数列求和及数列的综合应用
张文钊-
数列求和及数列的综合应用
1.
特殊数列的求和公式
(1)
等差数列的前
n
项
和公式：
n
（
a
1
＋
a
n
）
n
（
n
－
1
）
S
n
＝
＝
na
1
＋
d
.
2
2
(2)
等比数列的前<
/p>
n
项和公式：
na
1
，
q
＝
1
，
S
n
＝
a
1
－
a
n
q
a
1
< br>（
1
－
q
n
）
＝
，
q
≠1.
1
－
q
1
－
q
2.
数列求和
的几种常用方法
(1)
分组转化法
< br>把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解
.
(2)
裂项相消法
< br>把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和
.
(3)
错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前
n
项和可用错
位相减法求解
.
(4)
倒序相加法
如果一个数列
{
a
n
}
的前
n
项中与首
末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列
的前
n
项和即可用倒序相加法求解
.
3.
数列应用题常见模型
(1)
等差模型：如果后一个量比前一个量增加
(
或减少
)
的是同一个固定值，该模型是
等差模型，增加
(
或减
少
)
的量就是公差
.
(2)
等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，
这个固定的
数就是公比
.
(3)
递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑<
/p>
a
n
与
a
n
＋
1
(
或者相邻三项等
)
之间的递推关系，或者
S
n
与
S
n
＋
1
(
< br>或者相邻三项等
)
之间的递推关系
.
【微点提醒】
1.1
＋
2
＋
3
＋
4
＋…＋
n
＝
2.1
＋
2
＋…＋
n
＝
2
2
2
n
< br>（
n
＋
1
）
2
6
.
.
1
n
（
n
＋
1
）（<
/p>
2
n
＋
1
）
3.
裂项求和常用的三种变形
(1)
1
1
1
＝
－
.
n
（
n
＋
1
）
n
n
＋
< br>1
1
1
1
1
－
(
2)
＝
.
（
2
n
－
1
）（
2
n
＋
1
）
2
2
n
－
1
2
n
＋
1
(3)
1
n
＋
n
＋
1
＝
n
＋
1<
/p>
－
n
.
【疑误辨析】
1.
< br>判断下列结论正误
(
在括号内打“√”或“×”)
(1)
若数列
{<
/p>
a
n
}
为等比数
列，且公比不等于
1
，则其前
n
项和
S
n
＝
(2)
当
n
≥2
时，
1
1
1
1
＝
(
－
).( )
n
－
1
2
n
－
1
n
＋
1
2
2
3
a
1
< br>－
a
n
＋
1
.( )
1
－
q
(3)
求
S
n
＝
a
＋
2
a
＋
3
a
＋…＋
na
时只要把上式等号两
边同时乘以
a
即可根据错位相减法求得
.( )
(4)
若数列
a
1
，
a
2
－
a
1
，…，
a
n
－
a
n
－
1
是首项为
1
，公比为
3
的等比数列，
则数列
{
a
n
}
的通项公式是
a
n
< br>＝
3
－
1
.( )
2
2.(
必修
5P47B4
改编
)
数列
{
a
n
}
中，
a
n
＝
1
2 019
，若
{
a
n
}
的前
n
项和为
，则项数
n
为
( )
n
（
n
＋
1
）
2
020
n
n
A.2 018
B.2 019 C.2 020 D.2 021 <
/p>
3.(
必修
5P56
例
1
改编
)
等比数列
{
a
n
}
中，若
a
1
＝
27
，
a
9
＝
4.
(2018·东北三省四校二模
)
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
＋
1
－
a
n
＝
2
，
a
1
＝－
5
，则
|
a
1
|
＋
|
a
2
|
＋…＋
|
a
6
|
＝
(
)
A.9
5.
(2019·北京朝阳区质检
)
已知数列
{
a
n
}
，
{<
/p>
b
n
}
的前
n
项和分别为
S
n
，
T
n
，
b
n
－
a
n
＝
2
＋
1
，且
S
n
＋
T
n
＝
2
n
n
＋
1
1
，
q
>0
，
S
n
是其前
n
项和，则
S
6
＝
________.
243
B.15
C.18
D.30
＋
n
2
－
2
，则
2
T
n
＝
__
______________.
1
n
－
1
＋
f<
/p>
(1)(
n
∈N
*
)
，
6.
