2020年高考数学(理)之数列 专题09 数列的求和( 分组求和、倒序相加法)(解析版)
郭松年-
数列
09
数列的求和
(
分组求和、倒序相加法
)
【考点讲解】
一、
具体目标：
一、
二、知识概述：具本目标：
1.
掌握等差、等比数列的求和方法；
2.
掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法
.
考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非
等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和
.
二、知识概述：
求数
列前
n
项和的基本方法
（
1
）直接用等差、等比数列的求和公式求和；
等差：
S
n
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
< br>
1)
na
< br>1
d
；
2
2
(
q
1)
(
q<
/p>
1)
a
1
1
q
公比是字母时需要讨论
.
< br>na
1
等比：
S
n
a
1
(1
q
n
)
1
q
(
理
)
无穷递缩等比数列时，
S
（
2
）掌握一些常见的数列的前
n
项和公式：
< br>
n
n
1
；
1
2
3
n
2
2
4
6
< br>
2
n
n
2
n
；
1
1
<
/p>
3
5
n
n
2
；
1
2
2
2
3
2
n
2<
/p>
n
n
1
2
n
1
3
n
< br>n
1
3
3
3
；
1
2
3
n
6
2
< br>n
2
（
3
）倒序相加法求和：如果一个数列
a
，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常
数，
那么求这个数列的前
n
项和即可用
倒序相加法
.
（
4
< br>）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么
b
n
这个数列的前
n
项和即可用此法来求
.
q
倍错位相减法：
若数
列
c
n
<
/p>
的通项公式
c
n
a
n
b<
/p>
n
，
其中
a
n
、
中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等
比数列
的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种
方法叫
q
倍错位相减法．
温馨提示：
1.
两个特殊数列等差与等比的乘积或
商的组合
.
2.
关注相减的项数及没
有参与相减的项的保留
.
（
5
）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这
类数列适当拆开，把数列的每一
项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和
，再合并
.
通项公式为
a
n
＝
其中数列
{
b
n
}
，
{
c
n
}
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
b
n
,
n
为奇数
的数列，<
/p>
c
n
,
n
为偶数
f
n
,
n
2
k
1
,
k
N
形如：
a
n
b
n
其中
a
是等差数列
，
a
n
g
n
,
n
2
k
,
k
< br>N
b
是等比数列
n
n
（
6
< br>）并项求和法
一个数列的前
n
项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如
a
n
1
f
< br>n
类型，可采用两项合
并求解
.
合并求和：如求
< br>100
99
98
97
2
1
的和
.
（
7
）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项
.
常见拆项：
2
2
2
2
2
2
n
1
1
1
1
1
1
1
< br>
;
;
n
(
n
1)
n
n
1
(2
n
< br>1)(2
n
1)
2
2
n
< br>
1
2
n
1
1
1
1
1
；
n
(
n
1)(
n
2)
2
n
(
n
1)
< br>(
n
1)(
< br>n
2)
1
n
n
1
2
n
1
n
.
【真题分析】
L
，
1
2
2
L<
/p>
2
1.
【
2019
优选题】设数列
1
，
1
2
，
1
2
2
，
1
<
/p>
2
2
3
，
2
2
3
2
n
1
，
L
的前
< br>n
项
和为
S
n
，
则
S
n
的值为
（
）
A.
2
n<
/p>
－１
B.<
/p>
2
n
－
n
C.
2
n
1
2
D.
2
n<
/p>
1
n
2
【解析】由题
意可知数列的通项为
a
1
2
2
2
L
2
n
1
n
1
<
/p>
1
2
n
1
2
2
n
1
，所以有
S
2
1
2
< br>n
n
2
1
2
2
1
2
3
1
L
2
n
1
=
< br>2
2
2
2
3
L
2
n
n
1
2
n
2
n
1
< br>
n
2
.
【答案】
D
2.
【
2019
优选题】数列
2
，
2
1
,
3
1
,
< br>4
1
,
,
n
1
2
4
8
2
n
1
,
的前
n
项之和为（
）
A.
n<
/p>
(
n
1
)
2
2
1
2
B.
n
(
n
1
)
2
1
1
n
2
n
C.
n
2
n
4
2
1
2
D.
n
2<
/p>
n
4
1
n
1
2
2
n
1
【解析】本题考点是分组求和在求数列和的具体运用
.
<
/p>
原式
1
1
2
0
2
1
2
1
3
< br>1
2
2
n
1
2
n
1
1
2
3
n
< br>
1
1
1
2
0
2
1
2
n
1
< br>n
2
n
4
2
1
2
n
1
【答案】
C
<
/p>
3.
