高中数学数列_错位相减法求和专题训练含答案
再见了可鲁-
高中数学数列
_
错位相减法求和专题训练含答案
错位相减法求和专题训练
1
．已知数列
a
n
满
足
a
n
2<
/p>
{
(1)
求<
/p>
a
n
的通项公式；
*
(2)
设
b
n
a
n
a
n
1
,
n
N
，求数列
b
n
的前
2
n
项和
S
2
n
；
a
n
2,
n
为奇数
< br>2
a
n
,
n
为偶数
，且
n
N
*
,
a
1
1,
a
2
2
.
(3)
设
c
n
a
2
n
1
a
2
n
< br>
1
，证明：
n
1
1
1
c
1
c<
/p>
2
c
3
1
5
c
n
4
2
2
．设正项数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，且满足
a
3
7
，
a
n
1
6
< br>S
n
9
n
1
，
n
N
*
.
(1)
求数列
a
n
的通项公式；
(2)
若正项等比数列
b
n
满足
b
1
a
1
,
< br>b
3
a
2
，且
c
n
a
n
b<
/p>
n
，数列
c<
/p>
n
的前
n
项和为
T
n
.
①求
T
n
；
②若对任意
n<
/p>
2
，
n
N
*
，
均有
T
n
5
< br>m
6
n
31
n
35
恒成立，
求实数
m
的取值范
2
围
.
3
．
已
< br>知
n
N
*
，
设
S
n
是
单
调
递
减
的
等
比
数
列
a
n
的
前
< br>n
项
和
，
a
1
1
且
2
S
2
a
2
,
S
4
a
4
,
S
3
< br>
a
3
成等差数列．
（
1
）求数列
a
n
的通项公式；
（
2
）记数列
na
n<
/p>
的前
n
项和为
T
n
，求证：对于任意正整数
n
，
4
．递增的等比数列
a
n<
/p>
的前
n
项和为
S
n
，且
S<
/p>
2
6
，
S
4
30
.
（
1
）求数列
a
n
的通项公式；
n
1
（
2
）若
b
n
a
n
log
1
a
n
，数列
b
n
的前
n
项和为
T
n
，求
T
n
n
2
50
成立的正整数
n
的
1
T
n
2
.
2
2
最小值
.
5
．已知数列
a
n
及
f
n
x
a
1<
/p>
x
a
2
x
2
a
n
x
n
，且
f
n
< br>
1
1
?
n
,
n
1,2,3,
n
.
（
1
）求
a
1
，
a
2
，
a
3
的值；
（
2
）求数列
a
n
的通项公式；
高
中数学数列
_
错位相减法求和专题训练含答案
< br>
（
3
）求证
< br>:
1
1
f
n
1
.
3
3
6
．已知数列
a
n
是以
2
为首项的等差数列，且
< br>a
1
,
a
3
,
a
11
成等比数列
.
（Ⅰ）求数列
a
n
的通项公式及前
n
项和
S<
/p>
n
n
N
*
；
（Ⅱ）若
b
n
2
1
a
n
2
3
< br>
，求数列
a
n
b
n
1
的前
n
项之和
T
n
n
N
*
.
7
．在数列
a
n<
/p>
中，
a
1
4
，前
n
项和
S
n
满足
S
n
a
n
1
n
.
（
1
）求证：当
n
2
时，数列
a
n
1
< br>
为等比数列，并求通项公式
a
n
；
na
1
（
2
）令
b
n
n
1
n
•
，求数列
b
n
的前
n
项和为
T
n
.
2
1
3
8
．已知等差数列
a
n
的前
n
项和
S
n
，且
a
2
< br>2,
S
5
15
，数列
b
< br>n
满足
b
1
n
1
,
b
n
<
/p>
1
2
n
1
b
n
．
2
n
（
1
）求数列
a
n
< br>，
b
n
的通项公式；
（
2
）记
T
< br>n
为数列
b
< br>n
的前
n
项和，
f
n
2
S
n
2
<
/p>
T
n
n
2
，试问
f
n
是否存在最大
值，
若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
2
9
．已知数列
a
n
的前
n
项和
S
n
n
2
n
．
（
1
）求数列
a
n<
/p>
的通项公式
a
n
；
（
2
）令<
/p>
b
n
1
n
N
*
，求数列
a
n
的前
n
项和
T
n
．
2
a
n
< br>1
10
．已知单调递增的等比数列
a
n
满足：
a
2
a
4
20
，
a
3
8
（
1
）求数列
a
n
的通项公式；
n
1
（
2
）若
b
n
a
n
log
1
a
n
，数列
b
n
< br>的前
n
项和为
S
n
,
S
< br>n
n
2
50
成立的正整数
n
的
2
最小值
.
