4-2二轮复习讲义：数列求和及综合应用
中和节-
第二讲
数列求和及综合应用
高考考点
考点解读
1.
已知数列的递推关系式以及某些项，求数列的通项公式；
求数列的通项公式
已知等差
(
比
)
的某些项或前几项的和，求其通项公式
2
．考查等差
(
比
)
数列的概念以及通项公式、前
n
项和公式等
1.
以等差
(
比
)
数列为命题背景，
考查等差
(
比
)
的前
n
项和公式、
求数列的前
n
项和
分组求和
2
< br>．以递推数列、等差
(
比
)
数列为命题背景，考查错位相减、
裂项相消、倒序相加等求和方法<
/p>
1.
等差
(<
/p>
比
)
数列的求和、
分组求和、
错位相减求和及裂项相消
与数列的和有关的综合应
用
求和
2
．常与不等式、函数、解析几何相结合考查数列求和函数、
不等
式的性质等
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
< br>(1)
加强对递推数列概念及解析式的理解，掌握递推数列给出数列的方法．
(2)
掌握等差
(
比
)
数列求和公式及方法．
(3)
掌握数列分组求和、裂项相消求和、错
位相减求和的方法．
(4)
掌握与数
列求和有关的综合问题的求解方法及解题策略．
预测
2020
年命题热点为：
(1)
已知等差
(
比
)
数列的某些项的值或其前几项的和，求该数列的通项公式．
(2)
已知某数列的递推式或某项的值，求该数列的
和．
(3)
已知某个不等式成立，求
某参数的值．证明某个不等式成立．
知识整合
Z
hi shi zheng
he
1
．
分组求和法：
分组求和法是解决通项公式可以写成
c
n
＝
a
n
＋
b
n
形式的数列求和问题<
/p>
的方法，其中
{
a
n
}
与
{
b
n
}
是等差
(
比
)
数列或一些可以直接求和的数列．
2
．
裂项相
消法：
将数列的通项分成两个代数式子的差，即
a
n
＝
f
(
< br>n
＋
1)
－
f
(
n
)
的形式，然
c
后通过累加抵消中间若干项的求和方法．
形如
{
}(
其中
{
a
n
}
是公差
d
≠
0
且各项均不为
0
a
n
a
n
＋
1
的等差数列，
c
为常数
)
的数列等．
3
．
错位相
减法：
形如
{
a
n
·
b
n
}
(
其中
{
a
n
}
为等差数列，
{
b
n
}
为等比数列
)
的数列求和，一般
分三步：①巧拆分；②构差式；③
求和．
4
．
倒序求和法：
距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项
公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思．
附：
(1)
常见的拆项公式
(
其中
n
∈
N
*
)
①
②
③
1
1
1
＝
－
.
n
n
＋
1
n
n
＋
1
1
1
1
1
＝
(
－
)
．
< br>n
n
＋
k
k
n
n
＋
k
1
1
1
1
＝
(
－
).
2
n
－
1
2
n
＋
1
2
2
n
－
1
2
n
＋
1
1
1
1<
/p>
1
1
1
1
1
＝
(
－
)
；
＝
(
－
)
．
a
n
a
n
＋
1
d
a
n<
/p>
a
n
＋
1
a
n
a
n
＋
2
2
d
a
n
a
n
＋
2
④若等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
，则
⑤
⑥
⑦
1
1
1
< br>1
＝
[
－
]
．
n
n
＋
1
<
/p>
n
＋
2
2
n
n
＋
1
n
＋
1
< br>n
＋
2
＝
n
＋
1
－
n
.
n
＋<
/p>
n
＋
1
1
1
＝
(
n
＋
k
－
n
)
．
n
＋
n
＋
k
k
1
(2)
公式法求和：要熟练掌握一
些常见数列的前
n
项和公式，如
n
n
＋
1
①
1
＋
2
＋
3
< br>＋…＋
n
＝
；
< br>
2
②
1
＋
3
＋
5
＋
…＋
(2
n
－
1)
＝
n
2
；
1
③
1
2
＋
2
2
＋
3
2
＋…＋
n
2
＝
n
(
n
＋
1)(2
n
＋
1)
．
6
易错警示
Y
i cuo jing shi
1
．
公比为字母的等比数列求和时，注意公比是否为
1
的分类讨论．
2
．
错位相减法求和时易漏掉减数式的最后一项．
3
．
裂项相消法求和时易认为只剩下首尾两项．
4
．
裂项相
消法求和时注意所裂式与原式的等价性．
< br>1
．
(2017·
全国卷Ⅱ，<
/p>
3)
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔
七
层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座
7
层塔共挂了
381
盏灯
，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的
2
倍，则塔的顶层
共有灯
(
B
)
A
．<
/p>
1
盏
B
．
3
盏
C
．
5
盏
D
．
9
盏
[
解析
]
<
/p>
设塔的顶层的灯数为
a
1
，
七层塔的总灯数为
S
7
，
公比为
q
，
则由题意知
S
7
＝
381
，
q
＝
2
，
a
1
1
－
q
7
a
1
1
－
< br>2
7
∴
S
7
＝
＝
＝
381
，解得
a
1
＝
3.
