三种常用的数列求和方法-高考文科数学分类专题突破训练
水养植物-
考查角度
2
三种常用的数列求和方法
分类透析一
分组转化法求和
例
1
已知等差数列
< br>{
a
n
}
满足
a
2
=
2,
a
1
+a
4
=
5
.
<
/p>
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式
;
(2)
若数列
{
b
n
}
满足
b
1
=
3,
< br>b
2
=
6,{
< br>b
n
-a
n
}
为等比数列
,
求数列
{
b
n
}
的
前
n
项和
< br>T
n
.
分析
(1)
利用已知条件求出等差数
列
{
a
n
}<
/p>
的通项公式
;(2)
因为
{
b
n
-a
< br>n
}
为等比数列
,
所以数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
可以看成数列
{
b
n
-a
n
}
的前
n
项和与数列
{
a
n
}
的前
n
项和的总和
.
解析
(1)
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
,
∵
等差数列
{
a
n
}
满足
a
2
=
2,
a
1
+a
4
=
5,
∴
解得
a<
/p>
1
=d=
1,
∴a
n
=
1
+
(
n-
1)
×
1
=n.
(2)
设
等比数列
{
b
n
-a
n
}
的公比为
< br>q
,
∵b
1
=
3,
b
2
=
6,
∴b
1
-a
1
=
3
-
1
=
2,
b
2
-a
2
=
6
-
2
=
4,
∴q=
2
.
∴b
n
-a
n
=
2
×
2
n-
1
=
2
n
,
∴b
n
=n+
2
n
,
∴
数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
=
(1
+
2
+
3
+
…
+n
)
+
(2
+
< br>2
+
…
+
2
)
=
2
n
-
+
-
=
+
2
n+
1
-
2
.
方法技巧
从求和数列的通项入手
,
将其转化为等差数列与等比
数列的和或差
的形式
,
再利用等差数列与等比数列的求和公式进行分
组求和
.
分类透析二
错位相减法求和
例
2
已知
{
a
n
}
的前<
/p>
n
项和
S
n
=
4
n-n
2
+
4
.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式
;
(2)
求数列
-
的前<
/p>
n
项和
T
n
.
分析
(1)
由
{
a
n
}
的前
n
项和求出
数列
{
a
n
}
的通项公式
;(2)
利用错
位相减法求和即可
(
当
n
=
1
时要单独考虑
)
< br>.
解析
(1)
当
n
≥2
时
,
a
n
=S
< br>n
-S
n-
1
< br>=
4
n-n
2
< br>-
[4(
n-
1)
-
(
n-
1)
2
]
=
5
< br>-
2
n
;
当
n=
1
时
,
a
1
=S
1
=
7
.
∴a
n
=
-
(2)
令
b
n
=
-
,
当<
/p>
n=
1
时
,
T
1
=b
1
=
当
n
≥2
时
,
b
n
=
-
-
=
0;
-
=
,
-
∴T<
/p>
n
=
0
+
+
+
+
…
+
+
-
,
T
n
=
+
+
+
…
+
+
,
-
两式相减得
T
n
=
1
+
+
+
…
+
-
=
-
-
-
-
=
2
-
,
∴T
n
=
4<
/p>
-
-
(
n
≥2
.
当
n=
1
时
,<
/p>
满足上式
.
综
上所述
,
T
n
=
4
-
-
.
方法技巧
用错位相减法求和时
,
应注意
:
(1)
要善于识别题目类型
,
特别是等比数列
的公比为负数的情形
;
(2)
在写出
“
S
n
”与“
qS
n
”的表达式时应特别注意将两式“错项
< br>对齐”以便下一步准确写出“
S
n
-qS
n
”的表达式
;
(3)
在应用错位相减法求和时
,
若等比数列的公比未知
,
应分公比
等于
1
和不等于
1
两种情况求解
.
分类透析三
a
n
=
型的裂项相消法求和
例
3
已知数列
{
a
n
}
为
单调递增数列
,
S
n
< br>为其前
n
项和
,2
S
n
=
+n.
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式
.
(2)
若
b
n
=
,
T
n
为数列
{
b
n
}
的前
n
项和
,
证明
:
T
n
<
.
分析
(
1)
由递推公式
2
S
< br>n
=
+n
求出
{
a
n
}
的通项公式
;(2)
先用裂
项相消法求和
,
再
进行适当放缩证明
.
