等比数列高三一轮复习教案
绿野心踪-
3.3
等比数列
【考点及要求】
等比数列的定义、等比数列的通项公式、求和公式和等比中项
.
理解等比数列的概念
,
掌握等比数列的通项公式与前
n
项和公式
,
并能解决简单的实际
问题
.
等比数列的定义、通项公式、前
n
项和公式是解决等比数列的有关计算、论证
,
等比
数列的有关性质的基础和出发点
,
这类问题往往解法灵活、多变
,
是高考
试题的生长点
,
选
择题、填空题和解答
题都可能出现
.
【要点回放】
等比数列
1.
定义
：
a
n
1
q
（常
数
q
为公比）
(
n
N
)
（
注意隐含条件
:
a
n
0,
q
0
）
a
n
2.
通项公式
：
a
n
a<
/p>
1
q
n
1
推广
:
a
n
a
m
q
n
m
3.
等比中项：
如果在
a
与<
/p>
b
间插入一个数
G
，
使
a
,
G
,
b
成等比数列，
那么
G
叫做
a
与
b
的
等比中项，
G
ab
< br>.
(
ab
0
)
.
(
q
1)
na
1
4.
前
n
项和公式：
S
n
a
1
(1
q
n
)
（
易错点
:
不分类讨论
）
(
q
1,
且
q
<
/p>
0)
1
q
注意
:
应用前
n
项和公式
时
,
一定要区分
q
1
与
q
1
的两种不同情况
,
必要的时候要分类讨论
.
5.
等比数列
a
n
的一些常用性质
(1)
对于任意正整数
p
,
q
,
r
,
s<
/p>
，
如果
p
q
r
s
，
则有
a
p
a
q
a
r
a
s
；
如果
p
r
2
q
，
则有
a<
/p>
p
a
r
a
q
(2)
对于任意正整数
n
1
,
有
a<
/p>
n
a
n
1
a
n
1
(3)
对于任意非零实数
b
，
数列
ba
n
是等比数列，则数列
a
n
是等比数列
(4)
已知数列
b
n
是等比数列，则
< br>
a
n
b
n
也是等比数列。
⑸下标成等差数列的项构成等比数列
⑹连续若干项的和也构成等比数列
.
6
．证明数列为等比数列的方法
: <
/p>
2
2
(1)
定义
法
:
若
a
n<
/p>
1
q
(
n
N
)
数列
a
n
< br>为等比数列
a
n
2
(2)
等比中项法
:
若
a
n
a
a
(
n
N
< br>且
a
n
a
n
1
a
n
2
0
)
数列
a
n
为等比数列<
/p>
1
n
n
2
(3)
通项法
:
若
a
n
cq
n
(
c
,
q
均是不为
0
的常数
，n
N
)
数列
a
n
为等比数列
(4)
前
n
项和法
:
若
S
n
Aq
n<
/p>
A
(
A
,
q
为常数
，
且
q
0
,
q
1
)
数列
< br>a
n
为等比数列
7
．解决等比数列有关问题的常见思维方法
(1)
方程的思想
(
“
知三求二
”
问题
)
(2)
分类的思想
< br>①运用等比数列的求和公式时
,
需要对
< br>q
1
和
q
1
讨论
②
a
1
0
,
q
1
或
a
1
0
,
0
< br>
q
1
a
n
为
递增数列
时
,
等比数列
(
a
n
1
a
n
a
1
q
< br>n
1
(
q
1
)
)
a
n
为递减数列
a
1
0
,
q
1
或
a
1
0
,
0
q
< br>1
时
,
等比数列
【基础训练】
1.
（
江苏卷）
在各项都为正数的等比数列
｛
a
n
｝
中，
首项
a
1
=3
，
前三项和为
21
，
则
a
3
+
a
4
+
a
5
=
（
C
）
( A )
33
( B ) 72
( C
)
84
( D
)189
n
3
2.
已知等比数列
{
a
n
}
中，
< br>a
3
3
，
a
10
384
，则该数列的通项公式
a
n
3
2
3.
命题甲
:
(<
/p>
)
x
,2
1
x
,2
x
成等比数列，命题乙
:
lg
< br>x
,lg(
x
1),lg(
x
3)
成等差数列，则甲是乙
的
必要不充分
条件。
< br>（填“充分不必要”
、
“必要不充分”
< br>、
“充要”或“既不充分也不
必要”
）
4.