1
－
q
1
－
2
故选
B
．
<
/p>
2
．
(2017·
全国卷Ⅰ，
12)
几位大学生响应国家的创业号召，开发了一
款应用软件．为激
发大家学习数学的兴趣，
他们推出了“解数学
题获取软件激活码”的活动．
这款软件的激活
码为下面数学问题
的答案：已知数列
1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16<
/p>
，…，其中第一项是
2
0
，接
下来的两项是
2
0,
2
1
，
再接下来的
三项是
2
0,
2
1,
2
2
，
依次类推．
求满足如下条件的最小整数
N
：
N
>100
且该数列的前
N
项和为
2
的整数幂．
那么该款软件的激活码是
(
A
)
A
．
440
C
．
220
B
．
330
D
．
110
[
解析
]
<
/p>
设首项为第
1
组，接下来的两项为第
2
组，再接下来的三项为第
3
组，依此类
n
1
＋
n
推，则第
n
组的项数为
n
，前
n
组的项数和为
.
< br>2
n
1
＋
n
由题意知，
< br>N
>100
，令
>100
⇒
n
≥
14
且
n
∈
N
*
，即
N
出现在第
13
组之后．
2
1
－
2
n
n
2
1
－
2
n
< br>＋
第
n
组的各项和为
＝
2
－
1
，前
n
组所有项的和为
－
n
＝
2
n
1
－
2
－
n
.
1
－
2
1
－
2
n
1
＋
n
设
N
是第
n
＋
1
组的第
k
项，
若要使前
N
项和为
2
的整数幂，
则
N
－
项的和即第
2
n
＋
1
组的前
k
项的和
2
k
－
1
应与－
2
－
n
互为相反数，<
/p>
即
2
k
－
1
＝
2
＋
n
(
k
∈
N
*
，
n
≥
14)
，
k
＝
log
2
(
n
29
×
1
＋
29
＋
3)
⇒
n
最
小为
29
，此时
k
＝
5
，则
N
＝
＋
5
＝
4
40.
2
故选
A
．
3
．
(2018·
江苏卷，
14)
已知集合
A
＝
{
x
|
x
＝
2
n
－
1
，
n
∈
N
*
< br>}
，
B
＝
{
x
|
x
＝
2
n
，
n
∈
N
*
}
．将
A
∪
B
的所有元素从小到大依次排列构成一个数列
{
a<
/p>
n
}
．记
S
n
为数列
{
a
n
}
的前
n
项和，则使得
S
n
>
12
a
n
＋
1
成立的
n
的最小值为
< br>27.
[
解析
]
<
/p>
B
＝
{2,4,8,16,32,64,
128
…
}
，与
A
相比，元素间隔大，所以从
S
n<
/p>
中加了几个
B
中元素考虑，
1
个：
n
＝
1
＋
1
＝
2
S
2
＝
3,1
2
a
3
＝
36
2
个：
n
＝<
/p>
2
＋
2
＝
4
S
4
＝
10,12
a
5
＝
60
3
个：
n
＝
4
＋
3
＝
7
< br>S
7
＝
30,12
a
8
＝
108
4
个：
n
＝
8
＋
4
＝
< br>12
S
12
＝
94,12
a
13
＝
204
5
个：
n
＝
16
＋
5
＝
21
S
21
＝
318,12
a
22
＝
396
6
个：<
/p>
n
＝
32
＋
6
＝
38
S
38
＝
1
150,12
a
39
＝
780
发现
21
≤
n
≤
38
时
S
n
－
12
a
n
＋
1
< br>与
0
的大小关系发生变化，以下采用二分法查找：
S
30
＝
687,12
a
31
＝
612
，所以所求
n
< br>应在
22
～
29
之间，
S
25
＝
462,12
a
26
＝
492
，所以所求
n
应在
25
～
29
之间，
S
27
＝
546,12
a
28
＝
540
，所以所求
n
应在
25
～
27
之间，
S
26
＝
503,12
a
27
＝
516
，
因为
S
27
>12
a
28
，而
S
26
<12
a
27
，所以使得
S
n
>12
a
n
＋
1
成立的
n
的最小值为
27.
4
．
(2017·
全国卷Ⅱ，
1
5)
等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
，
a
3
＝
3
，<
/p>
S
4
＝
10
，则
[
解析
]
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
，则
a
＝
a
＋
2
d
＝
3
，
3
1
由
4
×
< br>3
S
＝
4
a
＋
d
＝
1
0
，
1
2<
/p>
4
a
1
＝
1
，
得
d
＝
1.
< br>
1
2
n
＝
.