【
2019
优选题】数列
a
n
< br>n
的通项公式是
a
n
1
2
n
1
，则该数列的前
100
项之和为（
A
．
200
B
．
100
C
．
200
D
．
100
【解析】本题考点是分组求和在求数列求和的具体运用
.
根据题意有
S
100
1
3
5
7
9
21
L
197
199
2
50
100
< br>，
3
）
故选
D
．
【答案】
D
4.
【
2019
优选题】
11
103
1005<
/p>
10
2
n
1
的值为（
）
n
A.
10
10
n
10
1
n
2
(
10<
/p>
1
)
n
2
B.
(
10
n
1
1
)
n
2
C.
(
10
n
1
1
< br>)
n
2
D.
(
10
1
)
(
n
1
)
9
9
9
9
2
3
n
【解析】原式
10
1
10
3
10
5
10
2
n
1
2
n
10
1
0
10
1
3
5
2
n
1
=
【答案】
A<
/p>
10
n
(
10
1
)
n
2
9
4
x
1
,
则
f
5.
【
2019
优选题】
设
f
(
x
< br>)
x
4
2
11
－
2
<
/p>
f
11
3
10
f
f
.
11<
/p>
11
【解析】本题考点是倒序相加求和的具体运用
.
< br>4
1
x
4
x
2
∵
f
(
x
)
＝
x
，
∴
f
(1
－
x
)
＝
1
－
x
＝
，
4
＋
2
4
＋
2
2
＋
4
x
4<
/p>
x
2
∴
f
(
x
)
＋
f
(1
－
x
)
＝
x
＋
< br>＝
1.
4
＋
2
2
＋
4
x
1
<
/p>
设
S
=
f
11
10
S
=
f
11
2
f
11
<
/p>
3
10
f
L
f
< br>11
11
< br>
9
f
11
8<
/p>
1
f
L
f
11
< br>
11
10
两式相加可得
2
S
=
f
11
< br>
1
9
f
f
11
11
1
2
f
L
f
11
11
< br>
10
f
11
2
S
=10
，
∴
S
=5
.
【答案】
5
4
x
1
2
2
014
6.
设
f
(
x
)
＝
x
，若
S
＝
f<
/p>
(
2 015
)
＋
f
(
2 015
)
＋…＋
f
(
2 015
)
则
S
＝
________.
4<
/p>
＋
2
【解析】
本题考点是倒序相加求和的具体运用
4
1
x
4
x<
/p>
2
∵
f
(
x
)
＝
x
，
∴
f
(1
－
x
)
＝
< br>1
－
x
＝
，
4
＋
2
4
＋
2
2
＋
4
x
4
x
2
∴
f
(
x
)
＋
< br>f
(1
－
x
)
＝
x
＋
＝
1.
4
＋
2
2
＋
4
x
S
＝
f
(
1
2
2 014
)
＋
f
(
)
＋
…
＋
f
(
)
，
< br>
2 015
2 015
2
015
①
－
4
2
014
2 013
1
S
＝
f
(
)
＋
f
(
)
＋
…
＋
f
(<
/p>
)
，
2
015
2 015
2
015
②
1
2
014
2
2 013
2 014
1
①
＋
②
得，
2
S
＝
[
f
(
)
< br>＋
f
(
)]
＋
[
f
(
)
＋
f
(
)]
＋
…
＋
[
f
(
)
＋
f
(
)]
＝
2 014
，
2
015
2 015
2 015
2
015
2 015
2 015
2 01
4
∴
S
＝
＝<
/p>
1 007.
2
【答案】
1007
7.
【
2018
年高考天津卷文数】
< br>设
{
a
n
}
是等差数列，
其前
n
项和为
S
n
（
n
∈
N
*
< br>）
；
{
b
n
}
是等比数列，
公比大于
0
，
其前
n
项和为
T
n
（
n
∈
N
*
）
．已知
b
1
=1
，
b
3
< br>=
b
2
+2
，
b
4
=
a
3
+
a
5<
/p>
，
b
5
=
a
4
+2
a
6
．
（
1
）求
S
n
和
T
n
；
（
2
）若
S
n
+
（
T
1
+
T
2
+…+
T
n
）
=
a
n
+4
b
n
，求正整数
n<
/p>
的值．
【解析】
（
1
）设等比数列
{
b
n
}
的公比为
q
，由
b
1
=1
，
b
3
< br>=
b
2
+2
，可得
q
q
2
0
．
因为
q
0
，可得
q
2
，故
b
n<
/p>
2
n
1
2
1
2
n
2
n
1
．
．所以，
T
n
< br>
1
2
设等差数列
{
a
n
< br>}
的公差为
d
．由
b
4
a
< br>3
a
5
，可得
a
1
3
d
4
．
由
b
5
a<
/p>
4
2
a
6
，可得
3
a
1
13
d
16,
从
而
a
1
1,
d
1
，故
a
n
n
< br>，所以，
S
n
1
n
(
n
1)
．
2
3
n
2
(1
2
n<
/p>
)
n
2
n
1
n
2.
