[历年真题]2017年浙江省高考数学试卷
吴佳宜-
2017
年浙江省高考数学试卷
一、选择题（共
< br>10
小题
,
每小题
5
分
,
满分
50
分）
1
．
（
5
分）已知集合
P=
{
x
|
﹣
1
＜
x
＜
1
}
,Q=
{
x
|
0
＜
x
＜
2
}
,
那么
P
∪
Q=
（
）
A
．
（﹣
1,2
）
<
/p>
2
．
（
5
分）椭圆
A
．
B
．
B
．
（
0,1
）
C
．
（﹣
1,0
）
+
D
．
（
1,2
）
=1
的离心率是（
）
C
．
D
．
3
．
（
5
分）
某几何体的三视图如图所示
（单位
:cm
）
,
则该几何体的体积
（单位
:cm
2
）
是（
）
A
．
+
1
B
．
+
3
C
．
+
1 <
/p>
D
．
+
3
,
则
z=x
+
2y
的取值范围是（
）
D
．
[
4,
+<
/p>
∞）
4
．
（
5
分）若
x
、
y
满足约束条件
A
．
[
0,6
]
B
．
[<
/p>
0,4
]
C<
/p>
．
[
6,
+
∞）
5
．
（
5
分）若函数
f<
/p>
（
x
）
=x
2
+
ax
+
b
在区间
[
0,1<
/p>
]
上的最大值是
M,
最小值是
m,
则
M
﹣
m
（
）
A
．与
a
有关
,
且与
b
有关
C
．与
a
无关
,
且与
b
无关
B
．与
a
有关
,
但与
b
无关
D
．与
a
无关
,
但与
b
有关
6
．
（
5
分）已知等差数
列
{
a
n
}<
/p>
的公差为
d,
前
n
项和为
S
n
,
则
“d
＞
0
”
是
“S
4
+
S
6
＞
2S<
/p>
5
”
的（
）
A
．充分不必要条件
B
．必要不充分条件
C
．充分必要条件
D
．既不充分也不必要条件
7
．
（
5
分）函数
y=f
（
x
）的导函数
y=f′
（
x
）的图象如图所示
,<
/p>
则函数
y=f
（
x
）的图
象可能是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
8
．
（
5
分）已知随
机变量
ξ
i
满足
P
（
ξ
i
=
1
）
=p
i
,
P
（
ξ
i
=0
）
=1
﹣
p<
/p>
i
,i=1,2
．若
0
＜
p
1
＜
p
2
＜
,<
/p>
则（
）
A
．
E
（
ξ
1
）＜
E
（
ξ
2
）
,D
（
ξ
1
）＜
D
（
ξ
2
）
B
．
E
（
ξ
1
）＜
E
（
ξ
2
）
,D
（
ξ
1
）＞
D
（
ξ
2
）
C
．
E
（
ξ
< br>1
）＞
E
（
ξ
2
）
,D
（
ξ
1
）＜
D
（
ξ
2
）<
/p>
D
．
E
（
ξ
1
）＞
E
（
ξ
2
）
,D
（
ξ
1
）＞
D
（
< br>ξ
2
）
9
．
（
5
分
）如图
,
已知正四面体
D
﹣
ABC
（所有棱长均相等的三棱锥）
,P
、
Q
、
R
分
别为
AB
、
BC
、
CA
上的点
,AP=PB,
=
=2
,
分别记二面角
D
﹣
< br>PR
﹣
Q,D
﹣
PQ
﹣
R,D
﹣
QR
﹣
P
的平面角为
α
、
β
、
γ
,
则（
）
A
．
γ
＜
α
＜
β
B
．
α
＜
γ
＜
β
C
．
< br>α
＜
β
＜
γ
D
．
β
＜
γ
＜
α
<
/p>
10
．
（
5
分）如图
,
已知平面四边形
ABCD,AB
⊥
BC,AB=BC=AD=2,CD
=3,AC
与
BD
交于
点
O,
记
I
< br>1
=
•
,I
2
=
•
,I
3
=
•
,
则
（
）
A
．
I
1
＜
I
2
＜
I
3
B
．
I
1
＜
I
3
＜
I
2
C
．
I
< br>3
＜
I
1
＜
I
2
D
．
I
2
＜
I
1
＜
I
3
二、填空题
:
本大题共
7
小题
,
多空题每题
6
分
,
单空题每题
4
< br>分
,
共
36
分
11
．
（
4
分）
我国古代数学家刘徽创立的
“
割圆术
”
可
以估算圆周率
π
,
理论上能把
π
的值计算到任意精度
,