高中数学数列
_
错位相减法求和专题训练含答案
参考答案
1
．
解析：
（
1
）
当
n
为奇数时，
a
n
2
a
n
<
/p>
2
，
此时数列
a
2
k
1
（
成等差数列．
d
2
k
N
*
）
当
n
当为偶数时，
a
*
n
2
2
a
n
，此时数列
a
2
k
（
k
N
）
成等比数列
q
2
n
为奇数
a
n
{
n
n
2
2
n
为偶数
（
2
）
< br>b
2
k
1
b
2
k
a
2
k
1
a
2
k
a
2
k
a
2
k
< br>
1
2
k
1
2
k
2
k
2
k
1
4
k
< br>2
k
S
2
n
b
1
b
2
b
3
b
4
< br>b
2
n
1
b
2
n
S
2
3
2
n
4
1
2
< br>2
2
3
2
n
2
n
2
S
2
2
2
2
< br>3
2
n
4
1
n
1
2
n
n
2
n
1
< br>
S
2
2
2
2
n
4<
/p>
2
n
n
2
n
1
(3)
C
n
1
2
n
1
n
C
2
n
1
2
n
< br>1
n
为奇
n
3
n
{
<
/p>
2
n
1
2
n
1
n
为偶
< br>1
C
1
2
n
1
1
2
n
1
n
3
n
为奇
n<
/p>
2
n
1
1
C
1
1
2
n
1
1
2
n
1
n<
/p>
2
n
为偶
n
2
2
．
解
析
：
(1)
a
2
n
1
6S
n
9n
1
，
a
2
n
6S
n
1
9
n
1
1
n
2
a
2
2
n
1
< br>a
n
6a
n
9
n
2
，<
/p>
∴
a
2
2
n
1
a
n
3
且各项为正，∴
a
n
1
a
n
3
n
2
又
a
7
，所以
a
2
3
2<
/p>
4
，再由
a<
/p>
2
6S
1
9
1
得
a
1
1
，所以
a
2
a
1
< br>3
∴
，
高中数学数列
_
错位相减法求和专题训练含答案
∴
a
< br>n
是首项为
1
，公差为
3
的等差数列，∴
a
n
3n
<
/p>
2
n
1
n
1
(2)
b
1
1,
b
3
4
∴
b
< br>n
2
，
c
n
a
n
b
n
3n
2
2
①
T
n
1
2
4
2
∴
T
n<
/p>
1
3
2
1
2
2
0
1
3n
< br>2
2
n
1
，②
2T
n
1
2
1
4
2
2
3n
2
2
n
2
n
1
3n
<
/p>
2
2
n
，
T
n
3n
5
< br>2
n
5
3n
5
2<
/p>
n
m
6n
2
31n
35
n
2,n
N
*
恒成立
3n
<
/p>
5
2n
<
/p>
7
2n
7
2n
7
6n
2
31n
35
∴
m
，即
恒成立
.
m
n
n
n
n
2
3n
5
2
3n
5
2
2
< br>
设
k
n
2
n
7
2n
5
2n
7<
/p>
9
2n
，
k
k
n
1
n
< br>
1
n
2
n
2
n
1
2
n
2
当
n
4
时，
k
n
1
k
n
；
n
5
时，
k
n
1
k
n
∴
k
n
max
k
5
3
3
3
，∴
.
m
5
2
32
< br>32
点睛：
本题主要考查了数列的综合应用问题，
其中解答中涉及到等差数列的通项公式的求解，
数列的乘公比错位相减
法求和，
数列的恒成立的求解等知识点的综合运用，
试题有一定
的综
合性，属于中档试题，解答中准确运算和合理转化恒成立问题是解答的关键
.
3
．解：
（
1
）设数列
a
n
的公比
q
，由
2
S
4
a
4
S
< br>2
a
2
S
3
a
3
，
得
S
4
S
2
S
4
< br>S
3
2
a
4
a
2
a
3
，
1
1
1
即
4
a
4
< br>a
2
，∴
q
．
a
n
是单调递减数列，∴
q
，
∴
a
n
4
2
2
2<
/p>
n
n
，
n
2
1
2
3
4
n
1
n
所以
T
< br>n
2
3
4
n
1
n
，①
2
2
2
2
2
2
2
3
4
n
1
n
2
T
n
1
2<
/p>
3
n
2
n
1
，②
2
2
2
< br>2
2
1
1
n
n
②
-
①
得：
T
n
1
2
n
1
n
，
2
2
2
2
（
2
）由（
1
）知
na
n
1
1
n
n
2
< br>2
T
n
n
2
n
，
1
2
2
1
2
由
T
n
1
< br>
T
n
n
1
a
n
1
n
n
1
，得
T
1
T
2
T
3
n
1
2
T
n
，