（
04
年上海卷
.
文理
12
）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的
“
基本量
”.
设
{a
n
}
是公比为
q
的无穷等比数列
,
下列
{a
n
}
的四组量中<
/p>
,
一定能成为该数列
“
< br>基本量
”
的是
第
①④
组
.(
写出
所有符合要求的组号
)
①
S
1
与
S
2
;
②
a
2
与
S
3
;
③
a
1
与
a
n
;
④
q
与
a
n
.
其中
n<
/p>
为大于
1
的整数
, S
n
为
{a
n
}
的前
n
项和
.
5.
(05
重庆卷
)
有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，
上层正方体下底面的四个
顶点是下层正方体上底面各边的中点。
已知最底层
正方体的棱长
为
2
，
且该塔形的表面积
(
含最底层正方体的底面面积
)
超过
39
，
则该塔形中正方体的个
数至少是
(
C
)
(A)
4
；
(B)
5
；
(C)
6
；
(D)
7.
6.
设数列
{
a
< br>n
}
的前
n
项和为
S
n
（
n
N*
）
，
关于数列
a
n
有下列三个命题：
（
1
）若
{
a
n
}
既是等差数列又是
等比数列，则
a
n
< br>a
n
1
1
2
2
(
n
N*)
；
（
2
）若
S<
/p>
n
an
2
bn
a
、
b
R
，则
{
a
n
}
是等差数列；
（
3
）若
S
n
1
1
< br>，则
{
a
n
}
是等比数列
.
这些命题中，真命题的序号是
⑴⑵⑶
.
n
【例题讲练】
题型Ⅰ
等比数列中基本量的计算
例
1:
数列
a
n
为等比数列
,
求下列各值
,
(1)
已知
a
3
a
6
36
a
4
a
7<
/p>
18
a
n
1
,
求
n
.
2
(2)
已知
a
2
a
8
36
a
3
<
/p>
a
7
15
,
求公比
q
.
(3)
已知
q
2
,
S
8
15
(
1
2
),
求
a
1
.
思维分析
:
运用等比数列的基本公式和基本性质
”
知三求二<
/p>
”
问题
解
(1)
a
4
a
7
a
3
q
a
6
q
q
< br>(
a
3
a
6
)
1
8
,
a
3
<
/p>
a
6
36
,
q
1
2
1
1
a
3
< br>
a
6
a
3
a
3
q
3
a
3
(
1
q
3
)
36
,
a
3
32
< br>a
n
a
3
q
n
3
32
(
)<
/p>
n
3
2
8
n
n
9
2
2
(2)
a
3
a
7
< br>
a
2
a
8
36
a
3
a
7
<
/p>
15
,
a
3
,
a
7
是方程
x
2
15
x
36
0
两根
,
a
3
3
,
a
7
12
或
a
3
12
,
a
7
3<
/p>
,
q
4
4
或
q
4
(3)
S
8
1
2
q
2
或
q
4
2
a<
/p>
1
[
1
(
2
)
8
]
1
2
a
1
(
15
)
1
2
1
5
(
1
2<
/p>
)
a
1
(
1
2
)
(
1
2
)
1
变式
1.
设一个等比数列的首项为
a(
a>0),
公比为
q(q>0),
其前
n
项和为
80,
而其中最大的一项为
54,
又其前
2
n
项和是
6560,
求
a
和
q.
思维分析
:
运算等比数列的求和公式及整体代换思想和分类讨论思想
,
解
:
若
q=1,
则
na=80,
∴<
/p>
2na=160
矛盾
,
< br>
q
1
a
1
(
1
q
n
)
80
(
1
)
(
2
)
1
q
n
n
1
于是
得
q
81
又
q
0
,<
/p>
q
1
a
a
q
54
(
3
)
n
< br>1
2
n
a
1
(
1
q
)
656
0
(
2
)
(<
/p>
1
)
1
q
q
n
81
代入
(
1
)(
3
)
得
a
< br>
1
及
a
81
54
q
a
2
,
q
3
1
q
变式
2.
设等比数列
a
n
的前
n<
/p>
项和为
S
n
,<
/p>
若
S
3
+S
6
=2S
9
,
求数列的公比
q.
3
答案
:
q
4
2
变
式
3.
已知等比数列
{
a
n
}
中，
< br>a
1
+
a
2
+
a
3
=
7
，
a
1
a<
/p>
2
a
3
=8
，求
a
n
.
