独具匠心是什么意思-

2021年2月8日发(作者：舔足)

数列求和的几种方法、数列的实际应用问题

一

.

教学难点：

数列的实际应用问题

二

.

课标要求：

1.

< br>探索并掌握一些基本的数列求前

n

项和的方法；

2.

能在具体的问题情境中，发现数列的通 项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知

识解决相应的实际问题．

< br>

三

.

命题走向：

数列求和和数列综合及实 际问题在高考中占有重要的地位，

一般情况下都是出一道解答

题 ，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、

函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，

这些题目都考查考 生

灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目．

< p>

有关命题趋势：

1.

数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综合

题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考的重点；< /p>

2.

数列推理题将继续成为数列命题 的一个亮点，这是由于此类题目能突出考查学生的逻

辑思维能力，能区分学生思维的严谨 性、灵敏程度、灵活程度；

3.

数 列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合等；

4.

有关数列的应用问题也一直备受关注．

【教学过程】

一、基本知识回顾

1.

数列求通项与和



< br>s

n



s

n



1

n



2



s

（

1

）数列前

n

项和

S

n

与通项

a

n

的关系式：

a

n

＝



1

n



1

．

（

2

）求通项常用方法

①作新数列法．作等差数列与等比数列．

②累差叠加法．最基本的形式是：

a

n

＝（

a

n

－

a

n

－

1

） ＋（

a

n

－

1

＋

a

n

－

2

）＋…＋（

a

2

－

a

1

）＋< /p>

a

1

．

③归纳、猜想法．

（

3

）数列前

n

项和

< p>

①重要公式：等差和等比数列的求和公式

1

1

＋

2

＋…＋

n

＝

2

n

（

n

＋

1

）

；

< br>1

1

2

＋

2

2

＋…＋

n

2

＝

6

n

（

n

＋

1

）

（

2n

＋

1

）

；

1

< p>
1

3

＋

2

3

＋…＋

n

3

＝（

1

＋

2

< br>＋…＋

n

）

2

< br>＝

4

n

2

（

n

＋

1

）

2

；

②裂项相消法

将数列的通项分成两个 式子的代数和，即

a

n

＝

f

（

n

＋

< br>1

）－

f

（

n

）

，然后累加抵消掉中间

的许多 项，

这种先裂后消的求和法叫裂项求和法．

用裂项法求和，

需要掌握一些常见的裂项，

如：

③错位相减 法（可用于推导等比数列前

n

项和公式）

对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前

n

项和，常用错位相减

a

n



1

1

1

< br>1

1

1

1



(



)

(

An



B

)(

An



C

)< /p>

C



B

An



B

An



C

、

n

(

< p>
n



1

)

＝

n

－

n



1

等．

法．

a

n



b

n



c

n< /p>

，

其中



b

n



是等差数列 ，



c

n< /p>



是等比数列，记

S

n



b

1

c

1



b

2< /p>

c

2







b

n



< p>
1

c

n



1



b

n

c

n

，则

qS

n



b

1

c

2



b

n



1

c

n



b

n

c

n



1

，…

④分组转化求和

把数列的某些项放在一起先求和，然后再求

S

n

．

⑤倒序相加法（可用于推导等差数列前

< p>
n

项和公式）

2.

递归数列

数列的连续若干项满足的等 量关系

a

n

＋

k

＝

f

（

a< /p>

n

＋

k

－

1

，

a

n

< p>
＋

k

－

2

，…，

a

n

）称为数列的递归 关

系．由递归关系及

k

个初始值可以确 定的一个数列叫做递归数列．如由

a

n

＋

1

＝

2a

n

＋

1

，及

a< /p>

1

n

{

2



1

}

即为递归数列 ．

＝

1

，确 定的数列

递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：

（

1

）归纳、猜想．

（

2

）迭代法．

（

3

）代换法．包括代数代换，对 数代数，三角代数．

（

4

< p>
）作新数列法．最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题．

【

典型例题

】

1







a

n

例

1.

已知数列

为等差数列，且公差不为

0

，首项也不为

0

，求 和：

i



1

a

i

a

i



1

．

n

n

n

1

1

1

1

1

1

< br>1

1

n



(



)

(



)









a

n



1

a

1

a

n



1

．

< br>a

a

d

a

a

i



1

i



1

i

i



1

i

i



1

，则

i

< p>


1

a

i

a

i



1

＝

d

a

1

解：

首先考虑

点

评

：

已

知

数

列



a

n< /p>



为

等

差

数

列

，

且

< p>
公

差

不

为

0

，

首

项

也

不

为

0

，

下

列

求

和< /p>

n



i



1

n

n

a

< p>


a

i

1





i



1

d

a

i



a

i



1< /p>

i



1

也可用裂 项求和法．

1

1

1

1











,< /p>

(

n



N

*

)

1



< p>
2



3







n

例

2.

求

1



2

1



2



3

1



2



3



4

．

1

2



a

k

< br>



1



2







k

k

(

k



1

)

，

解：

1





< p>
S

n



2

[

1

1

1









]

1



2

2< /p>



3

n

(

n



1

)

< p>





1





1

1



1







1



2

n< /p>



1



2





1



< p>




















.