祖冲之继承并发展了
“
割圆术
”
,
将
π
的值精确到
小数点后七
位
,
其结果领先世界一千多
年
,
“
割圆术
”
的第一步是计算单位圆内接正六边形的面
积
< br>S
6
,S
6
=
．
2
=3
+
4i
12<
/p>
．
（
6
分）
已知
a
、
b
∈
R,
（
a
+
bi
）
（
i
是虚数单位）
,
则
a
2
+
b
2
=
,ab=
．
13
．
（
6
分
）
已
知
多
项
式
（
x
+
1
）
3
（
x
+
2
）
2
=x
5
+
a
1
x
4
+
a
2
x
3
+
a
3
x
2
+
< br>a
4
x
+
a
5
,
则
a
4
=
,a
5
=
．
14
．<
/p>
（
6
分）已知△
ABC,AB=AC=4,BC=2,
点
D
为
AB
延长线上一点
,BD=2,
连结
CD,
则
△
BDC
的面积是
,com
∠
BDC=
．
15
．<
/p>
（
6
分）
已知向
量
、
满足
|
|
=1,
|
|
=
2,
则
|
+
|
+|
﹣
|
的最小值是
< br>
,
最大值是
．
16
．<
/p>
（
4
分）从
6<
/p>
男
2
女共
8
名学生中选出队长
1
人
,
副队长
1
人
,
普通队员
2
人组
成
4
人服务队
,
要求服务队中至少有
1
名女生
,
共有
种不同的选法．
< br>（用数
字作答）
17
．
（
4
分）已知
a
∈
R,
函数
f
（
x
）
=
|
x
+
﹣
a
|+
a
< br>在区间
[
1,4
]
上的最大值是
5,
则
a
的取值范围是
．
三、解
答题（共
5
小题
,
满分
74
分）
< br>18
．
（
14
< br>分）已知函数
f
（
x
）
=sin
2
x
﹣
cos
2
x
﹣
2
（
Ⅰ
）求
f
（
）的值．
sinx cosx
（
x
∈
R
）
．
（
Ⅱ
）求<
/p>
f
（
x
）的最小
正周期及单调递增区间．
19
．<
/p>
（
15
分）
如图
,
已知四棱锥
P
﹣
ABCD,
△
PAD
是以
AD
为斜边的等腰直角三角形
< br>,BC
∥
AD,CD
⊥
AD,PC=AD=2DC=2CB,E
为
PD
的中点．
（
Ⅰ
）证明
:CE
∥平面
PAB
；
（
Ⅱ
）求直线
CE
与平面
PBC
所成角的正弦值．
20
．<
/p>
（
15
分）已知函数
f
（
x
）
=
（
x
﹣
（<
/p>
1
）求
f
（
x
）的导函数；
（
2
）求
f
（
x
）在区间
[
,
+
∞）上的取值范围．
）
e
﹣
x
（
x
≥
）
．
21
．
（
15
分）
如图
,
已知抛
物线
x
2
=y,
点
A
（﹣
,
）
,B
（
,
）
,
抛物线上的点
P
（
x,y
）
（﹣
< br>＜
x
＜
）
,
过点
B
作直线
AP
的垂线
,
垂足为
Q
．
（
< br>Ⅰ
）求直线
AP
斜率的取值范围
；
（
Ⅱ
）求
|
PA
|
•<
/p>
|
PQ
|
的最大
值．
22
．
（<
/p>
15
分）已知数列
{
x
n
}
满足
:x
1
=1,x
n
< br>=x
n
+
1
+
ln
（
1
+
x
n
+
1
）
（
n
∈
N
*
）
,
证明
:
当
n
∈
N
*
时
,
（
Ⅰ
）
0
＜
x
n
+
1
＜
x<
/p>
n
；
（
Ⅱ
）
2x
n
+
1
﹣
x
n
≤
（
Ⅲ
< br>）
≤
x
n
≤
；
．
2017
年浙江省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共
10
小题
,
每小题
5
分
,
满分
50
分）
1
．
（
5
分）
（
< br>2017•
浙江）已知集合
P=
{
x
|
﹣
1<
/p>
＜
x
＜
1
}
,Q=
{
x
|
0
＜
x
＜
2
}
,
那么
P
∪
Q=
（
）
A
．
（﹣
1,2
）
<
/p>
B
．
（
0,1<
/p>
）
C
．
（﹣
1,0
）
D
．
（
1,2
）
【分析】
直接
利用并集的运算法则化简求解即可．