剖析：利用等比数列的基本量
a
1
，
q
，根据条件求出
a
1
和
q
. <
/p>
解：设
{
a
n<
/p>
}
的公比为
q
，
由题意知
2
a
1
a
1
q
a
1
q
7
,
2
a
1
< br>
a
1
q
a
1
q
8
,
a
4
,
a
1
1
,
1
n
< br>－
1
3
－
n
解得
或
1
∴
a
n<
/p>
=2
或
a
n
=2
.
q
.
q
2
2
评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法
.
例
2.
已知
等比数列
a
n
的公比为
q
,
前
n
项和为
S
n
,
且
S
3
,
S
9
,<
/p>
S
6
成等差数列
.
⑴
求
q
3
的值；
⑵
求证
:<
/p>
a
2
,
a
8
,
a
5
成等差数列
.
（答案
:
q
3
=
题型Ⅱ
等比数列的判定和证明
例
1.
（<
/p>
04
全国）
数列
{
a
n
}
的前
n
项和记为
S
n
，
已知
a
1
1
,
a
n
1
证明：
（Ⅰ）数列
{
1
）
2
n
2
S
n
(
n
1
,
2
,
3
< br>
).
n
S
n
}
是等比数列；
（Ⅱ）
S
n
1
< br>
4
a
n
.
n
n
2
S
n
,
n
证明：
（Ⅰ）∵
a
n
<
/p>
1
S
n
1
S
n
,
a
n
1
∴
(
n
2
)
S
n
<
/p>
n
(
S
n
1
S
n
),
整理得
nS
n
1<
/p>
2
(
n
1
)
S
n
,
所以
S<
/p>
n
1
S
S
2
n
.
故
{
n
}
是以
2
为公比
的等比数列
.
n
1
n
n
S
n
1
S<
/p>
S
4
n
1
(
n
2
).
于是
S
n
1
4
(
n
1
)
n
1
< br>
4
a
n
(
n
2
)
.
n
1<
/p>
n
1
n
1
（Ⅱ）
由
（Ⅰ）
知
又
a
2
3
S
1
3
,
故
S
2
a
1
a
2
4
,
因此对于任意正整数
n
1
,
都有
S
n
1
4
a
n
.
评注
:
< br>换元法体会肤浅
,
函数观点应用不当均会造成失误
.
例
2.
已知数列
a
n
,S
n
是它的前
n
项和
,
且
S<
/p>
n
1
4
a
n
2
(
n
N
),
a
1
< br>
1
(1)
设
b
n
a
n
1
2
a
n
(
n
N
)
,
求证
:
数列
b
n
是等比数列
(2)
设
c
n
a
n
2
n
,,
求证
:
数列
c
n
是等差数列
思维分析
:
证明数列是等差数列还是等比数列
.
应紧扣定义式
;
而数列的前
n
项和
S
n
< br>已知可求
a
n
解
:(1)
S
n
1
4
a
n
2,<
/p>
S
n
2
4
a
n
1
2
S
n
2
S
n
1
4
a<
/p>
n
1
4
a
n
即
a
n
2
4
a
n
1
4
a
n
a<
/p>
n
2
2
a
n
1
2
(
a
n
1
2
a
n
),
而
b
n
a
n
1
2
a
n
b
n
1
2
b
< br>n
,
由此可得
b
n
是等比数列
且首项
b
1
a
2
2
a
1
< br>3
,
公比
q
2
,
b
n
3
<
/p>
2
n
1
b
n
a
n
1
a
n
b
n
3
2
n
1
3
(2
)
c
n
n<
/p>
,
c
n
1
c
n
n
1
n
n
1
n
1
4
2<
/p>
2
2
2
2
可知
c
n
是首项
c
1
a
1
1
3
1
3
< br>,
公差
d
的等差数列
,
c
n
n
4
4
2
2
4
变式
1:
数列
a
n
,
b
n
<
/p>
的通项公式分别是
a
n
< br>
2
n
,
b
n
3
n
2
,
它们公
共项由小到大排列的
数列是
c
n
,
①写出
c
n
的前
5
项
②证明
c
n
是等比数列
思
维分析
:
容易证明
< br>c
n
是等比数列
,
由定义式
,
只需找出
c
n
中任意相邻两项关系即可
.
