类型二2007-2016高考数列累加法求通项 典型的错位相减法求和
老子语录-
类型二
:
累加法累乘法求通项
典型的错位相减法求和
1.
（
2009
全国卷Ⅰ理）
（本小题满分
12
分）
在数列
{
a
n
}
中，
a
1
1,
a
n
1
(1
< br>
)
a
n
（
I
）
设
b
n
1<
/p>
n
n
1
n
2
a
n
，求数列
{
b
n
}
的通项公式
n
（
II<
/p>
）求数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
：
（
I
）由已知有
a
n
1
a
n
1
1
n
b
n
1
< br>b
n
n
n
1
n
2
2
1
*
(
)
n
N
n
1
2
利用累差迭加即可
求出数列
{
b
n
}
的通项公式
:
b
n
2
（
II
）由（
I
< br>）知
a
n
2
n
n
n
,
2
n
1
n
n
k
k
S
n
=
(2
k
k
1
)
(2
< br>k
)
k
1
2
k
1
k
1
k
1
2
n
而
(2
k
)
n
(
n
1)
,
又
k
1
n
k
是一个典型的错位相减法模型，
<
/p>
k
1
2
k
1
n
易得
k
n
2
n
2
< br>S
4
=
4
n
(
n
1)
n
k
1
n
1
n
1
2
2
k
1
2
2. 2012
高考江西理
16
（本小
题满分
12
分）
已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
（
1
）确定常数
k
，求
a
n
；
< br>（
2
）求数列
{
1
2
n
kn
，
k
N
*
,
且
S
n
的最大值为
8.
< br>2
9
2
a
n
}
的前
n
项和
T
n
。
2
n
1
2
1
1
即
8
k
2
k
< br>2
k
2
，
故
k
4
，
n
kn<
/p>
取最大值，
2
2
2
9
7
9
从而
a
n
S
n
S
n
1
n
(
n
< br>2)
，又
a
1
< br>
S
1
，所以
a
n
n
2
2
2
9
2
a
n
n
2
3
n
1
n
（
1
）
< br>
因为
b
n
，
T
b
b
<
/p>
b
1
n
1
n
1
2
n
n
n
1
2
n
2<
/p>
2
2
2
2
2
2
1
1
n
1
n
n
2
所以
T
< br>n
2
T
n
T
n
2
1
n
2
n
1
4
< br>n
2
n
1
4
n
1
2
2
2
2
2
2
N
解
:
（
1
）
当
n
k
时，
S
n
3
．
（
2013
年高考山东卷
（文）
）
设等差数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
,
且
S
4
4
S
2
,
a
2
n
2
a
n
1
(Ⅰ)求数列
< br>
a
n
的通项公式；
a
n
2
n
1
(Ⅱ)设数列
b
n
满足
b
1
b
2
a
1
a
2
b
n
1<
/p>
1
n
,
n
N
*
,
求
b
n
的前
n
项和
T
n
< br>。
a
n
2
T
n
3
2
n
3
n
2
4.
（
2013
年普通高等学校招生统一考试山东
数学（理）
）
设等差数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
,
且
S
4
< br>
4
S
2
,
a
2
n
2
a
n
1
.
(Ⅰ)求数列
a
n
的
通项公式
;
(Ⅱ)设数列
b
n
前
n
项和为
T
n
,
且
T
< br>n
列
c
n
的前
n
项和
R
n
.
解:(Ⅰ)设等差数列
由
,
a
n
1
*
c
b
(
n
N
)
.
求数
(
为常数
).
令
n
2
n<
/p>
n
2
a
n
的首项为
a
1
,
公差为
d
,
得
S
4
4
S
2
a
2
n
2
a
n
1
4
a
< br>1
6
d
8
a
1
4
d
a
1
(2
n
1)
2
a
1
2(
n
1)
d
1
< br>,
解得
,
因此
a
1
1
d
2
,
a
n
2
n
1
(
n
N
*
)
(Ⅱ)由题意知
:
T
n
n
2
< br>n
1
n
2
n
1
n
1<
/p>
2
n
2
所以
n
2
时
,
b
n
T
n
T
n
1
故
,
c
n
b<
/p>
2
n
2
n
2
1
n
1
(
n
1)(
)
*
2
n
1
(
n
N
)
2
4
1
1
1
1
1
R
n
0
(
)
0
1
(
< br>)
1
2
(
)
2
3
(
)
3
(<
/p>
n
1)
(
)
n
1
4
4
4
4
4
所以
,
1
1
1
1
1
1
R
n
0
(
)
1
1
<
/p>
(
)
2
2
(
)
3
(
n
2)
(
)
n
1
(
n
1)
(
)
n
4
4
4
4
4
则<
/p>
4
3
1
1
1
1
1
R
n
(
)
1
(
)
2
(
)
3
(
)
n
1
(
n
1)<
/p>
(
)
n
4
4
4
4
4
两式相减得
4
1
1
n
(
)
1
4
4
(
< br>n
1)(
)
< br>n
1
4
1
4
1
3
n
1
R<
/p>
n
(4
n
1
)
9
4
整理得
1
3
n
1
R
(4
)
n
n
< br>
1
c
n
9
4
所
以数列数列
的前
n
项和
5.
(2009
山东卷文
)
（本小题满分
12
< br>分）
等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
已知对任意的
n
N
，点
(<
/p>
n
,
S
n
)
，均在函数
y
<
/p>
b
x
r
(
b
0
且
b
1,
b
,
r
均为常数
)
的图像上
.
（
1
）求
r
的值；
（
11
）当
b=2
时，记
b
n
n
1
(
n
N
)
求数列
{
b
n
}
的前<
/p>
n
项和
T
n
4
a
n
x
解
:
因为对任意的<
/p>
n
N
,
点
(
n
,
S
n
)
，均在函数
y
b
r
(
b
0
且
b
1,
b
,
r
均为常数
)
的图
< br>n
像上
.
所以得
S
n
b
r
,
当
n
1
时
,
a
1
S
1
b
r
,
n
n
1
n
< br>n
1
n
1
当
n
2
时
,
a
n
S
n
S
n
1
b
< br>r
(
b
r
)
b
b
(
b
1)
b
,
n
1
又因为
{
a
n
}
为等比数列
,
<
/p>
所以
r
1
,
公比为
b
,
所以<
/p>
a
n
(
b
1)
b
n
1
n
1
（
< br>2
）当
b=2
时，
a
n
(
< br>b
1)
b
2
,
b
n
n
1
n
1
n
1
< br>
n
1
n
1
4
a
n
4
2
2
2
3
4
n
1
< br>2
2
2
3
2
4
2
n
1
1
2
3
4
n
n
1
T
n
< br>
3
4
5
n
1
n
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
n
< br>1
相减
,
得
T
n
2
3
4
<
/p>
5
n
1
n
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
(1
)
n
1
1
2
3
n
1
3
1
n
1
2
n
2
n
1
n
2
< br>1
4
2
2
2
2
1
2
则
T
n