(
2019·河北“五个一”名校质检
)
若
f
(
x
)
＋
f
(1
－
x<
/p>
)
＝
4
，
a
n
＝
f
(0)
＋
f
＋…＋
f
n
n
则数列
{
a
n
}
的通项公式为
________.
2
考点一
分组转化法求和
【例
1
】
<
/p>
(2019·济南质检
)
已知在等比数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，且
a
1
，
a
2
，
a
3
－
1
< br>成等差数列
.
(1)
求数列<
/p>
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
若数列
{
b
n
}
满足
b
n
＝
2
n
－
1<
/p>
＋
a
n
(
n
∈N
)
，数列
{
b
n
}
的前
n
项和为
S
n
，试比较
S
n
与
n
＋
2
的大小
.
【规律方法】
1.
< br>若数列
{
c
n
< br>}
的通项公式为
c
n
＝
a
n
±
b
n
，且
{
< br>a
n
}
，
{
b
n
}
为
等差或等比数列，可采用分组求和法
求数列
{
< br>c
n
}
的前
n
项和
.
2.
< br>若数列
{
c
n
< br>}
的通项公式为
c
n
＝
和法求
{
a
n
}
的前
n
项和
.
【训练
1
】
已知等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
a
1
＝
1
，
S
3
＋
S<
/p>
4
＝
S
5
.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项
公式；
(2)
令
b
n
＝
(
－
1)
考点二
裂项相消法求和
【例
2
】
<
/p>
(2019·郑州模拟
)
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
a
2
＝
8
，
S
n
＝
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
2×3
的前
n
项和
T
n
.
(2)
求数列
<
/p>
a
n
a
n
＋
1
n
n
－
1
*
2
n
a
n
，
n
为奇数，
< br>
b
n
，
n
为偶数，
其中数列
{
a
n
< br>}
，
{
b
n
}
是等比数列或等差数列，可采用分组求
< br>a
n
，求数列
{
b
n
}
的前
< br>2
n
项和
T
2
n
.
a
n
＋
1
2
－
n
－
1.
【训练
2
】
设
S
n
为等差
数列
{
a
n
}
的前
n
项和，已知
S
3
＝
a
7
，
a
8
－<
/p>
2
a
3
＝
3.
1
(1)
求<
/p>
a
n
；
(2)
设
b
n
＝
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
S
n
3
考点三
错位相减法求和
【例
3
】
<
/p>
已知
{
a
n
}
是各项均为正数的等比数列，且
a
1
＋
a
2
＝
6
，
a
1
a
2
＝
a
3
.
(1)
< br>求数列
{
a
n
< br>}
的通项公式；
(2){
b
n
}
为各项非零
的等差数列，其前
n
项和为
S
n
，已知
S
2
n
＋
1
＝
b
n
b
n
< br>＋
1
，求数列
的前
n
项和
T
n
.
< br>a
n
b
n
【训练
3
】
已知等差数列
{
a
n
}
满足：
a
n
＋
1
>
a
n
(
n
∈N
)
，
a
1
＝
1
，该数列的前三项分别加上
1
，
1
，
3
后成等比数
列，
a
n
＋
2log
2
b
n
＝－
1.
(1)
分别求数列
{
a
n
}
，
{
b
n
}
的通项
公式；
(2)
求数列
{
a
n
·
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
考点四
数列的综合应用
【例
4
】
<
/p>
某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学
.
该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付
38
元；
第二种，第一天付
4
元，第二天付
8<
/p>
元，第三天付
12
元，依此类推；第三种
，第一天付
0.4
元，以
后每天比前一
天翻一番
(
即增加
1
< br>倍
).
他应该选择哪种方式领取报酬呢？
【训练
4
】
已知二次函数
y
＝
f
(
x
)
的图象经过坐标原点，其导函数为
f
′(
x
)
＝
6
x
－
2
，数列
{
a
n
}
的前<
/p>
n
项和
为
S
n
，点
(
n
，
S
n
)(
n
∈N
)
均在函数
y
＝
f
(
x
)
的图象上
.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
设
b
n
＝
4
*
*<
/p>
3
a
n
a
n
＋
1
，试求数列<
/p>
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
【基础巩固题组】
(
建议用时：
40
分钟
)
一、选择题
1.
(2017·全国Ⅲ卷
)
等差数列
{
a
n
}
的首
项为
1
，公差不为
0.
若
a
2
，
a
3
，
a
6
成等比数列，则
{
a
n
}
前
6
项的和为
( )
A.
－
24
2.
