2017年浙江省高考数学试卷(含答案)
人活着好累-
高考真题及答案
2017
年浙江省高考数学试卷
一、选择题（共
< br>10
小题，每小题
4
分，满分<
/p>
40
分）
1<
/p>
．
（
4
分）已知
集合
P=
{
x
|
﹣
1
＜
x<
/p>
＜
1
}
，
Q=
{
x
|
0
＜
x
＜
2
}
，那么
P
∪
Q=
（
）
A
．
（﹣
1
，
2
）
B
．
（
0
，
1
）
C
．
< br>（﹣
1
，
0
）
D
．
（
1
，
2
）<
/p>
2
．
（
4
分）椭圆
A
．
B
．
+
=1
的离心率是（
）
C
．
D
．
3
．
（
4
分）某几何
体的三视图如图所示（单位：
cm
）
，
则该几何体的体积（单位：
cm
3
）是
（
）
A
．
+
1
B
．
+
3
C
．
+
1 <
/p>
D
．
+
3
，则
z=x
+
2y
的取值范围是（
）
4
．
（
4
分）若
x
、
y
满足约束条
件
A
．
[
0<
/p>
，
6
]
B
．
[
0
，
4
]
C
．
[
6
，
+
∞）
D
．
[
4
，
+
∞）
5<
/p>
．
（
4
分）若函
数
f
（
x
）<
/p>
=x
2
+
ax<
/p>
+
b
在区间
[<
/p>
0
，
1
]
上的最大值是
M
，最小值是
< br>m
，
则
M
﹣
m
（
）
A
．与<
/p>
a
有关，且与
b
有关
B
．与
a
有关，但与
b
无关
< br>
C
．与
a
无关，且与
b
无关
D
．与
a
无关，但与
b
有关
6
．
（
4
分）
已知等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
，<
/p>
前
n
项和为
S<
/p>
n
，
则
“d
＞
0”
是
“S
4
+
S
6
＞
2S
5
”
的（
）
A
．充分不必要条件
B
．必要不充分条件
C
．充分必要条件
D
．既不充分也不必要条件
高考真题及答案
7
< br>．
（
4
分）函数
y=f
（
x
）的导函数
y=f′
（
x
）的图
象如图所示，则函数
y=f
（
x
）的
图象可能是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
8
．
（
4
分）已知随
机变量
ξ
i
满足
P
（
ξ
i
=
1
）
=p
i
，
P
（
ξ
i
=0
）
=1
﹣
p
i
，
i=1
，
2
．若
0
＜
p
1
＜
p
2
＜
，则（
）
A
．
E
（
ξ
1
）＜
E
（
ξ
2
）
，
D
（
ξ
1
）＜
D
（
ξ
2
）
B
．
E
（
ξ
1
）＜
E
（
< br>ξ
2
）
，
D
（
ξ
1
）
＞
D
（
ξ
2<
/p>
）
C
．
E
（
ξ
1
）＞
E
（
ξ
2
）
，
D
< br>（
ξ
1
）＜
D
（
ξ
2
）
D
．
E<
/p>
（
ξ
1
）＞
E
（
ξ
2
）
，
D
（
ξ
1
）＞
D
（
ξ
2
）
9
．
（
4
分）如图，已知正四面体
D
﹣
ABC
（所有棱长均相等的三棱锥）
，
P
、
Q
、
R
分别为
AB
、
BC
、
CA
上的点，<
/p>
AP=PB
，
=
=2
，分别记二面角
D
﹣
PR
﹣
Q
，
D
﹣
PQ
﹣
< br>R
，
D
﹣
QR
﹣
P
的平面角为
α
、
β
、
γ
，则（
）
A
．
γ
＜
α
＜
β
B
．
α
＜
γ
＜
β
C
．
α
< br>＜
β
＜
γ
D
．
β
＜
γ
＜
α
10
．
（
4
分）如
图，已知平面四边形
ABCD
，
AB<
/p>
⊥
BC
，
AB=
BC=AD=2
，
CD=3
，
AC
与
BD
交于点
O
，记
I
1
=
•
，
I
2
=
•
，
I
3
=
•
，则（
）
A
．
I
1
＜
I
2
＜
I
3
< br>B
．
I
1
＜
I
3
＜
I
2
C
．
I
3
＜
I
1
＜
I
2
D
．
I
< br>2
＜
I
1
＜
I
3
高考真题及答案
二、填空题：本大题
共
7
小题，多空题每题
6
分，单空题每题
4
分，共
3
6
分
11
．
（
4
分）我国古代数学家刘徽创立的<