S
n
＋
1
k
＝
1<
/p>
k
n
n
n
－
1
n
n
＋
1
∴
S
n
＝
n
×
1
＋
×<
/p>
1
＝
，
2
2
1
2
1
1
＝
＝
2(
－
)
．
< br>
S
n
n
n
＋
1
n
n
＋
1
∴
1
1
1
1
1
＝
＋
＋
＋
…
＋
< br>
S
S
1
S
2
S
3
S
n
k
＝
1
k
n
1
1
1
1
1
1
1
＝
2(1
－
＋
－
＋
－
< br>＋
…
＋
－
)
2
2
3
3
4
n
n
＋<
/p>
1
＝
2(1
－<
/p>
1
2
n
)
＝
.
n
＋
1
n
＋
1
5
．
(2018·
全国卷Ⅲ
，
17)
等比数列
{
< br>a
n
}
中，
a
1
＝
1
，
a
5
＝
4<
/p>
a
3
.
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式．
(2)
记
S
n
为
{
a
n
}<
/p>
的前
n
项和．若
S
m
＝
63
，
求
m
.
[
解析
]
<
/p>
(1)
设
{
a<
/p>
n
}
的公比为
q
，由题设得
a
n
＝
q
n
1
.
由已知得
q
4
＝
4
q
2
，解
得
q
＝
0(
舍
去
)
，
q
＝－
2
或
q
＝
2.
故
a
n
＝
(
－
2)
n
－
1
－
或
a
n
＝
2
n
1
.
< br>1
－
－
2
n
，则
S
n
＝
.
3
－
(2)
若
a
n
＝
(
－
2)
n
－
1
由
S
m
＝
63
得
(
－
2)
m
＝－
188
，此方程没有正整数解．
若
< br>a
n
＝
2
n
1
，则
S
n
＝
2
n
－<
/p>
1.
由
S
m<
/p>
＝
63
得
2
m
＝
64
，解得<
/p>
m
＝
6.
－
综上，
m
＝
6.
6
．
(2018·
北京卷，
15)
设
{
a
n
}
是等差数列，且
a
1
＝
ln 2
，
a<
/p>
2
＋
a
3
＝
5ln 2.
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式．
(2)
求
e
a
1
< br>＋
e
a
2
＋…＋
e
a
n
.
[
解析
]
<
/p>
(1)
由已知，设
{
a
n
}
的公差为
< br>d
，则
a
2
＋
a
3
＝
a
1
＋
d<
/p>
＋
a
1
＋
2
d
＝
2
a
1
＋
3
d
＝
5ln 2
，又
a
1
＝
ln
2
，
所以
d
＝
ln
2
，
所以
{
a
n
}
的通项
公式为
a
n
＝
ln 2
＋
(
n
－
1)ln
2
＝
n
ln 2(
n
∈
N
*
)
．
(2)
由
(1)
及已知，
e
< br>a
n
＝
e
n
ln
2
＝
(e
ln 2
)
n
＝
2
n
，
所以
e
a
1
＋
e
a
2
＋
…
＋
e
a
n
＝
2
1
＋
< br>2
2
＋
…
＋
2
n
＝
2
1
－
2
n
n
＋
1
＝
2
－
2(
n
∈
N
*
)
．
1
－
2
命题方向
1
求数列的通项公式
2
例
1 <
/p>
(1)
已知正项数列
{
< br>a
n
}
满足
a
1
＝
1
，
(
n
＋
2)
a
2
n
＋
1
－
(
n
＋
1)
a
n
＋
a
n
a
n
＋
1
＝
0
，则
它的通项公式为
(
B
)
1
A
．
a
n
＝
n
＋
1
n
＋
1
C
．
a
n
＝
< br>2
2
B
．
a
n
＝
n
＋
1
D
．
a
n
＝
n
2
[
解析
]
由
(
n
＋
2)
a
< br>2
(
a
n
＋
1
＋
a
n
)
＝
0
，
n
＋
1
－
(
n
＋
1)
a
n
＋
a
n
a
n
＋
1
＝
0
，得
[(
n
＋
2)
a
n
＋
1
－
(
n
＋
1)<
/p>
a
n
]·
a
n
＋
1
n
＋
1
n
＋
1
n
n
－
< br>1
2
又
a
n
>0
，
所以
(
n
＋
2)
a
n
＋
1
＝<
/p>
(
n
＋
1)
a
n
，
即
＝
，
a
n
＋
1
＝
·
< br>a
n
，
所以
a
n
＝
·
·
…
·
a
n<
/p>
n
＋
2
3
n
＋
2
n
＋
1
n
2
2
2
a
1
＝
a
1
(
n
≥
2)
，所以
a
n
＝
(
n
＝
1
适合
)<
/p>
，于是所求通项公式为
a
n
＝
.
n
＋
1
n
＋
1
n
＋
1
2
1
(2)(2017·
厦门二模
)
若数列
{
a
n
}
的前
n
项和为<
/p>
S
n
＝
a
n
＋
，则数列
{
a
n
}
的通项公式
为
3
3
(
B
)
A
．
a
n
＝－<
/p>
2
n
1
C
．
a
n
＝
(
－
2)
n
－
B
< br>．
a
n
＝
(
－
2)
n
1
D
．
a<
/p>
n
＝－
2
n
－
2
2
[
解析
]
由
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
(
n
≥
2)
，得
a
n
＝
a
n<
/p>
－
a
n
－
1
.
