数列倒序相加,错位相减,分组求和
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,.
数列倒序相加、错位相减、分组求和
一．选择题（共
2
< br>小题）
1
．
< br>（
2014
秋•葫芦岛期末）
已
知函数
f
（
x
）
=x
a
的图象过点
< br>（
4
，
2
）
，
令
a
n
=
n
∈
N
*
，记数列
{a
n
}
的前
n
项和
为
S
n
，则
S
2015
=
（
）
A
．
﹣
1B
．
﹣
1C
．
﹣
1D
．
﹣
1
，
2
．
（
2014
春•池州校级期末）已知函数
f
（
x
）
=x
2
•
cos
（
x
π）
，若
a
n
=f
（
n
）
+f
（
n+1
）
，
则
a
< br>i
=
（
）
A
．﹣
2015B
．﹣
2014C
．
2014D
．
2015
二．填
空题（共
8
小题）
< br>3
．
（
2015
春•温州校级期中）
设
，
若<
/p>
0
＜
a
＜
1
，
则
（
f
a
）
+f
（
1
﹣
a
< br>）
=
，
=
．
4
．
（
2011
春•启东市校级月考）
S
n
=1
﹣
2+3
﹣
4+5
﹣
6+
…
+
（﹣
1
）
n+1
•
n
，则
S
100
+S
200
+S
3
01
=
．
5
．
（
2010<
/p>
•武进区校级模拟）数列
{a
n
}
满足
n
项和，则
S
21
=
6
．
（
2012
•新课标）数列
{a
n
}
满足
a
n+1
+
（﹣
1
）
n
a
n
< br>=2n
﹣
1
，则
{a
n
}
的前
60
项和
为
．
，
a
1
=1
，
S
n
是
{a
n
}
的前
,.
7
．
（
2015
•张家港市校级模拟）已知数列
{a
n
}
满足
a
1
=1
，
a
n+1
•
a
n
=2
n
（
n
∈
N
*
）
，则
S
2012
=
．
8
．
（
2009
•上海模拟）在数列
{a
n
}
中，
a
1
=0
，
a
2
=2
，且
a
n+2
﹣
a
n
=1+
（﹣
1
）
n
（
n
∈
N
*
）
，
则
s
100
=
．
9
．
（
2012<
/p>
•江苏模拟）设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
+|a
n
|=
．
10
．<
/p>
（
2013
春•温州期中）等比数列
{a
n
}
中，若<
/p>
a
1
=
，
a
4
=
﹣
4
，则
|a
1
|+|a
2
|+
…
+|a
n
|=
．
三．解答题（共
15
小题）
11
．在数列
{a
n
}
中，
a
1
=
﹣
18
，
a
n+1
=a
n
+2
，求：
|a
1
|+|a
2
|+<
/p>
…
+|a
n
|
12
．
（
20
10
•云南模拟）已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
=25n
﹣<
/p>
2n
2
．
（
1
）求证：
{a
n
}
是等差数列．
（
2
）求数列
< br>{|a
n
|}
的前
n
项和
T
n
．
13
．已知在数列
{a
n
}
中，若
a
n
=2n
﹣
3+
，求
S
n
．
，则
|a
1
|+|a
2
|+
…
14
．
（<
/p>
2014
•海淀区校级模拟）求和：
S<
/p>
n
=1+2x+3x
2
< br>+
…
+nx
n
< br>﹣
1
．
15
．求下列各式的值：
（
1
）
（
2
﹣
1
）
+
（
2
2
+2
）
+
（
2
3
﹣
3
）
+
…
+[2
n
+
（﹣
1
）
n
n]
；
（
2
）
1+2x+4x
2
+6x
3
+
…
+2nx
n
．
16
．
（
2010
春•宁波期末）
在坐标平面<
/p>
内有一点列
A
n
（
n=0
，
1
，
2
，
…）
，
其中
A
0<
/p>
（
0
，
0
）
，
A
n
（
x
n
，
n
）
（
n=1
，
2
，
3
，…）
，并且线段
A
n
A
n+1
所在直线的斜率为
2
n
（
n=0
，
1
，
2
，
…）
．
（
1
）求
x
1
，<
/p>
x
2
,. <
/p>
（
2
）求出数列
{x
n
}
的通项公式
< br>x
n
（