/p>
“
割圆术
”
可以
估算圆周率
π
，理论上能把
π
的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了
“
割
圆术
”
，将
π
的值精确到小数点
后七位，其结果领先世界一千多年，
“
割圆术
”
的第一步是计算单位圆内接正六边<
/p>
形的面积
S
6
，
S
6
=
．
12
．<
/p>
（
6
分）已知
a
、
b
∈
R
，
（
a
+
bi
）
2
=3
+
4i
（
i
是虚数单位）
，则
a
2<
/p>
+
b
2
=
，
ab=
．
3
2
=x
5
+
a
x
4
+
a
x
3
+
a
x
2
+
a
x
+
a
，
13
．
（
6
分
）
已知多项式
（
x
+
1
）
（
x
+
2
）
1<
/p>
2
3
4
5
则
a
4
=
，
a
5
=
．
14
．
（
6
分）已知△
ABC
，
AB=AC=4
，
BC=2
，点
D
为
AB
延长线上一
点，
BD=2
，连
结
< br>CD
，则△
BDC
的面积是
，
cos
∠
BDC=
．
15
．
（
6
分）已知向量
、
满足
|
|
=1
，
|
|
=2
，则
|
+
|+|
﹣
|
的最小值
是
，最大值是
．
16
．<
/p>
（
4
分）从
6<
/p>
男
2
女共
8
名学生中选出队长
1
人，副队长
1
人，普通队员
2
人组成
4
人服务队，要求服务队中至少有
1<
/p>
名女生，共有
种不同
的选
法．
（用数字作答）
17
．
（
4
分）已知
a
∈
R
，函数
f
（
x
）
=
|
x
+
﹣
a
|+
< br>a
在区间
[
1
< br>，
4
]
上的最大值是
5
，
则
a
的取值范围是
．
三、解答题（共
< br>5
小题，满分
74
分）
18
．
（
14
分）已知函数
f
（<
/p>
x
）
=sin
2
x
﹣
cos
2
x
﹣
2
（
Ⅰ
）求
f
（
）的值．
sinx cosx
（
x
∈
R
< br>）
．
（
Ⅱ
）求
f
（
x
）的最小正周期及单调递增区间．
19
．
（
15
分）如图，已知四棱锥
P
﹣
ABCD<
/p>
，△
PAD
是以
AD
为斜边的等腰直角三
角形，
BC<
/p>
∥
AD
，
CD<
/p>
⊥
AD
，
PC=
AD=2DC=2CB
，
E
为
PD
的中点．
（
Ⅰ
）证明：
CE
∥
平面
PAB
；
（
Ⅱ
）求直线
CE
< br>与平面
PBC
所成角的正弦值．
高考真题及答案
< br>20
．
（
15
< br>分）已知函数
f
（
x
）
=
（
x
﹣
（
1
）求
< br>f
（
x
）的导函数；
）
e
﹣
x
（
x
≥
）
．
（
2
）求
f
（
x
）在区间
[
，
+
∞）上的取值范围．
21
．
（
15
分）如图，已
知抛物线
x
2
=y
，点
A
（﹣
，
）
，
B
（
，
）
，抛物线上
的点
< br>P
（
x
，
y
）
（﹣
＜
x
＜
）
，过点
B
作直线
AP
的垂线，垂足为
Q
．
（
Ⅰ
）求直线
AP
斜率的取值
范围；
（
Ⅱ
）求
|
PA
|
•
|
PQ
|
的
最大值．
22
．
（
15
分）已知数列
{
x
n
}
满足：
x
1
=1
，
x
n
=x
n
+
1
+
ln
（
1
+
x
n
+
1
）
（
n
∈
N
*
）
，证明：当
n
∈
N
*
时，<
/p>
（
Ⅰ
）
0
＜
x
n
+
1
＜
x
n
；
（
Ⅱ
）
2x
n
+
1
﹣
x
n
≤
（
Ⅲ
）
≤
x
n
≤
；
．
高考真题及答案
2017
年浙江省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共
10
小题，每小题
4
分，满分
40
分）
1
．<
/p>
（
4
分）已知集合
P=
{
x
|
﹣
1
＜
x
＜<
/p>
1
}
，
Q=
{
x
|
0
＜
x
＜
2
}
，那么
P
∪
Q=
（
）
A
．
（﹣
1
，
2
）
B
．
（
0
，
1
）
C
．
（﹣
1
，
0
）
D
．
（
1
，
2
）
<
/p>
【分析】