所以
a
n
＝－
2
a
n
－
1
.
又可以得到
a
1
＝
1
，
3
3
所以
a
n
< br>＝
(
－
2)
n
1
(
n
≥
2)
．
又
a
1
＝
(
－
2)
1
1
＝
1
，所以
a
n
＝
(
－
2)
n
1
.
『规律总结』
求数列通项公式的常见类型及方法
－
－
－
(1)
归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用
归纳猜想法．
S
< br>1
，
n
＝
1
，
(2)
已知
S
n
与
a
n
的关系，利用
a
< br>n
＝
求
a
n
.
S
－
S
，
n<
/p>
≥
2
，
n
n
－
1
(3)
累加法：数列递推关系形如
a
n
＋
1
< br>＝
a
n
＋
f
(
n
)
，
其中数列
{
f
(
n
)}
前
n
项和可求，这种类型
的数列求通项公式时，常用累加法
(
叠加法
)
．
(4)
累乘法：数列递推关系形如
a
n
＋
1
＝
g
(
n
)
< br>a
n
，其中数列
{
g
(
n
)}
前
n
项可求积，此数列求
通项
公式一般采用累乘法
(
叠乘法
)
．
(5)
构造法：
①递推关系形如
a
n
＋
1
＝
pa
n
< br>＋
q
(
p
，
q
为常数
)
可化为
a
n
＋
1
＋
q
q
)
(
p
≠
1)
的
形式，利用
{
a
n
＋
}
是以
p
为公比的等比数列求解；
p
－
1
p
－
1
②递推关系形如
a
n
＋
1
＝
跟踪训练
G
en zong xun lian
pa
n
1
1
1
(
p
为非零常数
< br>)
可化为
－
＝
< br>的形式．
a
n
＋
p
a
n
＋
1
a
n
p
q
＝
p
(<
/p>
a
n
＋
p
－
1
2018
1
．若数列
{
a
n<
/p>
}
满足
a
1
＝
0,2
a
n
＝
1
＋
a
n
a
n
－
1
(
n
≥
< br>2
，
n
∈
N
*
)
，则
a
2019
＝
.
2019
[
解析
]
当
n
≥
2
时，因为
2
a
< br>n
＝
1
＋
a
n
a
n
－
1
，
所以<
/p>
(1
－
a
n
－
1
)
－
(1
－
a
n
)
＝
1
－
a
n
－
a
n
－
1
＋
a
n
a
n
－<
/p>
1
，
所以
(1
－
a
n
－
1
)
－
(1
－
a
n
)
＝
(1
－
a
n
)(1
－
a
n
－
1
)
，
1
1
所以
－
＝
1
，
1
－
a
n
1
－
a
n
－
1
因为
a
1
＝
0
，所以
1
＝
1
，
1
－
a
1
1
所以
{
}
是首项为
1
，公差为
1
的等差数列，
1
－
a
n
1
所以
＝
1
＋
(
n
< br>－
1)
＝
n
，
1
－
a
n
1
2018
所以
＝
2019
，解得
a
2019
＝
.
2019
1
－
a
2019
1
20
2<
/p>
．设数列
{
a
n
}
满足
a
1<
/p>
＝
1
，且
a
n
＋
1
－
a
n
＝
n
＋
1(
n
∈
N
*
)
，则数列
{
}
前
10
项的和为
.
a
n
11
[
解析
]
由
a
1
＝
1
，且
a
< br>n
＋
1
－
a
n
＝
n
＋
1(
n
∈
N<
/p>
*
)
得，
a
n
＝
a
1
＋
(
a
2
－
a
1
)
< br>＋
(
a
3
－
a
2
)
＋
…
＋
(
a
n
－
a
n
－
1
)
＝
1
＋
2
＋
< br>3
＋
…
＋
n
＝
n
n
＋
1
1
2
1
1
1
，则
＝
＝
2(
－
)
，故数列
{
}
前
10
项的和
2
a
n
n
n
＋
1
n
n
＋
< br>1
a
n
1
1
1
1
1
S
10
＝
2(1
－
＋
－
＋
…<
/p>
＋
－
)
2
2
3
10
11
1
20
＝
2(1<
/p>
－
)
＝
.
11
11
命题方向
2
数列求和问题
(
一
)
分组转化法求和
例
2
设数
列
{
a
n
}<
/p>
满足
a
1
＝
2
，
a
2
＋
a
4
＝
8
，且对任意
n
∈
N
*
，函数
f
(
x
)
＝
(
a
n
－
< br>a
n
＋
1
π
＋
a
n
＋
2
)
x
＋
a
n
＋
1
cos
x
－
a
n
＋
2
sin
x
满足
f
′
(
)
＝
0.
2
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
1
(2)
若
b
n
＝
2(<
/p>
a
n
＋
)
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
2
a
n
[
解析
]
(1)
由题设可得
< br>f
′
(
x
)
＝
a
n
－
a
n
＋
1
＋
a
n
＋
2
－
a
n
＋
1
sin
x
－
a
n
＋
< br>2
cos
x
.