3
）设数列
{nx
n
}
的前
n
项和为
S
n
，求
S
n
．
17
< br>．
（
2013
秋•嘉兴期末）已
知等差数列
{a
n
}
< br>的公差大于
0
，
a
3
，
a
5
< br>是方程
x
2
﹣
< br>14x+45=0
的两根．
（
1
）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（
2
）记
，求数列
{b
n
}
的前
n
和
S
n
．
18
．
（
2014
秋•福州期末）已知等比数例
{a
n<
/p>
}
的公比
q
＞<
/p>
1
，
a
1
，
a
2
是方程
x
2
﹣
3x+2=0
的
两根，
（
1
）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（
2
）求数列
{2n
•
a
n
}
的前
n
项和
S
n
．
19
．
（
2011
春•孝感月考）
求和：
S
n
=
（
x+
）
2
+
（
x
2
+
20
．
（
2014
春•龙子湖区校级期中）求数列
{n
×
）
2
+
…
+
（
x
n
+
）
2
．
}
前
n
< br>项和
S
n
．
21
．
（
2011
秋•文水县期中）已知数列
{a
n
}
中，
a
n
=2n
﹣
33
，求数列
{|a
n
|}
的前
n
项和
S
n
．
22
．数列
{a
n
}
中，
a
n
=n
•
2
n
，求
S
n
．
< br>23
．已知数列
{a
n
}
中，
a
n
=
（
2n
﹣
1
）
•
3
< br>n
，求
S
n
．
24
．求数列
1
，
a+a
2
，
a
2
+a
< br>3
+a
4
，
a
3
+a
4
+a
5
+a
6
，…的前
n
项和
S
< br>n
．
25
．已知数列
{a
n
}
中，
，试求数列
{a
n
}
的前
n
项之和<
/p>
S
n
．
,.
数列倒序相加、错位相减、分组求和
参考答案与试题解析
一．选择题（共
2
< br>小题）
1
．
< br>（
2014
秋•葫芦岛期末）
已
知函数
f
（
x
）
=x
a
的图象过点
< br>（
4
，
2
）
，
令
a
n
=
n
∈
N
*
，记数列
{a
n
}
的前
n
项和
为
S
n
，则
S
2015
=
（
）
A
．
﹣
1B
．
﹣
1C
．
﹣
1D
．
﹣
1
，
【解答】
解：函数
f
（
x
）
=x<
/p>
a
的图象过点（
4
，
2
）
，
则：
4
a
=2
，
解得：
a=
，
所以：
f
（
x
）
=
则：
=<
/p>
=
，
，
则：<
/p>
S
n
=a
1
+a
2
+
…
+a
n
=
=
则：
故选：
D
．
2
．
（
2014
春•池州校级期末）已知函数
f
（
x
）
=x
2
•
cos
（
x
π）
，若
a
n
=f
（
n
）
< br>+f
（
n+1
）
，
则
a
i
=
（
）
，
，
,.
A
．﹣
2015B
．﹣
2014C
．
2014D
．
2015
【解答】
解：∵函数
f
（
x
）
=x
2
•
< br>cos
（
x
π）
，若
a
n
=f
（
n
）
+f
< br>（
n+1
）
，
< br>
∴
a
i
=
（
a
1
+
a
3
+a
5
+
…
+a
2013
）
+
（
a
2
+a
4
+a
6
+
…
+a
20
14
）
=
（
3+7+11+
…
+4027
）﹣（
5+9+13+
…
+4029
）
=
< br>﹣
2
×
1007
=
﹣
2014
．
故选：
B
．
二．填空题（共
< br>8
小题）
3
< br>．
（
2015
春•温州校级期中
）设
，若
0
＜
a
＜
1
，则
f
（
a
）
+f<
/p>
（
1
﹣
a
）
=
1
，
=
1007
．
【解答】
解：∵
，
∴当
0
＜
a
＜
1
时，
f
（<
/p>
a
）
+f
（
1
﹣
a
）
=
故
故答案为：
1
，
1007
．
4
．
（
2011
春•启东市校级月考）
S
n
=1
﹣
2+3
﹣
4+5
﹣
6+
…
+
（﹣
1
）
n+1
•
n
，则
S
100
+S
200
+S
3
01
=
1
．
+
=
+
=
=1007
×
1=1007
，
+
=1
，
,.
