(学)高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题
哈林摇-
数列和不等问题（教师版）
一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）
例
1
．正数数列
<
/p>
a
n
的前
n
项的和
S
n
，满足
2
S
n
a
n
1
，试求：
（
1
）数列
a
n
的通项公式；
（
2
）设
b<
/p>
n
1
1
，数列
b
n
的前
n
项的和为<
/p>
B
n
，求证：
B
n
2
a
n
a
n
1
解：（
1
）由已知得
4
S
n
(
a
n
1
)
2
，
n
2
< br>时，
4
S
n
1
(
a
n
1
<
/p>
1
)
2
，作差得
：
2
2
a
n<
/p>
为正数数列，所以
4
< br>a
n
a
n
2
a
n
a
n
1
2
a
n
1
，所以
(
a
n
a
n
1
< br>)(
a
n
a
n
1
2
)
0<
/p>
，又因为
a
n
a
n
1
2
，即
a
n
是公差为
2
的等差数列，由
2
S
1
a
1
1
，得<
/p>
a
1
1
，所以
a
n
2
n
1
（
2
）
b
n
1
1
1
1
1
(
)<
/p>
，所以
a
n<
/p>
a
n
1
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
2
< br>2
n
1
2
n
1
B
n
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(
1
< br>
)
2
3
3
5
2
n
1
2
n
1
2
2
(
2
n
< br>1
)
2
4
1
2
a
n
2
n
1
，
n
1,2,3,
<
/p>
3
3
3
真题演练
1
：
(06
全国
1
卷理
科
22
题
)
设
数列
a
n
的前
n
项的和
,
S
n
n<
/p>
2
n
3
（Ⅰ）求
首项
a
1
与通项
a
n
；（Ⅱ）设
T
< br>n
，
n
1,2,3,
，证明：
T
i
.
2
S
n
i
1
4
1
2
4
1
2
解
:
(
Ⅰ
)
由
S
n
=
a
n
－
×
2
n+1
+
,
n=1,2,3
，„
,
①
得
a
1
=S
1
=
a
1
－
×
4+
所以
a
1
=2
3<
/p>
3
3
3
3
3
4
1
2
再由①有
S
n
－
1
=
a
n
－
1
－
×
2
n
+
, n=2,3
，
4,
„
3
3
3
4
1
n+1
n
将①和②相减得
: a
n
=S
n
－
S
n
－<
/p>
1
=
(a
n<
/p>
－
a
n
－
1
)
－
×
(2
－
2
),n=2,3
,
„
3
3
整理得
:
a
n
+2
n
=
4(a
n
－
1
+2
n
－
1
)
,n=2,3,
„
,
因而数列
{ a
n
+2
n
}
是首项为
a1+2=4,
公比为
4
的等
比数列
,
即
:
a
n
+2
n
=4
×
4
n
－
1
=
4
n
, n=1,2,3,
„
,
因而
a
n
=4
n
－<
/p>
2
n
, n=1,2,3,
„
,
4
1<
/p>
2
1
(
Ⅱ
)
将
a
n
=4
n
－
2
n
代入①得
S
n
=
×
(
4
n
－
2
n<
/p>
)
－
×
2
n+1
+
=
×
(2
n+1
－
1)(2
n+1
－
2)
3
3
3
3
2
=
×
(2
n+1
－
1)(2
n<
/p>
－
1)
3
2
n
3
2
n
3
1
1
T
n
=
=
×
n+1
=
×
(
－
)
S
n
2
(2
－
1)(2
n
－
1)
2
2
n
－
1
2
n+1
－
1
3
所以<
/p>
,
T
i
= <
/p>
2
i
1
n
(
i
1
n
1
1
3
1
3
1
－
i+1
) =
×
(
1
－
n
1
) <
2
－
1
2
－
1
2
2
－
1
2
2
1
i
< br>
1
二．先放缩再求和
1
．放缩后成等比数列，再求和
1
例
2
．等比数列
a
n
中，
a
1
，前
n
项的和为<
/p>
S
n
，且
S
7
,
S
9
,
S
8
成等差数列．<
/p>
2
a
1
设
b
n
n
，数列
b
n
前
n
项的和为
T
n
，证明：
T
n
．
3
1
a
n
解：∵
A
9
A
7
a
8
a
9
，
A
8<
/p>
A
9
a
9
，
a
8
a
9
a
9
，∴公比
q
< br>a
9
1
．
a
8
2
2
∴
a<
/p>
n
(
)
n
．
b
n
1
2
1
4
n
1
1
(
)
n
2
<
/p>
1
1
．
4
n
(
2
)
n
3
2
< br>n
（利用等比数列前
n
项和的模
拟公式
S
n
Aq
n
A
猜
想）
1
1
(
1
2
)
1
1
1
1
2
2
1
(
1
1
< br>)
1
．
∴
B
n
b
1
b<
/p>
2
b
n
1
3
2
3
2
2
3
3
3
2<
/p>
n
3
2
n
1
2
真题演练
2
：
(06
福建卷
理科
22
题
)
已知数列
a
n
满足
a
1
1
,
a
n<
/p>
1
2
a
n
1(
n
N
*
).
