数列求和基本解法
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专题讲座一
《数列求和题的基本思路和常用方法》
数列求和是«数列»一章中的一个重要内容
,
是高考考试中的
常见题型这类试题形式变化多样
,
但
于
思路不清、
找不准方法常常又具有一定的规律可循
.
而多数考生在解题时由出现种种错误
,
导致
解题失败
.
现给出几种数列求和的不同方法<
/p>
,
并就题例分述如下
.
1
．
公式法
：很多求和问题可以利用
(
等差、等比
)
数列的前
n
项和公式解决
,
在具体问题
中记住并熟练应用下列几个常用公式：
n
n
n
n
1
2
①
k
;
②
2
k
1
n
;
③
2
k
n
n
1
2<
/p>
n
1
k
1
k
1
n
n
1
④
k
n
n
1
2
n
1
;
⑤
k
3
6
k
1
k
1
2
n
n
n
< br>
1
2
2
例如<
/p>
:
已知数列
a
n
的通项公式为
< br>a
n
n
2
10
n
2
,
求其前
n
项和
S
n
解
:
S
n<
/p>
1
2
10
1
2
2
2
10
2
2
n
2
10
n
2
1
< br>
2
3
n
2
2
2
2
< br>
10
1
2
3
n
<
/p>
2
n
1
1
n
n
1
2
n
1
< br>
5
n
n
1
2
n
n
n
2
n
1
6
3
2
．
折项分组法
:
把一不能直接求和的数列的每一项分解成几个
可以求和的
新数列，分别求和
. <
/p>
例如：已知数列
a
n
的通项公式为
a
n
解
< br>:
2
n
1
,
求其前
n
项和
S
n
n
2
1
1
1
1
S
n
1
3
5
< br>
2
n
1
n
2
4
8
2
1
1
1
1
2
（
< br>
n
）
=
n
n
1
2
4
2
2
1
3
5
< br>
2
n
1
+
此方法常用于解形如数列
<
/p>
a
n
b
n
的前
n
项和
(
其中
a
n
是等差数列
,
b
n
是等比数列
).
3
．
裂项相
消法
:
把数列的每一项拆为两项之差
,
求和时使大部分项能“正”、
“负”相消
,
变为求有限几项的和<
/p>
.
常用裂项公式为：
①
1
x
a
x
b
1
a
b
1
1
1
1
1
1
(
)
;
②<
/p>
;
a
b
x
a
x
b
n
(
n
< br>1
)
n
n
1
③
1
a
b
a
b
;
④
1
1
1
1
;
n
n
1
n
2
2
n
1
n
2
n
2
n
3
< br>
第
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页
⑤
n
n
!
n
1
!
< br>n
!
。
例如⑴求和
S
n
=
< br>1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
n
n
< br>1
1
2
1
2
1
3
1
3
1
4
1
1
1
)
1
n
1
n
< br>n
，求其前
n
项和
S
n
<
/p>
解
:
S
n
(
1
)
(
)
(
)
(
⑵已知数列
a
n
的通项公式为
a
n
< br>1
n
n
1
解
:
a
n
1
n
n
1
n
1
n
< br>
S
n
＝
2
1
3
2
n
1
n
< br>
n
1
1
利
用裂项相消法求和时可直接从通项入手
,
并且要判断清楚消项后
余下哪些项
.
此方法常用
于解形如数列
1
的前
n
项和
(
其中
a
n
是等差数列
)
a
a
n
n
1
4
．
倒序相加法
:
一个数列
,
如果
距首末等距离的两项的和相等，那么求这个数
列的前
n
项和可通过将正写和反写的和式相加
,
变为规则数列的求和。
如等差数列前
n
项和公式
的推导。
例如
:
求和
S
n
C
n
<
/p>
3
C
n
2
n
1
C
n
0
1
n
解
:
S
n
<
/p>
C
n
3
C
n
2
n
1
C
n
0
1
n
1
n
<
/p>
2
n
1
C
n
①
又
S
n
2
n
1
C
n
< br>2
n
1
C
n
n
0
n
1
1
0
3
C
n
C
n
②
1
n
1
n
2
n
2
C
n
< br>
①
+
②得
:
2
S
n
2
n
2
C
n
2
n
< br>
2
C
n
2
n
2
C
n
2
n
2
(
C
< br>n
C
n
C
n
0
1
0
n
1
C
n
2
n
1
< br>
2
n
S
n
n
1
2
n
n
1
2
n
此法常用于解形如
s
a
1
C
n
<
/p>
a
2
C
n
a
3
C
n
a
n
1
C
n
的和
.(
其中
a
n
是等差数列
)
5.