直接利用并集的运算法则化简求解即可．
【解答】
解：集合
P=
{
x
|
﹣
1
＜
x
＜
1
}
，
Q=
{
x
|
0
＜
x
＜
2
}
，
那么
P
∪
Q=
{
x<
/p>
|
﹣
1
＜
x
＜
2
}
=
（﹣
1
，
2
）
．
故选：
A
．
【点评】
本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力
．
2<
/p>
．
（
4
分）椭圆
A
．
B
．
+
=1
的离心率
是（
）
C
．
D
．
【分析
】
直接利用椭圆的简单性质求解即可．
【解答】
解：椭圆
+
=1
，可得
a=3
，
b=2<
/p>
，则
c=
．
=
，
所以椭
圆的离心率为：
=
故选：
B
．
【点评】
本题考查椭
圆的简单性质的应用，考查计算能力．
3
．
（
4
分）某几何体的三视图如图所示（单位：
cm
）
，则该几何体的体积（单位：
c
m
3
）是（
）
高考真题及答案
A
．
+
1
B
．
+
3
C
．
+
1 <
/p>
D
．
+
3
【分析】
根据几何体的三视图，
该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，
画出
图
形，结合图中数据即可求出它的体积．
【解答】
解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，
圆锥的底面圆的半径为
1
，三棱锥的底面是
底边长
2
的等腰直角三角形，圆锥的
高
和棱锥的高相等均为
3
，
故该几何体的体积为
×
×
π
×
1
2
×<
/p>
3
+
×
×
故选：
A
．
×
×
3=
+
1
，
【点评】
本题考查了空间几何体三视图的应用问题，
解题的关键是根据三视图得
出原几何体的结构特征，是基础题目．
4
．
（
4
分）若
x
、
y
满足约束条件
，则
z=x
+
2y
的取值范围是（
）
A
．
[
0
，
6
]
B
．
[
0
，
4
< br>]
C
．
[
6
，
+
∞
）
D
．
[<
/p>
4
，
+
∞）
【分析】
画出约束条件的可行域，利用目
标函数的最优解求解即可．
高考真题及答案
【解答】
解：
x
、
y
满足约束条件
，表示的可行域如图：
目标函数
z=x
+
2y
经过
C
点时，函数取得最小值，
由
解得
C
（
2
，
1
< br>）
，
目标函数的最小值为：
4
目标函数的范围是
[
4
，
+
∞）
．
故选：
D
．
【点评】
本题考查线性规划的简单应
用，
画出可行域判断目标函数的最优解是解
题的关键．
5
．
（
4
分）若函数
f
（
x
）
=x
2
+
ax
+
b
在区间
[
0
，
1
]
< br>上的最大值是
M
，最小值是
m<
/p>
，
则
M
﹣
m
（
）
A
．与<
/p>
a
有关，且与
b
有关
B
．与
a
有关，但与
b
无关
< br>
C
．与
a
无关，且与
b
无关
D
．与
a
无关，但与
b
有关
【分析】<
/p>
结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下
M
﹣
m
的取值与
a
，
b
的关系，综合可得答案．
【解答】
解：函数
f
（
x
）
=x
2
+
ax
+
b
的图象是开口朝上且以直线
x=
﹣
为对称轴的
抛物线，
①当﹣
＞
1
或﹣
＜
0
，即
a
＜﹣
2
，或
a
＞
0
时，
函数
f
（
x
）在区间
[
0
，
1
]
上单调，
此时
M
﹣
m=
|
f
（
1
）﹣
f
（
0
）
|
=
|
a
+
1
|
，
故
M
﹣<
/p>
m
的值与
a
有关
，与
b
无关
②当
≤﹣
≤
1
，即﹣
2
≤
a
≤﹣
1
时，
高考真题及答案
函数
f
（
x
）在区间
[
0
，﹣
]
上递减，在
[
﹣
，
1
]
上递增，
且
f
（
0
）＞
f
（
1
）
，
此时
< br>M
﹣
m=f
（
< br>0
）﹣
f
（﹣
< br>）
=
，
故
M
﹣
m
的
值与
a
有关，与
b
无关
③当
0
≤﹣
＜
，即﹣
1
< br>＜
a
≤
0
时，
函数
f
（
x
）在区间
[
0
，﹣
]