2



1< /p>









n

n



1

< p>






n



1



n



1





2





2< /p>

3



点评：

裂项 求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些．

2

x



2

< p>
，利用课本中推导等差数列前

n

项和的方法，可求 得

f

(



5< /p>

)



f

(



4

)



< p>




f

(

0

)





f

(

5

)



f

(

6

)< /p>

的值为

____________

例

3.

设

解 ：

课本中推导等差数列前

n

项和的方法 为倒序相加法

.

因为

f

(

x

)



1

f

(

x

)



f

(

1< /p>



x

)



1

2

x



< p>
2



1

2

1



x



2



2

2

所以

f

(

< /p>

5

)



f

(

6

)



< p>
f

(



4

)



f

(

5

)







f

(

0

)< /p>



f

(

1

)





2

< p>
2

＝

3

2

2

2

原式＝

6

点评：

本题曾为上海高考 题，

主要考查考生对课本的熟练程度和倒序相加法的应用，

其< /p>

中有函数式子的变化，计算能力的考查．

例

4.

已 知

a



0

,< /p>

a



1

，数列< /p>



a

n



是首项为

a

，公比也为

a

的等比数列，令

b

n



a

n



< br>lg

a

n

(

n



N

)

，求数列



b

n



的前

n

项和

S

n

．

n

n



a



a

,

b



n



a

lg

< p>
a

，

n

n

解：



S

< br>n



(

a



2

a

2



3

a

3







na

n

)lg

a

……

①

aS

n



(

a

2



2

< p>
a

3



3

a

4







na

n



1

)lg

a

……

②

2

n

n



1

①－②得：

(

1



a

)

S

n



(< /p>

a



a







a



< p>
na

)

lg

a

< p>
，



S

n



a

lg

< br>a

n

1



(

1



n



na

)

a

(< /p>

1



a

)

2

点评：

设数列< /p>



a

n



是等比数列，数列



b

n



是等差数列，则对数列



a

n

b

n

< p>


的前

n

项和

< p>
S

n





进行求解，均可用错位相减．

2

n



1

例

5.

数列

lg

1000

,

lg(

1000



cos

60



< br>),

lg(

1000



cos

60



),.. .

lg(

1000



< br>cos

60



),

…

的前多少

项和为最大？

解：

a

n

< /p>

3



(

n



1

)lg2,

< /p>

a

n



是以

3

为首项，以



l g

2

为公差的等差数列，

< p>
n

lg

2

2

6



lg

2

S

n



[3

< br>

3



(

n



1)lg

2]

< br>



n



n

,

2

2

2

6



lg< /p>

2

n





10.47,

n



N

*

,10,11

2lg

2

对称轴

比较起来

10

更靠近对称轴

∴前

10

项和为最大



a

n



0



a



0

，得

9.9



n



10.9

另法：由



n< /p>



1

点评：

求和 的最值关键在于找分界点

.

1

1

1

2

n

例

6.

求数列

1

，

3

＋

< p>
3

，

3

2

＋

3

，

……

< br>，

3

n

＋

3

的各项的和．

3

n



1



1

1



3



n

1

1

1< /p>

1



2



n

n

3

3

< p>
3

2

2

＝

2

（

3

n

＋

1

－

解：

其和为（

1

＋

3

＋

…

＋

3

）＋（

＋

…

＋

）＝

3

n

）

．

点评：

分组转化法求和

.

－

例

7.

（

2006

年浙江卷

< br>20

）已知函数

f

(

< p>
x

)

＝

x

3

＋

x

2

，数列

{x

n

}

< br>．

（

x

n

＞

0

）的第 一项

x

1

＝

1

，以后各项按如下方式取定：曲线

y

＝

f

(

x

)

在

(

x

n



1



f

(

x

n



< br>1

))

处

的切线与经过（

0

，

0

）和（

x

n

，

f

< p>
（

x

n

）

）两点的直线平行（如图）

．

*

求证： 当

n



N

时：

（

I

）

x

n



x

n



3

x

2

2

n



1

< br>

2

x

n



1

；

1

1

(

)

n



1



x

n



(

)

n



2

2

< br>（

II

）

2

．

解：

（

I

）因为

f

(

x

)



3

x



2

x

,

所以曲线

y

< /p>

f

(

x

)

在

(

x

n

< p>


1

,

f

(

x

n



1

))

处的切线斜率

k

< p>
n



1



3

x

n



1



2

x

n



1

.

< /p>

2

(

x

,

f

(

x

))

x

(0,0)

n

因为过

和

n

两点的直线斜率是

n



x

n

,

2

2

'

2

2

所以

x

n



x

n



3

x

n



1



2

x

n



1

< br>.

（

II

）因为函数

h

(

x

)



x



x

< br>当

x



0

时单调递增，

而

x

n



x

n



3

x

n



1



2

x< /p>

n



1



4

x

n



< p>
1



2

x

n



1



(2

x

n



1

)



2

x

n



1

2

2

2

2

2

x

n



1

1



,

< br>x



2

x

2

n



1

，即

x

n

所以

n

x

x

x

1

x

n



n



n



1



2



(

)

n



1

.

x

n

< br>

1

x

n



2

x

1

2

因此

2

2< /p>

x



x



2(

x



x

n



1

),

< p>

n

n

n



1

又因为

y

n



1

1



.

