2021全国统考数学(理)人教版一轮 31 数列求和
中国青年政治学院研究生院-
课时作业
31
数列求和
[
基础达标
]
1
．
[2020·
辽宁大连二十四中模拟
]
已知数列
{
a
n
}
的各
项都是正数，
n
∈
N
< br>*
.
(1)
若
{
a
n
}
是等差数列，公差为
d
，且
b
n
是
a
n
和
a
n
＋
1
的等比中项，
2
2
*
设
c
n
＝
b
n
＋
1
－
b
n
，
n
∈
N
，求证：数列
{
c
n
< br>}
是等差数列；
3
3
3
2
(2)
若
a
3
1
＋
a
2
＋
a
3
＋…＋
a
n
＝
S
n
，
S
n
为数列
{
a
n
}
的前
n
项和，求数
列
{
a
n
}
的
通项公式．
解析：
(1)
由题意得
b
2
n
＝
a
n
a
n
＋
1
，
< br>
2
2
则
c
n
＝
b
n
＋
1
－
b
n
＝
a
n
＋
1
a
n
＋
2
－
a
< br>n
a
n
＋
1
＝
2
da
n
＋
1
，
<
/p>
因此
c
n
＋
1
－
c
n
＝
2
d
(
a
n
＋
2
< br>－
a
n
＋
1
)
＝
2
d
2
，
∴
{
c
n
}
是等差数列
．
3
(2)
当
n
＝
1
时，
a
1
＝
a
2
1
，
∵
a
1
>0
，
∴
a
1
＝
1.
3
3
3
2
当
n
≥
2
时，
a
1
＋
a
3
2
＋
a
3
＋
…
＋
a
n
＝
S
n
，
①
3
3
3
< br>2
a
3
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
…
＋
a
n
－
1
＝
S
n
－
1
，
②
< br>3
2
①
－
②
得，
a
n
＝
S
2
n
－<
/p>
S
n
－
1
＝
(
S
n
－
S
n
－
1
)(
S
n
< br>＋
S
n
－
1
)
．
∵
a
n
>0
，<
/p>
∴
a
2
n
＝
S
n
＋
S
n
－
1
＝
2
S
n
－
a
n
，
③
2
∵
a<
/p>
1
＝
1
合适上式
，
∴
当
n
≥<
/p>
2
时，
a
n
－
1
＝
2
S
n
－
1
－
a
n
－
< br>1
，
④
2
③
－
④
得
a
2
n
－
a
n
－
1
＝
2(
S
n
－
S
n
－
1
)
－
a
n
＋
a
n
－
1
＝
2
a<
/p>
n
－
a
n
＋
a
n
－
1
＝
a
n
＋
a
n
－
1
，
∵
a
n
＋
a
n<
/p>
－
1
>0
，
∴
a
n
－
a
n
－
1
＝
1
，
< br>∴
数列
{
a
n
}
是首项为
1
< br>，公差为
1
的等差数列，可得
a
n
＝
n
. <
/p>
2
．
[2020·
四川绵阳诊断
]
已知等差数列
{
a
n
}
的公差大于
0
，且
a
4<
/p>
＝
7
，
a
2
，
a
6
－
2
a
1
，
a
14
是等比数列
{
b
n
}
的前三项．
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
记数列
{
b
n
}
的前
n
项和为
< br>S
n
，若
S
n
>39
，求
n
< br>的取值范围．
解析：
(1)<
/p>
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
(
d
>0)
，
由
a
4
＝
7
，得
a
1<
/p>
＋
3
d
＝
7
，
①
又
a
2
，
a
6
－
2
a
1
，
a
14
是等比数列
{
b
< br>n
}
的前三项，
∴
(
a
6
－
2
a
1
)
2
＝
a
2
a
< br>14
，即
(5
d
－
a
1
)
2
＝
(
a
1
＋
d
)(
a
1
＋
13
d<
/p>
)
，化简得
d
＝
2
a
1
，
②
联立
①②
，解得
a
1
＝
1
，
d
＝
2.
∴
a
n
＝
1
＋
2(
n
－
1)
＝
2
n
－
1.
(2)
∵
b
1
＝
a
2
＝
3
，
b
2
＝
a
6
－
2<
/p>
a
1
＝
9
，
b
3
＝
a
14
＝
27
是等比数列
{
b
n
}
的
前三项，
∴
等比数列
{
b<
/p>
n
}
的首项为
3
，公比为
3.
3
1
－
3
n
3
3<
/p>
n
－
1
∴
S
n
＝
＝
2
.