上递减，在
[
﹣
，
1
< br>]
上递增，
且
f
（
0
）＜
< br>f
（
1
）
，
此时
M
﹣
m=f
（
1
）﹣
f
（﹣
）
=1
+
a
+
故
M
﹣
m
的值与
a
有关，与
b
无关
综上可得：
M
< br>﹣
m
的值与
a
< br>有关，与
b
无关
故选：
B
．
【点评】
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，
熟练掌握二次函数的图象
和性质，是解答的关键．
6
．
（
4
分）
已知
等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
，
前
n
项和为
S
n
，
则
“d
＞
0”
是
“S
4
+
S
6
＞
2S
5
”
的（
）
A
．充分不必要条件
B
．必要不充分条件
C
．充分必要条件
D
．既不充分也不必要条件
【分析】
根据等差数列的求和公式和
S
4
+
S
6
＞
2S
5
，可以得到
d
＞
0
，根据充分必
要
条件的定义即可判断．
【解答】<
/p>
解：∵
S
4
+<
/p>
S
6
＞
2S
5
，
∴
4a
1
+
6d
+
6a
1
+
15d
＞
2
（
5a
1
+
10d
）
，
∴
21d
＞
20d
，
∴
d
＞
0
，
故
< br>“d
＞
0”
是
< br>“S
4
+
S
6
＞
2S
5
”
充分必要条件，
故选：
C
．
【点评】
本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属
于基础题
，
高考真题及答案
7
< br>．
（
4
分）函数
y=f
（
x
）的导函数
y=f′
（
x
）的图
象如图所示，则函数
y=f
（
x
）的
图象可能是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析
】
根据导数与函数单调性的关系，
当
f
′
（
x
）＜
0
时，函数
f
（
x
）单调递减，
当
f′
（
x
）＞
0
< br>时，
函数
f
（
< br>x
）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，
然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数
y=f
（
x
）的
图象可能
【解答】
解：由当
f
′
（
x
）＜
0
时，函数
f
（
x
）单调递减，当
f′
（
x
）＞
0
时，函数
f
（
x
）单调递增，<
/p>
则由导函数
y=f′
< br>（
x
）的图象可知：
f
（
x
）先单调递减，再单调递增，然后单调递<
/p>
减，最后单调递增，排除
A
，
C
，
且第二个拐点（即
函数的极大值点）在
x
轴上的右侧，排除
B
，
故选：
D
．
【点评】
本题考查导数的应用，
考查导
数与函数单调性的关系，
考查函数极值的
判断，考查数形结合思
想，属于基础题．
8
．
（
4
< br>分）已知随机变量
ξ
i
满足
P
（
ξ
i
=1
）
=p
i
，
P
（
ξ
i
=0
）
=1
﹣
p
i
，
< br>i=1
，
2
．若
0
＜
p
1
＜
p
2
＜
，则（
）
A
．
E
（
ξ
1
）＜
E
（
ξ
2
）
，
D
（
ξ
1
）＜
D
（
< br>ξ
2
）
B
．
E
（
ξ
1
）＜
E
（<
/p>
ξ
2
）
，
D
（
ξ
1
）＞
D
（
ξ
2
）
C
< br>．
E
（
ξ
1
）＞
E
（
ξ
2
）
，
D<
/p>
（
ξ
1
）＜
D
（
ξ
2
）
D
．
E
（
ξ
1
< br>）＞
E
（
ξ
2
）
，
D
（
ξ
1
）＞
D
（
ξ
2
）
【分析】
由已知得
0
＜
p
1
＜
p
2
＜
，
＜
1
﹣
p
2
＜
1
﹣
p
1
＜
1
< br>，
求出
E
（
ξ
1
）
=p
1
，
E
（
ξ
2
）
=p
2<
/p>
，从而求出
D
（
ξ
1
）
，
D<
/p>
（
ξ
2
）
，由此能求出结果．
【解答】
解：∵随机变量
ξ
i
满足<
/p>
P
（
ξ
i
=1
）