解
(1)
c
n
的前
5
项为
:8
、
3
2
、
128
、
512
、
2048
（
2
）设
a
m
< br>
b
p
c
n
,
c
n
2
3
p
2
,
而
a
m
1
2
< br>
2
2
(
3
p
2
)
3
(
2
p
1
)
1
m
m
< br>a
m
1
不在
b
n
中
,
又
a<
/p>
m
2
4
2
m
4
(
3
p
2
)
3
(
4
p
2<
/p>
)
2
,
a
m
2
在
bn
中
< br>a
m
2
是
c
n
中的项即
c
n
1
项
,
<
/p>
c
n
1
4
c
n
,
故
c
n
是等比数列
变式
2.
已知数列
｛
a
n
｝
为等差数列
，
公差
d
≠
0
，
｛
a
n
｝
的部分项组成下列数列：
a
k
1
，
a
< br>k
2
，
…，
a
k
n
，恰为等比数列，其中
k
1
＝
1
，
k
2
＝
5
，
k
3
< br>＝
17
，求
k
< br>1
＋
k
2
＋
k
3
＋…＋
k
n
.
剖析：运用等差（比）数列
的定义分别求得
a
k
n
，然后列方程求得
k
n
. <
/p>
解：
设
｛
a
n
｝
的首项为
a<
/p>
1
，
∵
a
k
1
、
a
k
2
、
a
k
3
成等比数列，
∴
（
a
1
＋
4
d
）
2
< br>＝
a
1
（
a
1
＋
16
d
）
.
得
a
1
＝
2
d
，
q
＝
a
k
2
a
k
1
＝
3.
∵
a
k
n
＝
< br>a
1
＋（
k
n
－
1
）
d
，又
a
k
n
＝
a
1
·
3
n
1
，
－
∴
k
n
＝
2
·
< br>3
n
1
－
1.
－
∴
k
1
＋
k
2
＋
…＋
k
n
＝
2
（
1
＋
3
＋…＋
3
n
1
）－
n
－
1
3
n
＝
2
×
－
n
＝
3
n
－
n
－
1.
1
3
评述：
运用等差
（比）
数列的定义转化为关于
k
n
的方程是解题的关键，
转化时
要注意：
a
k
n
是等差数列中的第
k
n
项，而又是等
比数列中的第
n
项（双重身份）
.
变式
3.
设各项
均为正数的数列
{
a
n
}
和
{
b
n
}
满足
5
a
n
，
5
b
n
，
5
a
n
1
成等比数列
，
lg
b
n
，
lg
a
n
+1
，
lg
b
n<
/p>
+1
成等差数列，且
a
< br>1
=1
，
b
1
=2
，
a
2
=3
，求通项
a
< br>n
、
b
n
.
剖析：由等比中项、等差中项的性质得
a
n
+1
=
b
< br>n
b
n
1
递推出
a
n
=
b
n
1
b
n
（
n
≥
2
）
.
解：∵
5
a
n
，
5
b
n
，
5
a
n
1
成等比数列，
∴（
5
b
n
）
2
=5
a
n
·
< br>5
a
n
1
，即
2
b
n
=
a
n
+<
/p>
a
n
+1
.
又∵
lg
b
n
，
lg
a<
/p>
n
+1
，
lg<
/p>
b
n
+1
成等差
数列，
∴
2lg
a
n
+1
=lg
< br>b
n
+lg
b
< br>n
+1
，即
a
< br>n
+1
2
=
b
n
·
b
n
+1
.
由②及
a
i
＞
0
，
b
j
＞
0<
/p>
（
i
、
j
∈
N
*
）可得
a
n
+1
=
b
n
b
n
1
< br>.
①
②
③
④
∴
a
n
=
b
n
1
b
n
（
n
≥
2
< br>）
.
将③④代入①可得
2
b
n
=
b
n
1
b
n
+
b
< br>n
b
n
1
（
n
≥
2
）
，
∴
2
b
n
=
b
n
1
+
b
n
< br>
1
（
n
≥
2
）
.
∴数列
{
b
n
}
为等差数列
.
∵
< br>b
1
=2
，
a
2
=3
，
a
2
2
=
b
1
·
b
2
，∴
b
2
=
∴
b
n
=
2
+
（
n
－
1
）
（
9
.
2
9
1
－
2
）
=
（
n
+1
）<
/p>
（
n
=1
也成立
）
.
2
2