解析
(1)
当
n=
1
时
,2
S
1
=
2
a
1
=
+
1,
即
(
a
1
-
1)
2
=
0,
解得
a
1
=
1
.
又
{
< br>a
n
}
为单调递增数列
,
所以
a
n
≥1
.
由
2
S
n
=
+n
得
2
S
n+
1
=
+n+
1,
所以
2<
/p>
S
n+
1
-
2
S
n
=
-
+
1,
整理得
2
a
n+
1
=<
/p>
-
+
1,
所以
=
(
a
n+
1
-
1)
2
.
所以
a
n
=a
n+
1
-
1,
即
a
n+
1
-a
n
=
1,
所以
{
a
n
}
是以
1
为首项
,1
为公差的等差数列
,
所以
a
n
=n.
(2)
b
n
=
所以
=
=
-
,
T
n
=
-
+
-
+
…
+
-
=
-
<
.
方法技巧
(1)
用裂项相消法求和时
,
抵消后并
不一定只剩下第一
项和最后一项
,
也有
可能前面剩两项
,
后面也剩两项
,
或者前面剩几项
,
后面也剩几项
.
(2)
将通项裂项后
,
有时需要调整前面的系数
,
使裂开的两项之差
和系数之积与原通项相等
.<
/p>
如
:
若
{
a
n
}
是等差数列<
/p>
,
则
=
-
,
=
-
.
分类透析四
a
n
=
型的裂项相消法求和
例
4
已知数列
{
a
n
}
的
首项为
a
1
=
1,
且
(
a
n
+
1)
a
n+
1
=a
n
,<
/p>
n
∈N
*
.
(1)
求证
:<
/p>
数列
是等差数列
.
(2)
设
b
n
=
,
求数列
{
b
n
}
的前
n<
/p>
项和
T
n
.
分析
(1)
通过递推公式
(
a
n
+
1)
a
n+
1
=a
n
证明数列
是等差数列
;(2)
将
b
n
=
裂项
,
再求和
.
解析
(1)
由
a
n+
1
=
以
=
1
.
,
得
=
=
+
1,
则
-
=
1,<
/p>
又
a
1
=
1,
所
所以数列
是以
1
为首项
,1
为公差的等差数列
.
(2)
由
(1)
可知
,
=n
,
故
a
n
=
.
又
b
n
=
=
=
-
=
-
,
所以
T
n
=b
1
+b
2
+b
3
+
…
+b<
/p>
n
=
-
+
-
+
-
+
…
+
-
=
1
-
.
方法技巧
本题主要考查等差数列的定
义与通项公式
,
以及裂项
相消法求数列
的和
,
属于中档难度题
.
常见的裂项技巧
:
(1)
=
-
;
(2)
=
(
-
);
=
-
(3)
(4)
-
-
-
;
=
.
此外
,<
/p>
需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题
,
导致计算结果错误
.
1
.
(20
17
年天津卷
,
理
18
改编
)
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
,
前
n
项和
为
S
n
,
等比数列
{
b
n
}
的公比为
q
,
已知
b
1
=a
1
,
b
2
=
2,
< br>q=d=
2
.
(1)
求数列
{
a
n
},{
b
n
}
的通项公式
;
(2)
记
c
n
=
,
求数列
{
c
n
}
的前
n
项和
T
n
.
解析
(1)
由题意知
a
1
=b
< br>1
=
1,
所以
a
n
=
2
n-
1,
b
n
=
2
n-
1
.
(2)
由
(1)
得
c
n
=
-
-
,
-
-
-
则
T
n
=
1
+
+
+
+
+
…
+
,
①
T
n
=
+
+
+
+
+
…
+
由
①
-
②
可得
.
②
T
n
=
2
+
+
+
…
+
故
T
n
=
6
-
-
-
-
-
=
3
-
,
.
2
.
(2015
年全国
Ⅰ
卷
,
理
17
改编
)
设各项均为正数的数列
{
a
n
}
的前
n
项
和
S
n
满足
S
n
=
< br>a
n
,
且
a
1
=
2
.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式
.
(2)
设
b
n
=
(
n
∈N
*
),
数
列
{
b
n
}<
/p>
的前
n
项和为
T
n
.
求证
:<
/p>
T
n
≥
-
.
解析
(1)
∵
=
n+r
,
a
1
=
2,
∴
=
+r=
1,
解得
r=
.
∴S
n
=
a
n
,
当
n
≥2
时
,
a<
/p>
n
=S
n
-S<
/p>
n-
1
=
a
n
-
a
n-
1
,