【解答】
解
:
集合
P=
{
x
|
﹣
1
＜
x
＜
1
}
,Q=
{
x
|
0
＜
x<
/p>
＜
2
}
,
那么
P
∪
Q=
{
x
|
﹣
1
＜
x
＜
2
}
=
（﹣
1,2
）
．
< br>
故选
:A
．
【点评】
本题考查集合的基本运算
,<
/p>
并集的求法
,
考查计算能力．
2
．
（
5
分）
< br>（
2017•
浙江）椭圆
A
．
B
．
+
=1
的离心率是（
）
C
．
D
．
【分析
】
直接利用椭圆的简单性质求解即可．
【解答】
解
:
椭圆
< br>+
=1,
可得
a=3,b=2,
则
c=
．
=
,
所以椭
圆的离心率为
:
=
故选
:B
．
【点评】
本题考查椭圆的简单性质的应用
,
考查计算能力．
3
．
（
5
分）
（
2017•
浙江）某几何体的三视图如图所
示（单位
:cm
）
,
< br>则该几何体的
体积（单位
:cm
2
）是（
）
A
．
+
1
B
．
+
3
C
．
+
1 <
/p>
D
．
+
3
【分析】
根据几何体的三视图
,
该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成
,
画出图
形
,
结合图中
数据即可求出它的体积．
【解答】
解
:
由几何的三视图可知
,
该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成
,
圆锥的底面圆的半径为
1,
三棱锥的底面是底
边长
2
的等腰直角三角形
,
圆锥的高
和棱锥的高相等均为
3,
故该几何体的体积为
×
×<
/p>
π
×
1
2
×
3
+
×
×
故选
:A
×
×
3=
+
1,
【点评】
本题考查了空间几何体三视图的应用问题
,
解题
的关键是根据三视图得
出原几何体的结构特征
,
是基础题目．
4
．
（
5
分）
（
2017•
浙江）若
x
、
y
满足约
束条件
是（
）
A
．
[
0,6
]
B
．
[
0,4
]
C
．
[
6,
+
∞）
D
．
[
4,
+
∞）
,
则
z=x
+
2y
的取值范围
【分析】
画
出约束条件的可行域
,
利用目标函数的最优解求解即可．
【解答】
解
:x
、
y
满足约束
条件
,
表示的可行域如图
:
目标函数
z=x
+
2y
经过坐标原点时
,
函数取得最小值
,
经过
C
时
,
目标函数取得最
大值
,
由
解
得
C
（
2,1
）
,
目标函数的最小值为
:4
目标函数的范围是
[
4,
+
∞）
．
故选
:D
．
【点评】
本题考查线性规划的简单应
用
,
画出可行域判断目标函数的最优解是解
题的关键．
5
．
（
5
分）
（
2017•
浙江）若函数<
/p>
f
（
x
）
=x
2
+
ax
+
b
在区间
[
0,1
]
上的最大值是
M,
最
小值是
m,
< br>则
M
﹣
m
（
）
A
．与
a
有关
,
且与
b
有关
C
．与
a<
/p>
无关
,
且与
b<
/p>
无关
B
．与<
/p>
a
有关
,
但与<
/p>
b
无关
D
．与
a
无关
,
但与
b
有关
【分析】
结合二次函数的图象和性质
,
分类讨论不同情况下
M
﹣
< br>m
的取值与
a,b
的关系
,
综合可得答案．
【解答】
解
:
函数
f
（
x
）
=x
2
+
ax
+
b
的图象是开口朝上且以直线
x=<
/p>
﹣
为对称轴的
抛物线
,
①当﹣
＞
1
或﹣
＜
0,
即
a
＜﹣
2,
或
a
＞
0
时
,
函数
f
（
x
）在区间
[
0,1
]
上单调
,
此时
M
﹣
m=
|
f
（
1
）﹣
f
（
0
）
|
=
|
a
|
,
故
M
﹣
m
的值与
a
有关
,
与
b
无关
②当
≤﹣
≤
1,
即﹣
2
≤
a
≤﹣
1
时
,
函数
< br>f
（
x
）在区间
[
0,
﹣
]
< br>上递减
,
在
[
< br>﹣
,1
]
上递增
,
且
f
（
0
）＞
f
（
1
）
,
此时
M
﹣
m=
f
（
0
）﹣
f
（﹣
）
=
故<
/p>
M
