2021版江苏高考数学复习讲义：数列求和含答案
朱鲔-
教学资料范本
2021
版江苏高考数学复习讲义：数列求和含答案
编
辑：
__
________________
时
间：
__
________________
1 / 31
[
最新考纲
]
1.
掌握等差、等比数列的前
n
项和公式
.2.
掌握特殊的非等差、
等比数列的几种常见的求和方法．
1
．
公式法
(1)
等差数列的前
n
项和公式：
S
n
＝
错误
!
＝
na
1
＋
错误
!
d
；
< br>(2)
等比数列的前
n
项和公式
：
S
n
＝<
/p>
错误
!
2
．
几种数列求和的常用方法
2 / 31
< br>(1)
分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数
列组成的、则求和时可用分组求和法、分别求和而后相加减．
(2)
裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、
< br>在求和时中间的一些项可以相互抵消
(
注意消项规律
)
、
从而求得前
n
项和．裂项时常用的三种变形：
①<
/p>
错误
!
＝
错误<
/p>
!
－
错误
!
；
②
错误
!
＝
错误
!
错误
!
；
③
1
n
＋
n
＋
1
＝
n
＋
1
－
n
.
(3)
错位相减法：如果一个数
列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的
对应项之积构成的、那么求这个数列的前<
/p>
n
项和即可用错位相减法求解．
(4)
倒序相加法：如果一个数列
{
a
n
}
与首末两端等“
距离”的两项的和相等
或等于同一个常数、那么求这个数列的前
n
项和即可用倒序相加法求解．
(5
)
并项求和法：一个数列的前
n
项和中
、可两两结合求解、
则称之为并项求和．形如
a
n
＝
(
－
1)
n
f
(
n
)
类型、可采用两项合并求解．
例如、
S
n
＝
100
2
－
9
9
2
＋
98
2
－
97
2
＋…
＋
2
2
－
1<
/p>
2
＝
(100
＋
99)
＋
(
98
＋
97)
＋…＋
< br>(2
＋
1)
＝
< br>5 050.
一、思考辨析
(
正确的打“√”、错误的打“×”
)
(1)
已知等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
、则有
1
1
1
1
.
＝
－
anan
＋
1
d
an
an
＋
1
(
)
3 / 31
1
< br>
1
1
1
－
.
＝
n2
－
1
2
n
－
1
n
＋
1
(2)
当
n
≥
2
时、
(
)
(3)
求
S
n
＝
a<
/p>
＋
2
a
2
＋
3
a
3
＋…＋
na
n
之和时只要
把上式等号两边同时乘以
a
即可
根据错
位相减法求得．
＋…＋
sin
2
88°
＋
sin<
/p>
2
89°
＝
44
.5.
[
答案
]
(1)
√
(2)
√
(3)
×
(4)
√
二、教材改编
1
．数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
< br>S
n
、若
a
n
＝
错误
!
、则
S
5
等于
(
)
A
．
1
1
C.
6
5
B.
6
1
D.
30
(
)
(4)
利用倒序相加法可求得
sin
2
1°
＋
si
n
2
2°
＋
s
in
2
3°
(
)
B
[
∵
a
n
＝
错误
!
＝
错误
!
－
错误
!
、
1
1
1
1
5
∴
S
5
＝
a
1
＋
a
2
＋
…<
/p>
＋
a
5
＝
1
－
＋
－
＋
…
－
＝
.]
2
2
3
6
6
2
．若数列
{
a
n
}
< br>的通项公式为
a
n
＝
2
n
＋
2
n
－
1
、则数列
{
a
n
}
< br>的前
n
项和为
(
)
A
．<
/p>
2
n
＋
n
2
－
1
C
．
2
n
＋
1
＋
n
2
－
2
C
[
S
n
＝
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
…
＋
a
n<
/p>
＝
(2
1
＋
2
×
1
－
1)
＋
(2
2
＋
2
×
2
－
1)
＋
(2
3
＋
2
< br>×
3
－
1)
＋
…
＋
(2
n
＋
2
n
－
1)
＝
(2
＋
2
2
＋
…
＋
2
n
)
＋
2(1
＋
2
＋
3
＋
…
＋
n
)
－
< br>n
＝
错误
!
＋
2
×
错误
!
－
n
＝
2(2
n
－
1
)
＋
n
2
＋<
/p>
n
－
n
＝
2
n
＋
1
＋
n
2
－
2.]
1
1
3
n
3
．
S
< br>n
＝
＋
＋
＋…＋
等于
(
)
2
2
8<
/p>
2n
2n
－
n<
/p>
－
1
A.