数列
{
a
n
}
的通
项公式为
a
n
＝
(
－
1)
A.200
3.
数列
{
a
n
}
的通
项公式是
a
n
＝
A.9
2
＋
1
4.
(2019·德州调研
)
已知
T
n
为数列
n
的前
n
项
和，若
m
>
T
10
＋
1
013
恒成立，则整数
m
的最小值为
(
)
2<
/p>
n
n
－
1
B.
－
3
C.3
D.8
·(4
n
－
3)
，则它的前<
/p>
100
项之和
S
100
等于
(
)
C.400
D.
－
400
B.
－
200
< br>1
n
＋
n
＋
1
，前
n
项和为
9
，则
n
等于
(
)
C.10
D.100
B.99
A.1 026
B.1
025
C.1 024
D.1 023
5.
(2019·厦门质检
)
< br>已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
< br>＋
1
＋
(
－
1)
A.250
二、填空题
B.200
n
＋
1
a
n
＝
2
，则其前
100
项和为
(
)
D.100
C.150 <
/p>
6.
已知正项数列
{
a
n
}
满足
a
n
＋
1
－
6
a
n
＝
a
n
＋
1
a
n
.
若
a
1
＝
2
< br>，则数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
＝
________.
1
1
2<
/p>
n
7.
(2019·武汉质检
)
设数列
{(
n
＋
n
)
a
n
}
是等比数列，且
a
1
＝
，
a
2
＝
，则数列
{3
a
n
}
的前
15
项和为
6
54<
/p>
________.
8.
某棵果树前
n
年的总产量
S
n
与
n
之
间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前
m
年的年平均产量
最高，
2
2
m
的值为
________.
5
三、解答题
1
2
1
n
1
9.
求和
S
n
＝
x
＋
＋
x
＋
2
< br>＋…＋
x
＋
< br>n
(
x
≠0)
.
x
2
2
2
x
x<
/p>
10.
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和
为
S
n
，
a<
/p>
1
＝
2
，
a
n
＋
1
＝
2
＋
S
n
(
n
∈N
< br>).
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；<
/p>
(2)
设
b<
/p>
n
＝
1
＋
log
2
(
a
n
)
，求证：数列
【能力提升题组】
(
建议用时：
20
分钟
)
11.
(2019·广州模拟
)
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
＝
1
，
a
n
＋
1
< br>－
a
n
≥2(
< br>n
∈N
)
，且
< br>S
n
为
{
a
n
}
的前
n
项和，则
(
)
A.
a
n
≥2
n
＋
1
B.
S
n
≥
n
C.
a
n
≥2
12.
某厂
2019
< br>年投资和利润逐月增加，投入资金逐月增长的百分率相同，利润逐月增加值相同
.
已知
1
月份
的
投资额与利润值相等，
12
月份投资额与利润值相等，则全年的
总利润
ω
与总投资
N
< br>的大小关系是
(
)
A.
ω
>
N
B.
ω
<
N
C.
ω
＝
N
D.
不确定
13.
已知数列
{
a
n
}
中，
a
n
＝－
4
n
< br>＋
5
，等比数列
{
b
n
}
的公比
q
满足
q
＝
a
n
－
a
n
－
1
(
n
≥2)且
b
1
＝
a
2
，则
|
b
1
|
＋<
/p>
|
b
2
|
＋
|
b
3
|
＋…＋
|
b
n
|
＝
________
.
14.
(2019·潍坊调
研
)
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
＝
5<
/p>
，
nS
n
＋
1
－
(
n
＋
1)
S
n
＝
n
＋
n
.
(1)
求证：数列
为等差数列；
n
S<
/p>
n
2
2
*
2
*
1
1
的前
n
项和
T
n
<
.
6
< br>b
n
b
n
＋
1
n
－
1
D.
S
n
≥2
n
－
1
6
(2)
令
b
n
＝
2
a
n
，求数列
{<
/p>
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
15.(
多
填题
)
已知公差不为零的等差数列
{<
/p>
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，且
a
2
，
a
5
，
a
14
成等比数列，
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
n
b
n
＝
(
－
1)
n
S
n
，则
a
< br>n
＝
________
，数列<
/p>
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
＝
________.
答
案
1.