（
2
）由（
1
）
，有
T
1
T
2
L
T
n
(2
2
L
2
)
n
=
1
2
由
S
n
(
< br>T
1
T
2
L
T
n
)
a
n
4
b
n
可得
2
n
(
n
1)
2
n
< br>1
n
2
n
2
n
1
，
2
整理得
n
3
n
4
0,
解得
n
1
（舍）
，或
n
4
．所以
n
的值为
4
．
n
(
n
1)
n
，
T
n
< br>
2
1
；
（
2
）
4
.
2
5
2<
/p>
*
8.
【
201
9
优选题】
已知数列
a
n
满足
< br>a
1
，
若对于任意
n
N
< br>,
n
2
，
二次方程
a
n
1
x
a
n
x
1<
/p>
0
都
6
【答案】
（
1
）
S
n
有根
,
，且满足
3
3
1
。
（
1
）求证：
a
n
< br>1
（
2
）求数列
a
n
的通项公式；
（
3
）求数列
a
n
的前
n
项和
S
n
。
是等比数列；
2
【分析】本题考查等差数列等比数列的通项公式、前
n
< br>项和公式、数列求和等基础知识，考查运算能力和
推理论证能力
< br>.
第一问，利用根与系数关系，得到两根之和、两根之积，代入到
3
< br>
3
1
中，得到
a
n
和
a
n
1
的关系式，再用配凑法，凑出一个新的等比数列；第二问，利用第一问的结论，先求出
新数列
5
1
a
n
的通项
公式，再求
a
n
；第三问，用分组求和
的方法，分别是等比数列和等差数列，直接用前
n
项
2
和公式求和即可<
/p>
.
【解析】（
1
）由题意可知
a
n
1
x
a
n
x
1
0
都有根
,
，且满足
3
3
1
.<
/p>
2
a
n
a
n
1
3
a
1
1
1
1
，可
得
3
a
n
<
/p>
1
a
n
1
，得到
3
a
n
a
n
1
.
而
所以有
，整理得
n
a
n
< br>
1
a
n
1
2
2
<
/p>
1
a
n
1
a
1
1
1
1
1
1
，所以数列
a
n
是以
为首项，
为公比的等比数列
.
2
2
3
3
3
n
n
1
1
1
< br>1
（
2
）由（
< br>1
）可得
a
n
< br>
，所以有
a
n
n
N
<
/p>
.
2
3
3
2
2
3
n
2
3
n
< br>1
n
1
1
1
1
1
1
1
1
1
< br>1
1
（
3
）
S
n
L
< br>
L
3
< br>
3
2
3
2
3
2
3
2
3
3
< br>3
2
1
1
1
n
3
3
1
1
3
n
1
1
1
n
n
n
1
1
=
< br>
.
n
2
2
2
3<
/p>
2
2
2
3
9.
在递增的等
比数列
{
a
n
}
中，
a
2
＝
6
，且
4
（<
/p>
a
3
﹣
a
2
）＝
a
4
﹣
6
．
（
1
）求
{
a
n
}
的通项公式；
（
2
）若
b
n
＝
a
n
+2
n
﹣
< br>1
，求数列
{
b
n
}
的前
n
< br>项和
S
n
．
【分析】
（
1
< br>）利用已知条件求出公比与首项，然后求解通项公式．
（
2
）利用递推关系式，结合拆项法求解数列的和即可．
【解析】
（
1
）设公比为
q
，由
4
（
a
3
﹣<
/p>
a
2
）＝
a
4
﹣
6
，得
4
（
6
q
﹣
6
）＝
6
q
2
﹣
6
< br>，化简得
q
2
﹣
4
q
+3
＝
< br>0
，
解得
q
＝
3
或
q
＝
1
，因为等比数列
{
a
n
}
是递增的，所以
q
＝
3
，
a
1
＝
2
，
所以
< br>a
n
2
3
n
1
n
N
.
2
3
n
1
< br>2
n
1
，
（
2
）
由（
1
）得
b
n
所以
S
n
2
6
18
2
3
n
1
1
3
5
2
n
<
/p>
1
，
2
1
3
n
n
1
2
n
1
n
2
则
S<
/p>
n
，所以
S<
/p>
n
3
n
1
．
1
3
2
6