2n
2n
－
n
＋
1
C.
2n
2n
＋
1
－
n
－
2
B.
2n
2n<
/p>
＋
1
－
n
＋
2
D.
2n
B
．
2
n
＋
1
＋
n
2
－
1
< br>D
．
2
n
＋
n
－
2
1
2
3
n
B<
/p>
[
由
S
n
＝
＋
＋
＋
…
＋
、
①
2
22
< br>23
2n
1
1
< br>2
n
－
1
n
得
S
n
＝
＋
＋
…
＋
＋
、
②
2
22
23
2n
2n
＋
1
4 / 31
1
< br>1
1
1
1
n
①
－
②
得
、
S
n
＝
＋<
/p>
＋
＋
…
＋
－
、
2
2
22
23
2n
2n
＋
1
2n
＋
1
－
n
－
2
∴
< br>S
n
＝
.]
< br>2n
4
．数列
{
a
n
}
的前
< br>n
项和为
S
n
< br>、已知
S
n
＝
< br>1
－
2
＋
3
－
4
＋…＋
(
－
1)
n
－
1
·
n
、<
/p>
则
S
17
＝
.
9
[
S
17
＝
< br>1
－
2
＋
3
－
4
＋
5
－
6
＋
…
＋
15
－
16
＋
17
＝
1
＋
(
－
2
＋
3)
＋
(
－
4
＋
5)
＋
(
－
6
＋
7)
＋
…
＋
(
－
14
＋
15)
＋
(
－
16
＋
17)
＝
1
＋
1
＋
1
＋
…
＋
1
＝
9.]
考点
1
分组转化法求和
5 / 31
分组转化法求和的常见类型
(1)<
/p>
若
a
n
＝
b
n
±
c
n
、且
{
b
n
}
、
< br>{
c
n
}
为等差或等比数列、则可采用分组求和法求
{
a
n
}
的前
n
项和．
bn
，
n
为奇数，
(2)
通项公式为
a
n
＝<
/p>
cn
，
n
为偶数
的数列
、其中数列
{
b
n
}
、
{
c
n
}
是等比
数列或等差数列、可采用分
组求和法求和．
提醒：
注意在含有字
母的数列中对字母的分类讨论．
n
2
＋
n
已知数列
{
a
n
}
的
前
n
项和
S
n
＝
2
、
n
∈
N
*
.
(1)
求数列
{
a<
/p>
n
}
的通项公式；
(2)
设
b
n
＝
2
a
n
＋
(
－
1)<
/p>
n
a
n
、求数列
{
b
n
}
的前
2
n
项和．<
/p>
[
解
]
(1)
当
n
≥
2
时、
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
< br>
6 / 31
n2
＋
n
－
错误
!
＝
n
.
2
＝
< br>当
n
＝
1
时、
a
1
＝
S
1
＝
1
满足
a
n
＝
n
、
故数列
{
a
n
}
的通项公式
为
a
n
＝
n<
/p>
.
(2)
由<
/p>
(1)
知
a
n<
/p>
＝
n
、故
b
n
＝
2
n
＋
(
－
1)
n
n
.
记数列
{
b
n
}
的前
2
n
< br>项和为
T
2
n
< br>、则
T
2
n
＝
(2
1
＋
2
2
＋
…
＋
2
2
n
)
＋
(
－
1
＋
2
－
3
＋
4
－
< br>…
＋
2
n
)
．
记
A
＝
2
1
＋
2
2
＋
…
＋
2
2
n
、
B
＝－
1
＋
2
－
3
＋
4
－
…
＋
2
n
、
<
/p>
则
A
＝
错误
!
＝
2
2
n
＋
1
－
2
、
B
< br>＝
(
－
1
＋
2)
＋
(
－
3
＋
4)
＋
…
＋
[
－
(2
n
－
1)
＋
2
n
]
＝
n
.
故数列
{
b
n
}
的前
2
n
项和
T
2
n
< br>＝
A
＋
B
＝
2
2
n
＋
1
＋
n
－
2.
[
母题探究
]
在本例
(2)
中、若条件不变求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n<
/p>
.
[
解
]
由本例
(1)
知
b
n
＝
2
n
＋
(
－
1)
n
n
.
当
n
为偶数时、
T
n
＝
(2
1
＋
2
2
＋
…
＋
2
< br>n
)
＋
[
－
1
＋
2
－
3
＋
4
－
…
－
(
n
－
1)
＋
n
]
＝
＋
1
2
－
2n
＋
< br>1
n
＋
＝
2
n
1
－
2
2
n
＋
－
2
；
2
当
n
为奇数时、
T
n
＝
(2
1
＋
2<
/p>
2
＋…＋
2
n<
/p>
)
＋
[
－
1
＋
2
－
3
＋
4
－…－
(
n
－
2)
＋
(
n
－
< br>1)
－
n
]
< br>n
－
1
n
5
＝
2
n
＋
1
－
2
＋
－
n
＝
2
n
＋
1
－
－
.