π
对任意
n
∈
N
*
，
f
′
(
)
＝
a
n
－
a
n<
/p>
＋
1
＋
a
n
＋
2
－
a
n
＋
1
＝
0
，
2
即
a
n
＋
1
－
a
n<
/p>
＝
a
n
＋
2
－
a
n
＋
1
，故
{
a
n
}
为等差数列．
由
a
1
＝
2
，
a
2
＋
a
4
＝
8
，解得
{
a
n
}
的公差
d
＝
1
，
所以
a
n
＝<
/p>
2
＋
1·
(
n
－
1)
＝
n
＋
1.
(2)<
/p>
因为
b
n
＝
2(
a
n
＋
1
)
2
a
n
1
1
＝
2(
n
＋
1
＋
n
＋
1
)
＝
2
n
＋
n
＋
2
，<
/p>
2
2
所以
S
n
＝
b
1
＋
b
2
＋
…
＋
b
< br>n
1
1
1
＝
(2
＋
2
＋
…
＋
2)
＋
2(1
＋
2
＋
…
＋
n
)
＋
(
＋
2
＋
…
＋
n
)
2
2
2
1
1
[1
< br>－
n
]
2
n
n
＋
1
2
＝
2
n
＋
2·
＋
2
1
1
－
2
1
＝
n
2
＋
3
n
＋
1
－
n
.
2
(
二
)
裂项相
消法求和
例
3 (2017·
全国卷Ⅲ，
17)
设数列
{
a<
/p>
n
}
满足
a
1
＋
3
a
2
＋…＋
(2
n
－
1)
a
n
＝
2
n
.
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式；
a
n
(2)
求数列
{
}
的前
n<
/p>
项和．
2
n<
/p>
＋
1
[
解析
]
(1)
因为<
/p>
a
1
＋
3
a
2
＋
…
＋
(2
n
－
1)
a
n
＝
2
n
，
故当
n
≥
2
时，
a
1
＋
3
a
2
＋<
/p>
…
＋
(2
n
－
3)
a
n
－
1
＝
2(
n
－
1)
，
两式相减得
(2
n
－
1)
a
n
＝
2
，
2
所以<
/p>
a
n
＝
(
n
≥
2)
．
2
n
－
1
又由题设可得
a
1
＝
2
，满足上式，
所以
{
a
n<
/p>
}
的通项公式为
a
n
＝
(2)
记
{
2
.
2
n
－
1
a
n<
/p>
}
的前
n
项和为
S
n
.
2<
/p>
n
＋
1
a
n
2
1
1
由
(1)
知
＝
＝
－
，
2
n
＋
1
2
n
＋
1
2
n
－
1
2
n
－
1
2
n
＋
1
1
1
1
1
1
1
< br>则
S
n
＝
－
＋
－
＋
…
＋
－
1
3
3
5
2
n
－
1
2
n
＋
1
＝
< br>2
n
.
2
n
＋
1
(
三
)
错位相减法求和
例
4
(2
018·
郴州二模
)
已知等差数列
{
a
n
}
，满足：
a
n
＋
1
>
a
n
(
n
∈
N
*
)
，
a
1
＝
1
，该数
列的前三项分别加上
1,1,3
后成等比数列，
a
n
＋
2log
2
b
n
＝－
1.
(1)
分别求数列
{
a
n
}
，<
/p>
{
b
n
}
的通项公式；
(2)
求数列
{
a
n
·
b
n
}
的
前
n
项和
T
n
.
[
解析
]
<
/p>
(1)
设
d
为等
差数列
{
a
n
}
的公差，且
d
>0
< br>，
由
a
1
＝
1
，
a
2
＝
1
＋
d
，
a
3
＝
1
＋
2
d
，分别加上
1,1,3
后
成等比数列，
得
(2
＋
d
)
2
＝
2(4
＋
2
d
)
，
因为
d
>0
，所以
d
＝
2
，
所以
a
n
＝<
/p>
1
＋
(
n
－
1)
×
2
＝
2
n
－
1.
又因为
a
n
＝－
1
－
2log
2
b
n
，
1
所以
log
2
b
n
＝－
n
，即
b
n
＝
n
.
2
2
n
－
1
< br>1
3
5
(2)
< br>T
n
＝
1
＋
2
＋
3
＋
…
＋
n
①，<
/p>
2
2
2
2
2
n
－
1
1
1
3
5
T
n
＝
2
＋
3
＋
4
＋
…
＋
n<
/p>
＋
1
②，
2
2
2
2
2
2
n
－
1
1
1
1
< br>1
1
1
①－②，得
T
n
＝
＋
< br>2
×
(
2
＋
3
＋
4
＋
…
＋
n
)
－
n
＋
1
.
2
2
2
2
2
2
2
1
1
－
n
－
1
2
2
n
－
1
所以
T
n
＝
1
＋
－
n
1
2
1
－
2
2
n
－
1
< br>2
n
＋
3
1
＝
3
－
n
－
2
－
n
＝
3
－
n
.