﹣
m
的值与<
/p>
a
有关
,
与
b
无关
③当
0
≤﹣
＜
,
即﹣
1
＜
a
≤
0
时
,
函数
f
（
x
）在区间
[
0,
﹣
]
上递减
,
在
[
﹣
,1
]
上递增
,
且
f
（
0
< br>）＜
f
（
1
）
,
此时
M
﹣
m=f
（
0
）﹣
f
（﹣
）
=a
﹣
故
M
﹣
m
的值与
a
有关
,
与
b
无关
综上可得
:M
﹣
m
的值与
a
有关
,
与
b
无关
故选
:B
【
点评】
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质
,
熟练掌握二次函数的图象
和性质
,
是解答的关键．
6
．
（
5
分）
（
2017•
浙江）
已知等差数列
{
a
n
< br>}
的公差为
d,
前
n
项和为
S
n
,
则
“d
＞
0”
是
“S
4
+
S
6
＞
2S
5
”
的（
）
A
．充分不必要条件
B
．必要不充分条件
C
．充分必要条件
D
．既不充分也不必要条件
【分析】
根据等差数列的求和公式和
S
4
+
S
6
＞
2S
5
,
可以得到
d
＞
0,
根据充分必要条
件的定义即可判断．
【解答】
解
:
∵
S
4
+
S
6
＞
2S
5
,
∴
4a
< br>1
+
6d
+
6a
1
+
15d
< br>＞
2
（
5a
1
+
10d
）
,
∴
21d
＞
20d,
∴
< br>d
＞
0,
故
“d
＞
0”
是
“S
4
+
S
6
＞
2S
5
”
充分必要条件
,
< br>
故选
:C
,
,
【点评】
本题借助等差数列的求和公
式考查了充分必要条件
,
属于基础题
7
．
（
5
分）
（
2017•
浙江）函数
y=f
（
x
）的导函数
y=f′
（
x
）的图象如图所示
,
则函
数
y=f
< br>（
x
）的图象可能是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析
】
根据导数与函数单调性的关系
,
当<
/p>
f′
（
x
）＜<
/p>
0
时
,
函数
f
（
x
）单调递减
,
当
f′
（<
/p>
x
）＞
0
时
,
函数
f
（
x
）单调递增
,
根据
函数图象
,
即可判断函数的单调性
,<
/p>
然后根
据函数极值的判断
,
即可判断函数极值的位置
,
即可求得函数
y=f
（
x
）的图象可能
【解答】
解
:
由当
f′
（
x
）＜
0
时
,
函数
f
（
x<
/p>
）单调递减
,
当
f′
（
x
）＞
0
时
,
函数
f
（
x
）
单调递
增
,
则由导函数
y=f′
（
x
）的图象可知
:f
（
x
）先单调递
减
,
再单调递增
,
然后单调递减
,
最后单调递增
,<
/p>
排除
A,C,
且第二个拐点（即函数的极大值点）在
x
轴上的右侧
,
排除
B,
故选
D
【点
评】
本题考查导数的应用
,
考查导数与
函数单调性的关系
,
考查函数极值的判
断
,
考查数形结合思想
,
属于基础题．
8
．
（
5
分）
（
2017•
浙江）
已知随机变量
ξ
i
满足
P
（
ξ
i
=1
）
=p
i
,P
（
ξ
i
=0
）
=1
﹣
p
i
,i=1,2
< br>．
若
0
＜
p
1
＜
p
2
＜
,
则（
）
A
．
E
（
ξ
1
）＜
E
（
ξ
2
）
,D
（
ξ
1
）＜
D
（
ξ
2
）
B
．
E
（
ξ
1
）＜
E
（
ξ
2
）
,D
（
ξ
1
）＞
D
（
ξ
2
）
C
．
E
（
< br>ξ
1
）＞
E
（
ξ
2
）
,D
（
ξ
1
）
＜
D
（
ξ
2<
/p>
）
D
．
E
（
ξ
1
）＞
E
（
ξ
2
）
,D
（
ξ
1
）＞
D
< br>（
ξ
2
）
【分析】
由已知得
0
＜
p
1
＜
< br>p
2
＜
,
＜
1
﹣
p
2
＜
1
﹣
p
1
＜
1,
求出
E
（
ξ
1
）
=p
1
,E
（
ξ
2
）
=p
2
,
从而求出
D
（
ξ
1
）
,D
（
ξ
2
）
,
由此能求出结果．