2
2
2
n
2n
＋
1
＋
2
－
2
，
n
为偶数，
所以
T
n
＝
n
5
2n
＋
1
－<
/p>
－
，
n
为奇数<
/p>
.
2
2
7 / 31
< br>常用并项求和法解答形如
(
－
1
)
n
a
n
的数
列求和问题、注意当
n
奇偶性不定时、要对
n
分奇数和偶数两种情况
分别求解．对
n
为奇数、偶数讨论数列求和时、一般先求
n
为偶数时前
n
项和
T
n
.
n
为奇数可用<
/p>
T
n
＝
T
n
－
1
＋
b
n
(
n
≥
2)
或
T
< br>n
＝
T
n
＋
1
－
b
n
＋
1
最好．
已知等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
、
且
a
1
＝
1
、
S
3
＋
S
4
＝
S
5
.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(
2)
令
b
n
＝
(
－
1)
n<
/p>
－
1
a
n
、求数列
{
b
n
}
的前
2
n
项和
T
2
n
.
[
解
]
(1)
设等差数列
{
a<
/p>
n
}
的公差为
d
、
由
S
3
＋
S
4
＝
S
5
可得
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＝
a
5
、即
3
a
2
＝
a
5
、
∴
3(1
＋
d
)
＝
1
＋
4
d
、解得
d
＝
2.
∴
a
n
＝
1
＋
(
n
－
1)
< br>×
2
＝
2
n
－
1.
(2)
由
(1)
可得
< br>b
n
＝
(
－
1)
n
－
1
·
(2
n
－
1)
．
8 / 31
∴
< br>T
2
n
＝
1
－
3
＋
5
－
7
＋
…
＋
(2
n
－
3)
－
(2
n
－
1)
＝
(
－
2)
×
n
＝－
2
n
.
考点
2
裂项相消法求和
< br>形如
a
n
＝
错误
!
(
k
为非零常数
)
型
a
n
＝
错误
!
＝
错误
!
错误
!
.
提醒：
求和抵消后并不一定只剩下第一项和
最后一项、也有可能前面剩两
项、后面也剩两项．
9 / 31
(20xx·
厦门一
b2
b3
模
)
已知数列
{
a
n
}
是公差为
2
的等差数列<
/p>
、
数列
{
b
n
}
满足
b
1
＝
6
、
b
1
＋
2
＋
3
bn
＋
< br>…
＋
n
＝
a
n
＋
1
.
(1)
求
{
a
n
}
、
{
b
n
}
的通项公式
；
1<
/p>
的前
n
项和．
(2)
求数列
a
nbn
[
解
]
(1)
数列
{
a
n
}
是公差为
2
的等差数列、
b2
b3
bn
数列
{
b
n
}
满足
b
1
＝
6
、
b
1
＋
＋
＋
…
＋
＝
a
n<
/p>
＋
1
.
2
3
n
所以当
n
＝
1
时、
a
2
＝
b
1
＝
6
、
< br>
故
a
n
＝
6
＋
2(
n
－
2)
＝
2
n
＋
2
、
b2
b3
bn<
/p>
由于
b
1
＋
＋
＋
…
＋
＝
a
n
＋
1
、
①
< br>2
3
n
b2
b3
bn
－
1
当
n
≥
2
时、
b
1
＋
＋
＋
…
＋
＝
a
n
、
②
2
3
n
－
1
①
－
< br>②
得：
bn
＝
< br>a
n
＋
1
－
a
n
＝
2
、
n
所以<
/p>
b
n
＝
2
n
.
所以
b
n
＝
错误
!
.
1
1
1
(2)
当
n
＝
1
时、
< br>S
1
＝
＝
＝
.
a1b1
4×6
24
10 / 31
1
＝
错误<
/p>
!
＝
错误
!
错误
!
、
anbn
当
n
≥
2
时、
1
1
1
1
1
1
1
1
、
则
S
n
＝
＋
－
＋
－
＋…
＋
－
n
n
＋<
/p>
1
24
4
2
3
3
4
1
1
1
1
－
< br>
、
＝
＋
24
4
2
n
＋
1<
/p>
＝
错误
!
、
当
n
＝
1
时满足上式、故
S
n
＝
错误
!<
/p>
.