错项相减法：如果数列的每一项可分解为两个因式的乘积
,
各项的第一个
因子成公差为
d
的等差数列
,
第二个因子成公比为<
/p>
q
的等比数列
,
可将此数列前
n
项的和乘以公
比
q
然后错项相减从而求出
S
n.
例如
:
求已知数列
a
n
的通项
公式为
a
n
2
n
1<
/p>
7
，求其前
n
项和
S
n
n
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解
:
S
n<
/p>
7
3
7
2
5
7
3
2
n
1
7<
/p>
n
①
则
7
S
n
7
2
3
7
3
5
< br>
7
4
2
n
3
7
n
2
n
1
< br>7
n
1
②
，
①
-
②得
:
6
S
n
7
2
7
2
2
7
3
2
7
4
<
/p>
2
7
n
2
n
1
7
n
1
6
S
n
2
7
2
7
2
2
< br>7
3
2
7
4
2
7
n
2
n
1
7
< br>n
1
7
2
7
7
2
7
3
7
n
2
< br>n
1
7
n
1
7
7
<
/p>
1
7
n
4
6
n
7
n
1
28
< br>n
1
2
2
n
1
7
7
1
7
3
14
4
6
n
7
n
1
S
n
9
6.
变换法
：利用转化思想将其求和
问题转化为等差、等比求和题或利于求和式的题目。
例如
:
求数列：
1
,<
/p>
1
x
,
1
x
x
,
1
x
x
x
,
,
1
x
x<
/p>
x
x
2
2
3
2
3
n
1
的前
n
< br>项和
S
n
.
解
:
若
x
1
,
则
S
n
1
2
< br>3
n
若
x
1
,
1
x
x
x
x<
/p>
2
3
n
n
1
2
n
1
1
x
n
1
x
1
x<
/p>
1
x
2
1
x
3
1
x
4
1
x
n
<
/p>
S
n
1
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
1
x
1
x
2
< br>
1
x
3
1
x
n
1
x
1
n
x
x
2
x
< br>3
x
4
x
n
1
x
< br>
1
x
1
x
n
n
x
x
n
1
=
n
< br>2
1
x
1
x
1
x
1
x
7.
并项求和法
:
如果数列中各项正负相间
(
即通项公式中含有
(-1)
)
且相邻两项的和为常数
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n
或奇数项、偶数项分别由等差数列、等比数列等规则数列的项构成的数列，求和时可以重新组
合成几个规则数列求和进行计算，
但要注意项数
n
的奇偶性
,
常常需分项数<
/p>
n
为奇数和偶数来进
行讨论。
例如：已知数列
a
n
的
通项公式为
a
n
1
5
n
3<
/p>
，求前
n
项和
S
n
<
/p>
n
解法一
:
S<
/p>
n
＝
2
7
12
17
22
27
1
5
n
3
n
当
n
为奇数时
S
n
＝
5
n
1
1
5
n
n
5
n
5
n
< br>3
;
当
n
为偶数时
S
n
＝
5
2
2
2<
/p>
2
1
5
n
,
n
为奇数
2
综上所述
:
S
n
5
< br>n
,
n
为偶数
2
解法二
:
S
n
＝
2
7
12<
/p>
17
22<
/p>
27
1
5
n
3
< br>n
当
n
为奇数时
S
n
＝
2
12
22
3
5
n
7
17
27
5
n
8
n<
/p>
1
n
1
2
3
5
n
<
/p>
7
5
n
8
当
n
为偶数时
2
2
2
1
5
n
2
2
S
n
＝
<
/p>
2
12
22
3
5
n
7
17
27
<
/p>
5
n
8
n
n
2
3
5
n
<
/p>
7
5
n
8
2
2
< br>
2
2
1
5
n
,
n
为奇数
2
综上所述
:
S
n
5
n
,
n
为偶数
2
方法小结
:
1.
数列求和的关
键在于分析数列的通项公式的结构特征，在具体解决求和问
题中
,
要善于从数列的通项入手观察
数列通项公式的结构特征与变化规律，根据通项公式的形
式准确、迅速地选择方法
,
从而形成“抓通项、寻规律、定方法
”
的数列求和思路是解决这类试
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