【解答】
解<
/p>
:
∵随机变量
ξ
i
满足
P
（
ξ
i
=1
）
=p
i
,P
（
ξ<
/p>
i
=0
）
=1<
/p>
﹣
p
i
,i=1
,2,
…
,
0
＜
p
1
＜<
/p>
p
2
＜
,
∴
＜
1
﹣
p
2
＜
1
﹣
p
1
＜
1,
E
（
ξ
1
）
=
1
×
p
1
+<
/p>
0
×（
1
﹣
p
1
）
=p
1
,
E
（
ξ
2
）
=1
×
p
2
< br>+
0
×（
1
﹣
p
2
）
=p
2
,
D
（
ξ
1
）
=
（
1
﹣
p
1
）
2
p
1
+
（
< br>0
﹣
p
1
）
2
（
1
﹣
p
1
）
=
D
（
ξ
2
）
=
（
1
﹣
p
2
）
< br>2
p
2
+
（
0
﹣
p
2
）
2
（
1
﹣
p
2
）
=
D
（
ξ
1
）﹣
D
（
ξ
2
）
=p
< br>1
﹣
p
1
2
﹣（
,
,
）
=
（
p
2
﹣
p
1
）
（
p
1
+
p
< br>2
﹣
1
）＜
0,
∴
E
（
ξ
1
）＜
E
（
ξ
2
）<
/p>
,D
（
ξ
1
）＜
D
（
ξ
2
）
．
故选
:A
．
【点评】
本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识
,
考查推理论证
能力、运算求解能力、
空间想象能力
,
考查数形结合思想、化归与转化思想
,
是中
档题．
9
．
（
5
分）
（
2017•
浙江）
如图
,
已知正四面体
D
﹣
ABC
（
所有棱长均相等的三棱锥）
< br>,P
、
Q
、
R
分别为
AB
、
< br>BC
、
CA
上的点
,AP=PB,
=
=2,
分
别记二面角
D
﹣
PR
< br>﹣
Q,D
﹣
PQ
﹣
R,D
﹣
QR
﹣
P
的平面角为
α
、
β
、
γ
,
则（
）
A
．
γ
＜
α
＜
β
B
．
α
＜
γ
＜
β
C
．
α
< br>＜
β
＜
γ
D
．
β
＜
γ
＜
α
【分
析】
解法一
:
如图所示
,
建立空间直角坐标系．设底面△
ABC
的中心为
O
．不
妨
设
OP=3
．
则
O
（
0,0,0
）<
/p>
,P
（
0,
﹣<
/p>
3,0
）
,C
（
0,
﹣
6,0
）
,D
（
0,0,6
< br>面角．
解法二
:
如图所示
,
连接
OD,OQ
,OR,
过点
O
发布作垂线
:OE
⊥
DR,OF
⊥<
/p>
DQ,OG
⊥
QR,
）
,Q
,R
,
利用法向量的夹角公式即可得出二
垂足分别为
E,F,G,
连接
PE,PF,PG
．
设
OP=h
．
可得
cosα=
=
=
．
同
理可得
:
cosβ=
可得出．
=
,
cosγ=
=
．由已知可得
:OE
＞
OG<
/p>
＞
OF
．即
【解
答】
解法一
:
如图所示
,
建立空间直角坐标系．设底面△
ABC
的中心为
O
．
不妨设
OP=3
．则
O<
/p>
（
0,0,0
）
,P
（
0,
﹣
3,0
）
,C
（
0,
﹣
6,0
）
,D
（
0,0,6
Q
=
=
,R
,
=
（
0,3,6
．
,
可得
,
,
）
,
=
（
,5,0
）<
/p>
,
=
,
）
,
设平面
PDR
的法向量为
=
< br>（
x,y,z
）
,
则
可得
=
则
cos
=
,
取平面
ABC
的法向量
=
（
0,0,1
）
．
=
,
取
α=a
rccos
．
．
同理可得
:
β=
arccos
∵
＞
＞
．
γ=arccos
．
∴
α
＜
γ
＜
β
．
解法二
:
如图所示
,
连接
OD,OQ
,OR,
过点
O
发布作垂线
:OE
⊥
DR,OF
⊥<
/p>
DQ,OG
⊥
QR,
垂足分别为
E,F,G,
连接
PE
,PF,PG
．
设
OP=h
．
则
cosα=
=
=
．
同理可得
:
cosβ=
=
,
cosγ=
=
．
由已知可得
:OE
＞
OG
＞
OF
．
<
/p>
∴
cosα
＞
c
osγ
＞
cosβ
,
< br>α
,
β
,
γ
为锐角．