2
2
2
(
四
)
奇
(
偶
)
数项和问题
例
5
(2018·
< br>潍坊二模
)
设等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
a
2
＝
8
，
S
4
＝
40
；数
列
{
b
n
}
的前
n
项和为
T
< br>n
，且
T
n
－
2
b
n
＋
3
＝
0
，<
/p>
n
∈
N
*
.
(1)
求数列
{
a
n
}
，
{
b
n
}
的通项公式．
a<
/p>
n
，
n
为奇数，
(2)
设
c
n
＝
求数列
{
c
n
}
的前
n
项和
P
n
.
b
n
，
n
为偶数，
[
解析
]
<
/p>
(1)
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
< br>d
，
a
1
＋
d
＝
8
，
a
1
＝
4
，
由题意，
得
所以
a
n
＝
4
n
，
4
< br>a
1
＋
6
d
＝
40
，
d
＝<
/p>
4
，
因为
T
n
－
2
b
n
＋
3
＝
0
，所以当
n
＝
1
时，
b
1
＝
3
< br>，
当
n
≥
2
时，
T
n
－
1
－
2<
/p>
b
n
－
1
＋
3
＝
0
，
两式相减，得
b
n
＝
2
b
n
－
1
(
n
≥
2)
，
数列
{
b
< br>n
}
为等比数列，所以
b
n
＝
3·
2
n
1
.
－
4
n
，
n
为奇数，
(2)
c
n
＝
n
－
1
< br>
3·
2
，
n
为偶数
.
当
n
为偶数时，
P
n
＝
(
a
1
＋
a
3
＋
…
＋<
/p>
a
n
－
1
)
＋
(
b
2
＋
b
4
＋
…
＋
b
n
)
n
n
4
＋
4
n
－
4
·
6
1
－
4
2
2
＋
＝
＋
＝
< br>2
n
1
＋
n
2
－
2.
2
1
－
4
当
n
为奇数时，
方法一：
n
－
1
为偶数，
P
n
< br>＝
P
n
－
1
＋
c
n
＝
2
(
n
方法二
：
P
n
＝<
/p>
(
a
1
＋
a
3
＋
…
＋
a
n
－
2
＋
a
n
)
＋
(
b
2
＋
b
4
＋<
/p>
…
＋
b
n
－
1
)
n
＋
1
n
－
1
6
< br>1
－
4
4
＋
4
n
·
2
2
＝
＋
＝
2
n
＋
n
2
＋
2
n
< br>－
1.
2
1
< br>－
4
2
n
1
＋
n
2
－
2
，
n
为偶数，
所以
P
n
＝
n
2
2
＋
n
＋
2
n
－
1
< br>，
n
为奇数
.
< br>＋
－
1)
＋
1
＋
(
n
－
1)
2
－
2
＋
4
n
＝
2
n
＋
n
2
＋
2
n
－
1.
『规律总结』
1
．
分组求和的常见方法
(1)
根据等差、等比数列分组．
<
/p>
(2)
根据正号、负号分组，此时数列的通项式中常会有
(
－
1)
n
等特征．
2
．
裂项相消的规律
(1)
裂项系数取决于前后两项分母的差．
(2)
裂项相消后前、后保留的项数
一样多．
3
．
错位相减法的关注点
(1)
适用题
型：等差数列
{
a
n
< br>}
与等比数列
{
b
n
}
对应项相乘
{
a
n
·
b
n
}
型数列求和．
(2)
步骤：
①求和时先乘以数列
{
b
n
}
的公比．
②把两个和的形式错位相减．
③整理结果形式．
4
．
分奇偶的求和问题
如果数
列的奇数项与偶数项有不同的规律，当
n
为奇数或偶数时
S
n
的表达式不一样，
因此需要分奇偶分别求
S
n
.
(1)
分组直接求和：相邻的奇偶项合并为一项，组成一个新的数列
b
n
，用
S<
/p>
′
n
表示其前
n
项和，则
S
＝
n
－
1<
/p>
S
′
2
＋
a
，
n
为奇数
.
n
n
n
S
′
，
n
为偶数，
2
(2)
分奇偶转化求和：先令
n
为偶数，求出其前
n
项和
S
n
；当
n
为奇数时，
S
n
< br>＝
S
n
－
1
＋
a
n
.
跟踪训练
G
en zong xun
lian
(
文
)
已知数列
{
< br>a
n
}
的前
n
项和
S
n
＝
3
n
2
＋
8
n
，
{
b
n
}
是等差数列
，且
a
n
＝
b
n
＋
b
n
＋
1
.
(1)<
/p>
求数列
{
b
n<
/p>
}
的通项公式；
a
n
＋
1
n
1
(2)
令
c
n
＝
.
求数列
{
c
n
}
的前
n
项和
T
n
.
b
n
＋
2
n
[
解析
]
(1)
由题意知当
n
≥
2
时，
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝
6
n
＋
5
，
当
n
＝<
/p>
1
时，
a
1
＝
S
1
＝
11
，
所以
a
n
＝
6
n
＋
5.