=p
i
，
P
（
ξ
i
=0
）
=1
﹣
p
i
，
i=1
，
2
，
…
，
高考真题及答案
0
< br>＜
p
1
＜
p
2
＜
，
∴
＜
1
﹣
p
2
＜
1
﹣
p
1
＜
1
，
E
< br>（
ξ
1
）
=1
×
p
1
+
0
×（
1
﹣
p
1
）
=p<
/p>
1
，
E
（
ξ
2
）
=1
×
p
2
+
0
×（
1
﹣
p
2
）
=p
2
，
D
（
ξ
1
）
=
（
1
﹣
p
1
）
2
p
1
+
（
0
﹣
p
1
< br>）
2
（
1
﹣
p
1
）
=
D
（
ξ
2
）
=
（
1
﹣
p
2
）
2
p
2
+
< br>（
0
﹣
p
2
）
2
（
1
﹣
p
2
）
=
D
（
ξ
1
）﹣
D
（
ξ
2
）
=p
1
﹣
p
1
< br>2
﹣（
，
，
）
=
（
p
2
﹣
p
1
）
（
p
1
+
p
< br>2
﹣
1
）＜
0
，
∴
E
（
ξ
1
）＜
E
（
ξ
2
）
，
D
（
ξ
1
）＜
D
（
ξ
2
）
．
故选：
A
．
【点评】
本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识
，
考查推理论证
能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形
结合思想、化归与转化思想，是
中档题．
9
．
（
4
分）如图，已知正四面体
D
﹣
ABC
（所有棱长均相
等的三棱锥）
，
P
、
< br>Q
、
R
分别为
< br>AB
、
BC
、
< br>CA
上的点，
AP=PB
，
=
=2
，分别记二面角
D
﹣
PR
﹣
Q
，
D
﹣
P
Q
﹣
R
，
D<
/p>
﹣
QR
﹣
P
的平面角为
α
、
β
、
γ
，则（
）
A
．
γ
＜
α
＜
β
B
．
α
＜
γ
＜
β
C
．
< br>α
＜
β
＜
γ
D
．
β
＜
γ
＜
α
<
/p>
【分析】
解法一：
如图所示，
建立空间直角坐标系．
设底面△
ABC
的中心为
O
．
不
妨设
OP=3
．则
O<
/p>
（
0
，
0
，
0
）
，
P
（
0
，﹣
3
，
0
）
< br>，
C
（
0
，
6
，
0
）
，
D
（
0
，
0
，
6
Q
，
R
，利用法向量的
夹角公式即可得出二面角．
）
，
解法二：如图所示，连接
OP
，
OQ
，
OR
，过点
O
分别作垂线：
OE
⊥
PR
，
OF
⊥
PQ
，
OG
⊥
QR
，垂足分别为
E
，
F
，
G
，连接
DE
，
DF
，
DG
．
．可得
tanα=
．
tanβ=
，
高考真题及答案
tanγ=
．由已知可得：
OE
＞
OG
＞
OF
．即可得出．
【解答】
解法一：如图所示，建立空间直角坐标系
．设底面△
ABC
的中心为
O
．
不妨设
OP=3<
/p>
．则
O
（
0
，
0
，
0
）
，
P
（
0
，﹣
3
，
0
）
，
C
（
0
，
6
，
0
）
，
D<
/p>
（
0
，
0
，
6
B
（
3
=
=
，﹣
3
，
0
）
< br>．
Q
，
=
（
0
，
3
，
6
．
，可得
，
，
R
）
，
=
（
，
，
6
，
0
）
，
=
，
< br>）
，
设平面
PDR
的法向量为
=
（
x
，
y
，
z
）
，则
可得
=
则
cos
=
，取平面
ABC
的法向量
=
（
0
，
0
，
1
）
．
=
，取
α=arccos
．
．
同
理可得：
β=arccos
∵
＞
＞
．
．
γ=arccos
∴
α
＜
γ
＜
β
．
解法二：如图所示，连接
OP
，
OQ
，
OR
，过点
O
分别作垂线：
O
E
⊥
PR
，
O
F
⊥
PQ
，
O
G
⊥
QR
，垂足分别为
E
，
F
，
G
，连接
DE
，
< br>DF
，
DG
．
< br>
设
OD=h
．
则
tanα=
．
，
tanγ=
．
< br>
同理可得：
tanβ=
由已知
可得：
OE
＞
OG
＞
OF
．
∴
tanα
＜
tanγ
＜
tanβ
，
α
，
β
，
γ
为锐角．
∴
α
＜
γ
＜
β
< br>．
故选：
B
．