对
一
般
情
形
，
有
在割圆术中刘徽巧妙地运用了“方形好算，圆形难算”这个特
点，
把圆看成边数是
无穷的正多边形，它是未知的，
而边形有限的正多边形则是可求的，已知的。用有限来逼近
无限的方法实际
上是总结了“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体
而无所失矣！
”这句话。刘徽的割圆术也说明：如果圆的内接正多边形的边数无限增加，那
么正多边形的周长就无限地接近圆周长。
刘徽的
《割圆术》虽然创作于
1700
多年以前，但它对于今入学习和
研究现代数学依然
有深刻的启迪意义。
认真看了刘徽的割圆术的解法后，
我深受启发，
联系我们现在
所学的物理知识，
从他的
的解题思想和思路上我看到数学上极限
的思想，进而看到了物理题目中解法的微元法思想。
所谓
“微元”
就是先把一个所求的物理图形分割成无数个小块，
进而将这些小块带入一
定的公式计算，然后叠加起来，和刘徽的方法如出
一辙，所以我惊叹刘徽先进的思维。
在上面的那段话中“割之弥细”说明了将圆分割的越小，圆的弧段部分就越接近于方
形
，正多边形与圆周的差就越小，这样得到的长就越精确，也就是“所失弥少”
，
“
割之又
割”就是说
将这些弧段不断分割，
“以至于不可割”是说所割的弧段的数量无穷，这里体现
了极限的思想。微元的思想体现在分割成小段上。
这里和物理上解题十分类似，下面我举几个物理中常遇到的例子：
（例子中涉及到微
元
法，运用到极限的思想并推广到微积分，这说明刘徽的割圆术是微积分的鼻祖）
1.
（力学方面的类似割圆术解题的题目）
如图
1
所示
，某个力
F=10N
作用于半径
R=1m
的转盘的边缘上，力
F
的大小保持不变，但
方向保持任何时刻均与作用点的切线一致，则转动
一周，这个力
F
做的总功为多少？