（
I
）求数列
a
n
的通项公式；
（
II
）若数列
<
/p>
b
n
滿足
4
b
1
1
4
b
2
1
4
< br>b
n
1
(
a
n
1)
b
n
(<
/p>
n
N
*
)
，证明：数列
b
n
是等差数列；
（Ⅲ）证明：
a
n
1
a
1
a
2
n
...
n
(
n
< br>
N
*
)
.
2
3
a
2
a
3
a
n<
/p>
1
2
（
I
）解：
a
n
1
2
a
n
1(
n
N
< br>*
),
a
n
1
1
2(
a
n
1),
a
n
1
是以
a
1
1
2
为首项，
2
为公比的等
比数列
a
n
1
2
n
.
即
<
/p>
a
n
2
2
1(
n
N
*
).
（
II
）证法一：
4
k
1
1
4
k
2
1
...4
k
n
1
(
a
n
1)
k
n
.
4
(
k
1
k
2
...
k
n
)
n
2
nk
n
.
2[(
b
1
b
2
...
b
n
)
n
]
nb
n
,
①
2[(
b
1
b
2
...
b
n
b
n
1
)
(
n
< br>1)]
(
n
< br>
1)
b
n
1
.
②
②－①，得
2(
b
n
1
1)
(
n
1)
b<
/p>
n
1
nb
n
,
2
即
(
n
1)
b
n
1
nb
n
2
0,
nb
n
2
< br>
(
n
1)
b
n
1
2
0.
③－④，得
nb
n
2
2
nb
n
1
nb
n<
/p>
0,
即
b
n
2
2
b
n
1
b
n
< br>0,
b
n
2
b
n
1
b<
/p>
n
1
b
n
(
n
N
*
),
b
n
< br>
是等差数列
a
k
2
k
1
2
k
< br>1
1
k
1
,
k
1,
2,
...,
n
,
（
III
）证明：
a
k
1
2
1
2(2
k
1
)
2
2
a<
/p>
a
1
a
2
n
...
n
.
a
2
a
3
a
n
1
2
a
k
2
k
1<
/p>
1
1
1
1
1
1
1
k
1
.
k
,
k
1,2,...,
n
,
k
< br>
1
k
k
a
k
1
2
1
2
2(2
1)
2
3.
2
2
2<
/p>
2
3
2
a
a
1
a
2
n
1
1
1
1
n
1
1
n
1
...
n
(
2<
/p>
...
n<
/p>
)
(1
n
)
,
a
2
a
3
a
< br>n
1
2
3
2
2
2
2
3
2
2
3
a
n
1
a
a
n
1
< br>
2
...
< br>
n
(
n
N
*
)
.
2
3
a<
/p>
2
a
3
a
n
1
2
2
．放缩后为“差比”数列，再求和
例
3
．已知数列
{
a
n
}
满足：
a
1
1
，
a
n
1
(
1
证明：因为
a
n
1
(
1
即
a
n
1
a<
/p>
n
即
a
n
1
a
n
令
S
n
n
n
1
)
a
(
n
1<
/p>
,
2
,
3
)
a
a
3
．求证：
n
n
1
n
2
< br>n
2
n
1
n
)
a
n
，所以
a
n
1
与
a
n
同号，又因为
a
1
1
0
，所
以
a
n
0<
/p>
，
2
n
n
a
n
0
，即
a
n
1
a
< br>n
．所以数列
{
a
n
}
为递增数列，所以
a<
/p>
n
a
1
1
，
n
2
n
n
1
2
n
1
a
a
a
<
/p>
，累加得：
．
n
n
1<
/p>
2
2
2
2
n
2
n
2
n
1
1
2
n
1
1
1
2
n
1
2
<
/p>
n
1
，所以
S
n
2
3
n
，两式相减得：
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
n
1
n
1
n
1
S
n<
/p>
2
3
n
1
n
，所以
S
n
2
n
1
，所以
a
n
3
n
1
，
<
/p>
2
2
2
2
2
2
2
2
故得
a
n
1
a
n
< br>
3
3
．放缩后成等差数列，再求和
2
例
4
．已知各项
均为正数的数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
且
< br>a
n
a
n
2
S
n
.