设数列
{
b
n
}
的公差为
d
，
a
< br>1
＝
b
1
＋
b
2
，
11
＝
2
b<
/p>
1
＋
d
，
由
得
a
2
＝
b
2
＋
b
3
，
17
＝
2
b
1
＋
3
d
，
＋
可解得
b
1
＝
4
，
d
＝
3.
所以
b<
/p>
n
＝
3
n
＋
1.
6
n
＋
6
n
1
＋
(2)
由
(1)
知
c
n
＝
2
n
1
.
n
＝
< br>3(
n
＋
1)·
3
n
＋
3
又
T
n
＝
c
1
＋<
/p>
c
2
＋
…
＋
c
n
，
所以
T
n
＝
3
×
[2
×
2
2
＋
3
×
2
3
＋
…
＋
(
n<
/p>
＋
1)
×
2
n
1
]
，
2
T
n
＝
3
×
[2
×
2
3
＋
3
×
2
4
＋
…
＋
(
n<
/p>
＋
1)
×
2
n
2
]
，
两式作差，
得－
T<
/p>
n
＋
＋
＝
3
×
[2
×
2
2
＋
2
3
＋
< br>2
4
＋
…
＋
2
n
1
－
(
n
＋
1)<
/p>
×
2
n
2
]
＝
3
×
[4
＋
＋
＋
＋
4
1
< br>－
2
n
－
(
n
1
－
2
＋
1)
×<
/p>
2
n
2
]
＝－
3
n
·
2
n
2
，所以
T
n
＝
3
n
·
2
n
< br>2
.
(
理
)
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
.
已知
2
S
n
＝
3
n
＋
3.
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
若数列
{
b
n
}
满足
< br>a
n
b
n
＝
log
3
a
n
，求
{
b
n
}
的前
n
项
和
T
n
.
[
解析
]
<
/p>
(1)
因为
2
S
n
＝
3
n
＋
3
，
所以
2
a
1
＝
3
＋
3
，故
a
1
＝
< br>3.
当
n
＞
< br>1
时，
2
S
n
－
1
＝
3
n
1
＋
3<
/p>
，
此时
2
a
n
＝
2
S
n
－
2
S
n
－
1
< br>＝
3
n
－
3
n
1
＝
2
×
3
n
1
，
即
a
n
＝
3
n
1
，
< br>
3
，
n
＝
1
，
所
以
a
n
＝
<
/p>
n
－
1
3
，
n
＞
1.
－
－
－
－
＋
< br>＋
＋
1
(2)
因为
a
n
b
n
＝
log
3
a
n
，所以
b
1
＝
.
3
当
n
＞
1
时，
b
n
＝<
/p>
3
1
n
log<
/p>
3
3
n
1
＝
(
n
－
1)·
3
1
n
.
1
所以
T
1
＝
b
1
＝
；
3
当
n
＞
1
时，
T
n
＝
b
1
＋
b
2
＋
b
3
＋
…
＋
b
n
1
－
< br>－
－
＝
＋
[
1
×
3
1
＋
2
×
3
2
＋
…
＋
n
－
1
×
3
1
< br>n
]
，
3
所以
3
T
n
＝
1
＋
[1
×
3
0
＋
2
×
3
1
＋
…
＋
(
n
－
1)
×
3
2
n
]
．
两式相减，得
2
－
－
－
< br>－
2
T
n
＝
＋
(3
0
＋
3
1
＋
3<
/p>
2
＋
…
＋
3
2
n
)
－
(
n
－
1)
×
3
1
< br>n
3
2
1
－
3
1
n
13
6
n
＋<
/p>
3
1
－
n
＝
＝
＋
－
，
－
1
－
(
n
－
1)
×
3
3
1
－
3
6
2
×
3
n
13<
/p>
6
n
＋
3
所以
T
n
＝
－
.
12
4
×
3
n
经检验，
n
＝
1
时也适合．<
/p>
13
6
n
＋
3
综上可得
T<
/p>
n
＝
－
.
12
4
×
3
n
命题方向
3
数列与函数、不等式的综合问题
(<
/p>
一
)
数列与函数的综合
< br>
例
6
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
，点
(
a
n
，
b
n
)
在函数
f
(
x
)
＝
2
x
的图象上
< br>(
n
∈
N
*
)
．
(
1)
若
a
1
＝
－
2
，点
(
a
8,
4
b
7<
/p>
)
在函数
f
(<
/p>
x
)
的图象上，求数列
< br>{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
；
(2)
若
a
1
＝
1
，
函数
f
(<
/p>
x
)
的图象在点
(
a
2
，
b<
/p>
2
)
处的切线在
x
轴上的截距为
2
－
< br>
－
－
－
－
－
－
1
a
n
，
求数列
{
}
ln 2
b
n
的前
n
项
和
T
n
.