【解答】
解：
< br>由题意可得，
S
100
=1
﹣
2+3
﹣
4+<
/p>
…
99
﹣
100
=
﹣
50
，
S
200
=1
﹣
2+3
﹣
4+
…
+199
﹣
200=
﹣
100
s
301
=1
﹣
2+3
﹣
4+<
/p>
…
+299
﹣
3
00+301=
﹣
150+301=151
< br>∴
s
100
+s
200
+s
301
=
﹣
50
﹣
100+15
1=1
故答案为：
1
．
5
< br>．
（
2010
•武进区校级模拟
）数列
{a
n
}
满足
n
项和，则
S
< br>21
=
6
【解答】
解：∵
∴
a
1
=a
3
，
a
3
+a
4
=a
4
+a
5
∴
a
< br>1
=a
3
=a
< br>5
=
…
=a
2n
﹣
1
，
即奇数项都相等
∴
a
21
=a
1
=1
∴
S
21
=
（
a
1
+a
2
）
+
< br>（
a
3
+a
4
）
+
…
+
（
a
19
+
a
20
）
+a
21
=10
×
+1
=6
．
答案：
6
．
n
a
=2n
﹣
1
，
6
．
（
2012<
/p>
•新课标）
数列
{a
n
}
满足
a
n+1
+
（﹣
1
）
则
{a
n
}
的前
60
项和为
< br>
1830
．
n
，
a
1
< br>=1
，
S
n
是
{a
n
}
的前
，
a
1
+a
2
=a
2
+a
3
，
【
解答】
解：∵
∴
，
,.
令
b
n+1
=a
4n+1
+a
4n+2
+a
4n+3
+a
4n+4
，
a
4n+1
+a
4n+3
=
（
a
4n+3
+a
4n+2
）﹣（
a
4n+2
﹣
a<
/p>
4n+1
）
=2
，
a
4n+2
+a
4n+4
=
（
< br>a
4n+4
﹣
a
4n+3
）
+
（
a
4n+3
+a
4n+2<
/p>
）
=16n+8
，
则
b
n+1
=a
4n+1
+a
4n+2
+a
4n+3
+a
4n
+4
=a
4n
﹣
3
+a
4n
﹣
2
+a
4n
﹣
1
+a
4n
+16=b
n
+16
∴数列
{b
n
}
是以
16
为公差的等差数列，
{a
n
}
的前
60
项和为即为数列<
/p>
{b
n
}
的前<
/p>
15
项和
∵<
/p>
b
1
=a
1
+a
2
+a
3
+a
4
=10
∴
7
．
（
2015
•张
家港市校级模拟）已知数列
{a
n
}<
/p>
满足
a
1
=1<
/p>
，
a
n+1
•<
/p>
a
n
=2
n
（
n
∈
N
*
）
，则
S
2012
=
3
×
21006
﹣
3
．
【解答】
解：∵数列
{a
n
}
< br>满足
a
1
=1
< br>，
a
n
•
a
n+1
=2
n
，
n
∈
N
*
∴
n=1
时，
a
2
=2
，
∵
a
n<
/p>
•
a
n+1
=2
n
，∴
n
≥<
/p>
2
时，
a
n
•
a
n
﹣
1
=2
n
﹣
1
，
∴
=2
，
=1830
∴数列
{a
n
}
的奇数列、偶数列分别成等比数列，
∴
S
2012
=
+
=3
×
2
1006
﹣
3
．
故答案为：
3
×
2
1006
﹣<
/p>
3
．
8
．
（
2009
•上海模拟）在数列
{a
n
}
中，
a
1
=0
，
a
2
=2
，且
a
n+2
﹣
a
n
=1+
（﹣
1
）
n
（
n
∈
N
*
）
，
则
s
100
=
2550
．
【解答】
解：据已知当
n
为奇数时，
,.