1
－
3
3
< br>3
n
－
1
由
S
n
>
39
，得
2
>39
，化简得
3
n
>27
，解得
n
>3
，
n
∈
N
*
.
a
n
＋
< br>1
3
．
[2020·
河北廊坊省级示范高中联考
]
在数列
{
a
n
}
< br>中，
a
1
＝
1
，
a
n
4
n
＋
1<
/p>
2
n
＋
1
＝
，设
b
n
＝
n
·
a
n
.
n
n
＋
2
(1)
证明：数列
{
b
n
}
是等比数列；
(2)
求
{
a
n
}
的前
n
项积
T
n
.
n
＋
2
b
n
＋
1
n
＋
1
解析：
(1)
因为
b
＝
n
n
＋
1
< br>＝
4
，
b
1
＝
2
a
1
＝
2
，
所以数列
{
b
n<
/p>
}
是首项为
2
，
公比为
4
的等比数列．
n
＋
1
n
< br>n
－
1
(2)
< br>由
(1)
知
b
< br>n
＝
n
·
a
n
＝
2·
4
，则
a
n
＝
·
2
2
n
－
1
.
n
＋
1
1
2
3
n
2
n
2
1
＋
3
＋
5
＋
…
＋
(2
n
－
1
)
从而
T
n
＝
（
2
×
3
×<
/p>
4
×…×
）
·<
/p>
2
＝
.
n
＋
1
n
＋
1
4
．
[2020·<
/p>
山西河津二中月考
]
设数列
{
a
n
}
< br>满足
a
1
＝
1,3
a
2
－
a
1
＝
1
，
2
a
n
－<
/p>
1
＋
a
n
＋
1
且
a
＝
(
n
≥
2
，
n
∈
N
*
)
．
a
n
－
1
a
n
＋
1
n
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式
；
1
(2)
设数列
{
b
n
}
中，
b
1
＝
2
，
4
b
n
＝
a
n
－
1
a
n
(
n
≥
2
< br>，
n
∈
N
*
)
，
{
b
n
}
的前
n<
/p>
项和为
T
n
，证
明：
T
n
<1.
·
a
n
＋
1
a
n
n
·
n
n
＋
2
< br>a
n
＋
1
n
n
＋
2
4
n
＋
1
2
＝
·
＝
·
2
a
n
2
< br>
n
＋
1
n
＋
1
n
n
＋
2
2
a
n
－
1
＋
a
n
< br>＋
1
解析：
(1)
∵
a
＝
(
< br>n
≥
2)
，
n
a
n
－
1
a
n
＋<
/p>
1
2
1
1
∴
a
＝
＋
，
n
a
n
－
1
a
n
＋
1
1
1
3
又
a
1<
/p>
＝
1,3
a
2<
/p>
－
a
1
＝
1
，
∴
a
＝
1
，
a
＝
2
，
1
2
1
1
1
∴
a
－
a<
/p>
＝
2
，
2
1
1
1
∴
a
是首项为
1
，公差为
2
的等差数列，
n
1
1
1
2
∴
a
＝
1
＋
2
(
n
－
< br>1)
＝
2
(
n
＋
1)
，即
a
n
＝
.
n
n
＋
1
1
1
1
(2)
∵
4
b
n
＝
a
n
－
1
a
n
(
n
≥
2)
，
∴
b
n
＝
＝
n
－
(
n
≥
2)
，又
b
1
n
n
＋<
/p>
1
n
＋
1
1
1
1
＝
2
符合上式，
∴
b
n
＝
n
－
(
n
∈
N
*
)
，
n
＋
1
1
1
1
1
1<
/p>
∴
T
n
＝
b
1
＋
b
2
＋
…
＋
b
n
＝（
1
< br>－
2
）＋（
2
< br>－
3
）＋
…
＋（
n
－
）
n
＋
1
1
＝
1
－
<1.
n
＋
1
5
．<
/p>
[2019·
浙江诸暨中学期中
]
设数列
{
a
n
}
满足
a
1
＋
3
a
2
＋
3
2
a
< br>3
＋…
n
＋
3
n
－
1
a
n
＝
3
，<
/p>
n
∈
N
*
.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项
公式；
n
，
n
为奇数，
(2)
< br>设
b
n
＝
1
a
n
，
n
为偶数，
求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
n<
/p>
解析：
(1)
a
1
＋
3
a
2<
/p>
＋
3
2
a
3
＋
…
＋
3
n
－
1
a
n
＝
3
①
，
当
n
≥
2
时，
a
1
＋
3
a
2
＋
3
a
3
＋
…
＋
3
2
n
< br>－
2
n
－
1
a
n
－
1
＝
3
②
，
1
1
①
－
②
，得
3
n
－
1
·
a
n
＝
3
(
n
≥
2)
，即
a
n
＝
3
n
；
1
当
n<
/p>
＝
1
时，
a
1
＝
3
，符合上式
．