[
解析
]
<
/p>
(1)
由已知得，
b
7
＝
2
a
7
，
b
8
＝<
/p>
2
a
8
＝
4
b
7
，
有
2
a
8
＝
4
×
2
a
7
＝
2
a
7
＋
2.
解得
d
＝
a<
/p>
8
－
a
7
＝
2.
n
n
－
1
所以
S
n
＝
na
1
＋
d
＝－
2
n
＋
< br>n
(
n
－
1)
＝
n
2
－
3
n
.
2
(2)
f
′
(
x
)
＝
2
x
ln 2
，
f<
/p>
′
(
a
2
)
＝
2
a
2
ln 2
，故函数
f<
/p>
(
x
)
＝
2
x
在
(
a
2
，
b
2
)
处的切线方程为
y
－
2
a
2
＝
2
a
2
ln 2(
x
－
a
2
)
，
1
它在
x
轴上的截距为
a
2
－
.
ln 2
1
1
由题意得，
a
2
－
＝
2
－
，
ln 2
ln 2
解得
a
2
＝
2.
所以
d
＝
a
< br>2
－
a
1
＝
1.
从而
a
n
＝
n
，
b
n
＝
2
n<
/p>
.
n
－
1
n
1
2
3
所以
T
n
＝
＋
2
＋
3
＋
…
＋
n
－
1
＋
n
，
2
2
2<
/p>
2
2
1
2
3
n
2
T
n
＝
＋
＋
2
＋
…
＋
n
－
1
.
1
2
2
2
1
1
1
n
因此，
2
T
n
－
T
n
＝
＋
2
＋
…
＋
n
－
1
－
< br>n
2
2
2
2
1
n
＝
2
－
n
－
1
－
n
2
2
2
n
1
－
n
－
< br>2
＝
.
2
n
2
n
1
－
n
－
2
所以
T
n
＝
. <
/p>
2
n
(
二
)
数列与不等式的综合
例
7 (
文
)
设
S
n
为数列
{
a
n
}
的前
n
项和，已
知
a
1
＝
2<
/p>
，对任意
n
∈
N
*
，都有
2
S
n
＝
(
n
＋
1)
a
n
.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项
公式；
4
(2)
若数列
{
}
的前
< br>n
项和为
T
n
< br>，
a
n
a
n
＋
2
1
求证：
≤
T
n
<1.
2
[
解析
]
(1)
因为
2
S
n
＝
(
n<
/p>
＋
1)
a
n
，
当
n
≥
2
时，
2
S
n
－
1
＝
na
n
－
< br>1
，
两式相减得
2
a
n
＝
< br>(
n
＋
1)
a
n
－
na
n
－
1
，
＋
＋
即
(
n
－
1)
a
n
＝
na
n
－
1
，
a
n
< br>a
n
－
1
所以当
n
≥
2
时，
＝
，
n
n
－
1
a<
/p>
n
a
1
所以
＝
.
n
1
因为
a
1
＝
2
，所以
a
n
＝
2
n
.
(2)
证明：因为
a
n<
/p>
＝
2
n
，
4
1
1
1
令
b
n
＝
＝
＝
－
.
2
n
2
n
＋
2
n
n
＋
1
n
n
＋
1
1
1
1
1
1
1
< br>n
所以
T
1
＝
b
1
＋
b
2
＋
…
＋<
/p>
b
n
＝
(1
－
)
＋
(
－
)
＋
…
＋
(
－
)
< br>＝
1
－
＝
.
2
2
3
n
n
＋
1
n<
/p>
＋
1
n
＋
1
1
1
因为
>0
，所以
1
－
<1.
n
＋
1
n
＋
1
1
因为
f
(
n
)
＝
在
N
*
上是递减函数，
n
＋
1
1
所以
1
－
在
N
*
上是递增的，
n
＋
1
1
所以当
n
＝
1
时，
T
n
取最小值
.
2
1
所以
≤
T
n
<1.
2
(
理
)
已知数列<
/p>
{
a
n
}
满足
a
1
＝
1
，
a
n
＋
1
＝
3
< br>a
n
＋
1
1
(1)
证明
{
< br>a
n
＋
}
是等比数列，并求
{
a
n
}
的通项公式；
2
1
1
1
3
(2)
证明
＋
＋…＋<
/p>
<
.
a
1
a
2
a
n
2
[
解析
]
(1)
证明：由
a
n
＋
1
＝
3
a
1
＋
1
，
1
< br>1
得
a
n
＋
1
＋
＝
3
(
a
n
＋
)<
/p>
．
2
2
1
3
又
a
1
＋
＝
，
2
2
1
3
所以
{
a
n
＋
}
是首项为
，
2
2
公比为
3
的等比数列．
3
n
－
1
< br>1
3
n
a
n
＋
＝
，因此
{
a
n
}
的
通项公式为
a
n
＝
.
2
2
2
1
2
(2)
由
(1)
知
＝
n
.
a
n
3
－
1
因为当
n
≥
1
时，
3
n
－
1
≥
2
×
3
n
1
，
1
1
所以
n
≤
－
.
3
－
1
< br>2
×
3
n
1
－