a
n
+2
﹣
a
n
=
0
⇒
a
n
=0
，
当
n
为偶数时，
a
n+2
﹣
a
n
=2
⇒
a
n
=n
，
，
S
100
=0+2+4+6+
…
+100=0+50
×
故答案为：
< br>2550
9
．
（
2012
•江苏模拟）
设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
，则
< br>|a
1
|+|a
2
|+
…
+|a
n
|=
=2550
．
<
/p>
left{begin{array}{l}{{
﹣
n}^{2}+4n
﹣
1
，
1
≤
n
≤
2}{{n}^{2}
﹣
4n+7
，
n
≥
3}end{a
rray}right.
．
【解答
】
解：∵
S
n
=n
2
﹣
4n+1
，
∴
a
n
=
，
∴①
当
n
≤
2
时，
a
n
＜
0
，
∴
S
1
′
=|a
1
|=
﹣
a
1
=2
，
S
2
′
=|a
1
|+|a
2
|=
﹣
a
1
﹣
a
2
=3
；
②当
n
≥
3
，
< br>|a
1
|+|a
2
|+
…
+|a
n
|=
﹣
a
1
﹣
a
2
+a
3
+
…
+a
< br>n
=
﹣
2S
2
+S
n
=n
2
﹣
4n+7
．
< br>
∴
|a
1
|+|a
2
|+
…
+|a
n
|=
．
故答案为：
．
10
．<
/p>
（
2013
春•温州期中）
等比数列
{a
n
}
中，
若
a
1
=
，
a
4
=
﹣
4
，
则
|a
1
|+|a
2
|+
…
+|a
n
|=
2n
﹣
1
﹣
frac{1}{2}
．
【解答】
解：∵
a
1
=
，
a
4
=
﹣<
/p>
4
，
,. <
/p>
﹣
4=
×
q
3
，解得
q=
﹣<
/p>
2
即数列
{a
n
}
是以
为首项，以﹣
2
为公比的等比数列
则数列
{|a
n
|}
是以
为首项，以
2
为公比的等比数列<
/p>
故
|a
1
|+|a
2
|+
…
+|a
n
|=
故答案为：
2
n
﹣
1
﹣
三．解答题（共
15
小题）
=2
n
﹣
1
﹣
11
．在数列
{a
n
}
中，
a
1
=
﹣
18
，
a
n+1
=a
n
+2
，求：
|a
1
|+|a<
/p>
2
|+
…
+|a
n
|
【解答】
解：∵数列
{a
n
}
中，
a
1
=
< br>﹣
18
，
a
n+1
=a
n
+2
，
∴
{a
< br>n
}
是首项为﹣
18
，公差为
2
的等差数列，
∴
a
n
=
﹣
18+
（
n
﹣
1
）×
2=2n
﹣
20
，
<
/p>
由
a
n
=2n<
/p>
﹣
20
≥
0
，
n
≥
10
，
设
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
当
n
≤
10
时，
|a
1
|+|a
2
|+
…
+|a
n
|=
﹣
S
n
=
﹣
[
﹣
18n+
当
n
＞
10
时，
：
|a
1
|+|a
2
|+
…
+|a<
/p>
n
|=S
n
﹣<
/p>
2S
10
=n
2
﹣
19n+180
< br>．
∴
|a
1
|+|a
2
|+
…
+|a
n
|=
．
]=
﹣
n
2
+19n
．
12
．
（
2010
•云南模拟）已
知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
=25n
﹣
2n
< br>2
．
（
1
）求证：
{a
n
< br>}
是等差数列．
（
2
）求数列
{|a
n
|}
的前
n
项和<
/p>
T
n
．