本例第<
/p>
(1)
问在求
{
b
n
}
的通项公
式时灵活运用了数列前
n
项和与项的关系、注意通项公式是否
包含
n
＝
1
的
情
1
1
况；第
(2)
问在求解中运用了裂项法、即若
{
a
n
}
是等差数列、则
anan
＋
1
＝
d
1
1
－
an
an
＋
1
.
[
教师备选例题
]
< br>1
2
n
3
(20xx·
唐山五校联考
)
已知数
列
{
a
n
}<
/p>
满足：
＋
＋…＋
＝
(3
2
n
－
1)
、
a1
a
2
an
8
n
∈
N
*
.
(1
)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
< br>(2)
设
b
n
< br>＝
log
3
[
< br>解
]
an
1
1
1
、求
＋
＋…＋
.
n
b1b2
b2b3
bnbn
＋
1
1
3
2
＝
(3
－
1)
＝
3
、
a1
8
当
n
≥
2
时、因为
11 / 31
2
n
1
2
n
－
1
n
1<
/p>
＝
＋
＋…＋
－
＋
＋…＋
an
a1
a2
an
－
1
an
a1
a2
3
3
＝
(3
2
n
－
1)
－
(3
2
n
－
2
－
1)
8
8
＝
< br>3
2
n
－
1
、
当
n
＝
1
时、<
/p>
n
＝
3
2
n
－
1
也成立、
an
n
所以
a
n
＝
.
32n
－
1
(2)<
/p>
b
n
＝
log<
/p>
3
因为
所以
an
＝－
(2
n
－
1)
、
n<
/p>
1
＝
错误
!
＝
错误
!
错误
!
、
bnbn<
/p>
＋
1
1
1
1
＋
＋…＋
b1b2
b2b3
bnbn
< br>＋
1
1
1
1
1
1
1
1
n
1
－
＝
1
－
< br>
＝
＝
1
－
＋
－
＋…＋
.
3
<
/p>
3
5
2n
＋
1
2n
＋
1
2
2n
－
1
2n
＋
1
2
(20xx·
全国卷
n
1
Ⅱ
)
等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
、
a
3
＝
3
、
S
4
＝
< br>10
、
则
∑
Sk
＝
. <
/p>
k
＝
1
2n
[
设等差数列
{
a
n
}
的首项
为
a
1
、公差为
d
、
n
＋
1
a1
＋<
/p>
2d
＝
3
，
依题意有
4a
1
＋
6d
＝
1
0
，
a1
＝
1
，
解得<
/p>
d
＝
1
，
12 /
31
所以
S
n
＝
错
误
!
、
错误
!
＝
错误
!
＝<
/p>
2
错误
!
、
1
1
1
1
1
2n
n
1
＝
2
1
－
＋
－
＋…＋
－
＝
因此
k＝1
∑
.]
2
< br>2
3
n
n
＋
1
n
＋
1
Sk
1<
/p>
形如
n
＋
k
＋
n
(
k
为非零常数
)
型
1
1
a
n
＝
n
＋
k
＋
n
< br>＝
k
(
n
＋
k
－
n
)
．
13
/ 31
已知函数
f
(
x
)
< br>＝
x
a
的图象过点
(4,2)
、
令
a
n
＝
错误
!
、
n
∈
N
*
、
记数列
{
a
n
}
的前
< br>n
项和为
S
n
< br>、
则
S
2
019
＝
(
)
A.
2
018
－
1
C.
2
020
－
1
B.
2
019
－
1
D.
2
020
＋
1
1
C
[
由
f
(4)
＝
2
得
4
a
＝
2
、解得
a
＝
、则
f
(
x
)
＝
x
.
2
∴
a
n
＝
错误
!
＝
错误
!
＝
错误
!
－
错
误
!
、
S
2 019
＝
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
…
＋
a
2 019
＝
(
2
－
1
)
＋
(
3
－
2
)
＋
(
4
－
< br>3
)
＋
…
＋
(
2
020
－
2
019
)
＝
2
020
－
1.]
14 / 31
运用分母有理化对分式
1
n
＋
1
＋
n
正确变
形并发现其前后项之间的抵消关系是求解本题的关键．
1
1
求和<
/p>
S
＝
1
＋
3
＋
3
＋
5
1
＋
…
＋
119
＋
121
＝
(
)
A
．
5
C
．
10
A
[
S
＝
B
．
4
D
．
9
1<
/p>
－
3
3
－
5
119
－
121<
/p>
1
－
11
＋
＋
…
＋
＝
＝
5
、故选
A.] <
/p>
1
－
3
3
－
5
119
－
121
－
2
15 / 31