判断
下列结论正误
(
在括号内打“√”或“×”)
< br>
(1)
若数列
{
a
n
}
为等比数列，且公比
不等于
1
，则其前
n
< br>项和
S
n
＝
(2)
当
n
≥2
< br>时，
1
1
1
1
＝
(
－
).(
)
n
－
1
2
n
－
1
n
＋
1<
/p>
2
2
3
a
1
－
a
n
＋
1
.(
)
1
－
q<
/p>
(3)
求
S
n<
/p>
＝
a
＋
2
a
＋
3
a
＋…＋
na
时只要把上式等号两边同时乘以
a
即可根据错位相减法求得
.(
)
(4)
若数列
a
1
，
a
2
－
a
1<
/p>
，…，
a
n
－<
/p>
a
n
－
1
是首项为
1
，公比为
3
的等比数列，则数列
{
a
n
}
的通项公式是
a
n
＝
3
－
1
.(
)
2
【答案】
(1)√
(2)√
(3)×
(4)√
【解析】
(3)
要分
a
＝
0
或
a
＝
1
或
a
≠0
且
a<
/p>
≠1
讨论求解
.
【教材衍化】
2.(
必修
5P47B4
改编
)
数列
{
a
n
}
中，
a
n
＝
A.2 018
C.2 020
【答案】
B
【解析】
a
n
＝
1
1
1
＝
－
，
n
（
n
＋
1
）
n
n
＋
1
1
2 019
，若
{
a
n
}
的前
n
项和为
，则项数
n
为
(
)
n
（<
/p>
n
＋
1
）
2 020
B.2 019
D.2 021
n
n
1
1
1
1
1
1
n
2 019
S
n
＝
1
－
＋
－
＋…＋
－
＝
1
－
＝
＝
，所以
n
＝
2019. <
/p>
2
2
3
n
n
＋
1
n
＋
1
n
＋
1
2 020
3.(
必修
5P56
例
1
改编
)
等比数列
{
a
n
}
中，若
a
1
＝
27
，
a
9
＝
【答案
】
364
9
1
1
8
知，
＝27·
q
，
243
243
7
1
，
q
>0
，
S
n
是其前
n
项和，则
S
6
＝
________.
243
【解析】
由
a
1
＝
27
，
a
9
＝
1
又由
q<
/p>
>0
，解得
q
＝
，所以
S
6
＝
3
【真题体验】
1
27
1
－
3
364
1
1
－
3
＝
9
6
.
4.(2018·东北三省四校二模
)
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
＋
1
－
a
n
＝
2
，
< br>a
1
＝－
5
，则
|
a
1
|
＋
|
a
2
|
＋…＋
|
a
6
|
＝
(
)
A.9
【答案】
C
【解析】
由题意知
< br>{
a
n
}
是以
2
为公差的等差数列，又
a
1
＝－
5
，所以<
/p>
|
a
1
|
＋
|
a
2
|
＋…＋
|
a
6
|
＝
|
－
5|
＋
|
< br>－
3|
＋
|
－
1|
＋
1
＋
3
＋
5
＝
5
＋
3
＋
1
＋
1
＋
3
＋
5
＝
18.
5.(
2019·北京朝阳区质检
)
已知数列
{
a
n
}
，
{
b
n
}
的前
n
项和分别为
S
n
，
T
n
，
b
n
－
a
< br>n
＝
2
＋
1
，且
S
n
＋
T
n
＝
2<
/p>
n
n
＋
1
B.15
C.18
D.30 <
/p>
＋
n
2
－
2
，则
2
T
n
＝
________________.
【答案】
2
n
＋
2
＋
n<
/p>
(
n
＋
1)
－
4
n
＋
1
【解析】
由题意
知
T
n
－
S<
/p>
n
＝
b
1
－
a
1
＋
b
2
－
a
2
＋…＋
b
n
－
a
n
＝
n
＋
2
又
S
n
＋
T
n<
/p>
＝
2
n
＋
1
－
2
，
＋
n
－
2
，
n
＋
2
2
所以
2
T
n
＝
T
n
－
S
n
＋
S
n
＋
T
n
＝
2
＋
n
(
n
< br>＋
1)
－
4.
1
n
－
1
＋
f
(1)(
n
∈N
*
)
，
6.(2019·河北“五个一”名校质检
)
若
f
(
x
)
＋
f
(1
－
x
)
＝
4
，
a
n
＝
f
(0)
＋
f
＋…＋
f
n
n
则数列
{
a
n
}
的通项公式为
________.
【答案】
a
n
＝
2(
n
＋
1)
1
n
－
1
＝
4
，所以
2
a
＝
[
f
(0)
＋
f
(1)]
【解析】
由
f
(
x
)
＋
f
(1
－
x
)
＝
4
，可得
f
(0)
＋
f
(1)
＝
4
，…，
f
＋
f
n
n
n
1
n
－
1
<
/p>
＋…＋
[
f
(1
)
＋
f
(0)]
＝
4(
n
＋
1)
，即
a
＝
2(
n
＋
1).