2

2

令

y

n



x

n



x

n

,

则

y

n

1

1

y

< br>n



(

)

n



1



y

1



(

)

n



2

.

2

2

因为

y

< p>
1



x



x

1



2,

< br>所以

1

2

x

n



x

n



x

n

< /p>

(

)

n



2

,

2

因此

1

1

(

)

n



1

< br>

x

n



(

)

n



2

.

2

故

2

2

1

点评：

数列与解析几何问题结合在一块，

数列的通项与线段的长度、

点的坐标建立起联

系．

例

8.

（

2005

上海高考

20.

）假设某市

2004

年新建住房

400

万平方米，其中有

250

万 平方

米是中低价房

.

预计在今后的若干 年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长

8%.

另外，< /p>

每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加

50

< p>
万平方米

.

那么，到哪一年底，

< br>

（

1

）该市历年所建中低价房 的累计面积（以

2004

年为累计的第一年）将首次不少于

4750

万平方米

?

（

2

）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比 例首次大于

85%?

解：

（

1

）设中低价房面积形成数列

{a

n

}

，由题意可知

{a

n

}

是等差数列，

令

25n

2

＋

225n

≥

4750

，即

n

2

＋

9n

－

190

≥

0

，而

n

是正整数，

∴

n

≥

10

．

到

2013

年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于

4750

万平方米．

（

< p>
2

）设新建住房面积形成数列

{b

n

}

，由题意可知

{b

n

}

是等比数列，

－

其中

b

1< /p>

＝

400

，

q< /p>

＝

1.08

，则

b

n

＝

400·

（

1.08

）

n

1

·

0.85

．

< br>

－

由题意可知

a

n

＞

0.85 b

n

，有

250

＋（

n< /p>

－

1

）

·

50

＞

400·

（< /p>

1.08

）

n

1

·

0.85

．

由计算器解得满足上述不等式的最小正整数

n

< br>＝

6

．

到

200 9

年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于

85%

．

点评：

< p>
本题考查等差、等比数列的应用题，

关键是如何把实际问题转化为数列问题 ，

注

意解应用题的设、列、解、答四个步骤．

< br>

例

9.

某企 业进行技术改造，有两种方案，

甲方案：

一次性贷款

< p>
10

万元，

第一年便可获利

1

万元，以后每年比前一年增加

30%

的利润；乙方案：每年贷款

1

万元，第一年可获利

< p>
1

万

元，

以后每年比前一 年增加

5

千元；

两种方案的使用期都是

10

年，

到期一次性归还本息．

若

银行两种形式的贷款都按年息

5%

的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取

n

(

n



1

)



50

2

其中

a

1

＝

250

，

d

＝

50

，则

S

n

＝

250n

＋

＝

25n

2

＋

225n

，

1

.

05

10



1

.

629

,

1

.

3

10



13

.

786

,

1

.

5

10



57

.

665

）

解：

甲方案是等比数列，乙方 案是等差数列，

1

.

3

10



1

< br>1



(

1



30

%)



(

1



30

%)







(

1



30

%)





42

.< /p>

63

0

.

3

①甲方案获利：

（万

2

9

元）

，

银行贷款本息：

10

(

1

< p>


5

%)

10

< p>


16

.

29

< p>
（万元）

，

10



9



0

< p>
.

5

2

故甲方案纯利：

42

.

63< /p>



16

.

29< /p>



26

.

34< /p>

（万元）

，

② 乙方案获利：

1



(

< br>1



0

.

5

)



(

1



2



0

.

5

)







(

1



9



0

< br>.

5

)



10



1





32

.

50

（万元）

；

2

9

1

.

05



[

1



(< /p>

1



5

%)



(

1



5

%)





< p>


(

1



5

%)

]

< br>银行本息和：

1

.

05

10



1



< p>
1

.

05





13

.

21

0

.

05

（万元）

故乙方案纯利：

32

.

50



13

.

21



19

.

29

（万元）

；

综上可知，甲方案更好．

点评 ：

这是一道比较简单的数列应用问题，

由于本息与利润是熟悉的 概念，

因此只建立

通项公式并运用所学过的公式求解．

例

10.

（

2007

山东理

1 7

）设数列



a

n



满足

（Ⅰ）求数列



a

n



< br>的通项；

a

1



3

a

2



3

2

a

3



…



3< /p>

n



1

a

n



n

3

< p>
，

a



N

*

．

n

a

n

，求数列



< br>b

n



的前

n

项和

S

n

．

（Ⅱ）设

n

a

1



3

a

2



3

2< /p>

a

3



...3

n



1

a

n



,

3

解：

（

I

< p>
）

n



1

a

1



3

a

2



3

2

a

3



.. .3

n



2

a

n



1



(

n



2),

3

b

n



独具匠心是什么意思-

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