n
1<
/p>
．
2
n
1
3
a
n
2
a
n
1
2
(1)
求证：<
/p>
S
n
；
4
(2)
求证：
S
n
2
S
1
S
2
S
n
S
n
1
< br>1
2
2
2
解：（
1
）在条件中，令
n
1
，得
a
1
a
1
2
S
1
2
a
1
，
a
1<
/p>
0
a
1
1
，又由条件
a
n
a
n
2
S
n
有
2
a
n
1
a
n
1
2
S
n<
/p>
1
，上述两式相减，注意到
a
n
1
S
n
1
S
n
得
(
a
n<
/p>
1
a
n
)(
a
n
1
a
n
1
)
< br>
0
a
n
0
a
n
1<
/p>
a
n
0
∴
a
n
1
a
n
1
< br>
所以，
a
n
1
1
(
n
1
)
n
，
S
n
< br>n
(
n
1)
2
2
2
n
(
n
1
)
1
n<
/p>
2
(
n
1
)
2
a
n
a
n
1
所以
< br>S
n
2
2
2
4
（
2
）因为
n
n
(
n
1
)
n
1
，所以
n
2
n
(
n
< br>
1
)
n
1
，所以
2
2
S
1
S
2
S
n
n
2
3
n
2
2
< br>
S
n
1
1
2
2
3
n
1
1
2
2
3
n
(
n
1
)
< br>
2
2
2
2
2
2
；
S
1
S
2
S
< br>n
1
2
2
2
n
2
n
(
n
1
)
2
2
S
n
2
< br>
练习：
1.
（
08
南京一模
22
题）设函数
f
(
x
)
1
2
3
x
bx
，已知不论
,
为何实数，恒有
f
(cos
)
0
且
4
4
f
(2
sin
)
0
.<
/p>
对于正数列
a
n
，其前
n
项和
S
n
f
(
a
n
)
，
(
n
N
*
)
.
(
Ⅰ
)
求
实数
b
的值；（
II
< br>）求数列
a
n
的通项公式；
（Ⅲ）若<
/p>
c
n
解：
(
Ⅰ
)
b
1
1
,
n
N
，且数列
c
n
的前
n
项和为
T
n
，试比较
T
n
和
的大小并证明之
.
6
1
a
n
1
（利用函数值域夹逼性）；（
II
）
a
n
2
n
1
；
2
（Ⅲ）∵
c
n
< br>
1
1
1
1
1
1
1
1
，∴
T
c
c
c
„
+
c
n
1
2
3
n
2<
/p>
(2
n
2)<
/p>
2
2
n
1
2
n
3
2
3
2
n
3
6
2.
（
04
全国）已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足：
S
n
2
a
n
(
1
)
n
，
n
1
（
1
）写出数列
{
a
n
}
的前三
项
a
1
，
a<
/p>
2
，
a
3
；（
2
）求数列
{<
/p>
a
n
}
的通项公
式；
4
（
3
）证明：对任意的整数
m
4
，有
1
1
1
7
< br>
a
4
a
5
a
m
8
分析：⑴由递推公式易求：
a
1
=1,
a
2
=0,
a
3
=2
；
⑵由已知得：
a
n<
/p>
S
n
S
n
1
2
a
n
(
1
)
n
2
a
n
1
<
/p>
(
1
)
n
1
（
n>1
）
化简得：
a
n
2
a
n
1
2(
1)
n
1
< br>a
n
a
n
1
a
n
a
n
1
2
2
,
2
2
2
[
< br>
]
n
n
1
n
n
1
3
3
(
1
)
(
1
)
(
1
)
< br>(
1
)
故数列
{
a
n
2
2
a
}
是以
为首项
,
公比为
2
的等比数列
.
1
n
3
3
(
1
)
故
a
n
2
n
<
/p>
2
2
1
n
n
1
a
[2
(
1)
]
∴
(
)(
<
/p>
2
)
n
n
3
3
3
(
1
)
2
n
2
[2
< br>
(
1)
n
]
.
3
∴数列
{
a
n
}
的通项公式为：
a
n
⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，
使之能够求和。而左边
=
1
1
1
3
1
1
1
< br>
[
2
3
m
2
]
，如果我们把上式中的分母中的
1
去掉，就可利
m
a
4
a
5
a
m
2
2
1
2
1
2
(
1)
1
1
1
1
，
2
3
2
3
2
1
2
1
2
2
用等比数列的前
n
项公式求和，由于
-1
与
1
交错出现，容易想到
将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，
尝试知：
1
1
1
1
1
，因此，可将
保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对
2
3
1
2
4
1
2
3
2
4
2
2
1
m
进行分类讨论，（
1
）当
m
为偶数
(
m
4
)
时，
1
1
1<
/p>
1
1
1
1
1
(
)
(
)
a
4
a
5
a
m
a
4
a
5
a
6
a
m
1
< br>a
m
1
3
1
1
1
(
3
4
m
2
)
2
2
2
2
2
< br>1
3
1
1
(
1
m
4
)
2
2
4
2
< br>
1
3
7
2
8
8
（
2
）当<
/p>
m
是奇数
(
m<
/p>
4
)
时，
m
1
为偶数，<
/p>
1
1
1
1
1
1
1
1
7
a
4<
/p>
a
5
a
m
a
4
a
5
a
6
a
m
a
m
1
8
5