＋
f
＋
f
<
/p>
n
n
n
【考点聚焦】
考点一
分组转化法求和
【例
1
】
<
/p>
(2019·济南质检
)
已知在等比数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，且
a
1
，
a
2
，
a
3
－
1
< br>成等差数列
.
(1)
求数列<
/p>
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
若数列
{
b
n
}
满足
b
n
＝
2
n
－
1<
/p>
＋
a
n
(
n
∈N
)
，数列
{
b
n
}
的前
n
项和为
S
n
，试比较
S
n
与
n
＋
2
的大小
.
【答案】见解析
【解析】
(1)
设等比数列
{
a<
/p>
n
}
的公比为
q
，
∵
a
1
，
a
2
，
a
3
－
1
成等差数列，
8
*
2
n
∴2
a
2
＝
a
1
＋
(
a
3
－
1)
＝
a
3
，∴
q
＝
＝
2
，
∴
a
n
＝
a
1
q<
/p>
n
－
1
a
3
a
2
＝
2
n
－
1
(
n
∈N
).
n
－
1
*
< br>(2)
由
(1)
知
b
n
＝
2
< br>n
－
1
＋
a
n
＝
2
n
－
1
＋
2
2
，
n
－
1
∴
S
n
＝
(1
＋
1)
＋
(3
＋
2)
＋
(5
＋
2
)
＋…＋
(2
n
－
1
＋
< br>2
＝
[1
＋
3
＋
5
＋…＋
(2
n
－
1)]
< br>＋
(1
＋
2
＋
2
＋…＋
2
1
＋（
2
n
－
1
）
1
－
2
2
n
＝
·
n
＋
＝
n
＋
2
－
1.
2
1
－
2
∵
S
n
< br>－
(
n
＋
2
)
＝－
1<0
，∴
S
n
<
n
＋
2
.
2
2
)
n
－
1
) <
/p>
n
n
2
n
【规律方法】
1.
若数列
{
c
n
}
的通项公式为
c
n
< br>＝
a
n
±
b
n
，且
{
a
n
}
，
{<
/p>
b
n
}
为等差或
等比数列，可采用分组求和法
求数列
{
c
n
}
的前
n
项和
.
a
n
，
n
为奇数，
2.
若数列
{
c
n
}
的
通项公式为
c
n
＝
其中数列
{
a
< br>n
}
，
{
b
n
}
是等比数列或等差数列，可采
用分组求
b
，
n
为偶数，
n
和法求
{
a
n
}
的前
n
项和
.
【训练
1
】
已知等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
a
1
＝
1
，
S
3
＋
S<
/p>
4
＝
S
5
.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项
公式；
(2)
令
b
n
＝
(
－
1)
n
－
1
a
n
，求数列
{
b
n
}
的前
2
n
项和
T<
/p>
2
n
.
【答案】见解析
【解析】
(1)
设等差数列
{
a<
/p>
n
}
的公差为
d
，
由
S
3
＋
S
4
＝
S
5
可得
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＝
a
5
，即
3
a
2
＝
a
5
，
∴3(
1＋
d
)
＝
1
＋
4
d
，解得
d
＝
2.
∴
a
n
＝
1
＋
(
n
－1)×2
＝
2
n
－
1.
(2)
由
(1)
可得
b
n
＝
(
－
1)
n
－
1
·(2
n
－
1).
∴
T
2
n
＝
1
－<
/p>
3
＋
5
－
7
＋…＋
(2
n
－
3)
－
(2
n
－
1)
＝
(
－2)×
n
＝－<
/p>
2
n
.
考点二
裂项相消法求和
【例
2
】
<
/p>
(2019·郑州模拟
)
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
a
2
＝
8
，
S
n
＝
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
2×3
的前
n
项和
T
n
.
(2)
求数列
<
/p>
a
n
a
n
＋
1
n
a
n
＋
1
2
－
n
－
1.
【答案】见解析
【解析】
(1)∵
a
2
＝
8
，
S
n
＝
a
n
＋
1
2
－
n
－
1
，
9