数列经典题型总结
商务人士-
1
一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和
例
1
（
07
高考山东文
18
）
设
{
a
n
}
是公比大于
1
的等比数列，
已
S
n
为数列
{
a
n
}
的前
n
项和．
知
S
3
< br>7
，且
a
1
3
，
3
a
2
，
a
3<
/p>
4
构成等差数列．
（
1
）求数列
< br>{
a
n
}
的等差数列．
（
2
）令
b
n
< br>ln
a
3
n
1
，
n
1
求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
．
<
/p>
，
2
，
，
练习：
设
S
n
＝
1+2+3+
…
+n
，
n
∈
N
,
求
f
(
n
)
*
S
n
的最大值
.
(
n
32
)
S
n
1
二、错位相减法
例
< br>2
（
07
高考天津理
21
）
在数列
a
n
中，
a
1
2
，
a
n
1
a
n
n
<
/p>
1
(2
)2
n
(
n
N
)
，
其中
0
．
< br>（Ⅰ）求数列
a
n
的通项公式；
（Ⅱ）
求数列
a
n
的前
n
项和
S
n
；
．
例
3
（
07
高考全国
Ⅱ文
21
）设
{
a
n
}
是等差数列，
{
b
n
}
是各项都为正数的等比数列，且
a
1
b
1
1
，
a
3
b
5
21
，
a
5
b
3
13
（Ⅰ）求
{
a
n
}
，
{
b
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
a
n
的前
n
项和
S
n
．
b
n
2
三、逆序相加法
2
< br>x
例
4
（
07
豫南五市二联理
22.
）
设函数
f
(
x
)
x
的图象上有两
点
P
1
(
x<
/p>
1
,
y
1
)
、
P
2
(
x
2
,
2
2
1
1
y
2
)
，若
OP
(
OP
1
OP
2
)
,
且点
P
的横坐标为
.
2
2
（
I
）求证：
P
点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
*
（
II
）若
S
n
f
(
)
f
< br>(
)
f
(
)
f
(
),
n<
/p>
N
,
求
S
n
;
1
n
2
n
3
n
n
n
四、裂项求和法
例
5
求数列
1
1
2
,<
/p>
1
2
3
,
,
1
n
n
1
,
的前
n
项和
.
例
6
（
06
高考湖北卷理
17
）已知二次函数
y
f
(
x
)
的图像经过坐标原点，其导函数为
f
'
(
x
)
6
x
2
，
数列
{
a
n
}
的前
n
项和
为
S
n
，
点<
/p>
(
n
,
S
n
)
(
n
N
)
均在函数
y
f
(
x
)
的图
像上。
（Ⅰ）求数列
{
a
n
}
的通项公式
；
（Ⅱ）设
b
n
m
1
，
T
n
是数列
{
b
n
}
的前
n
项和，求使得
T
n
对所有
n
N
都成
20
a
n
a
n
1
立的最小正整数
< br>m
；
五、分组求和法
例
< br>7
数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
2
a
n
1<
/p>
，数列
{
b
n<
/p>
}
满
b
1
3
,
b
n
1
a
n
b
n
(
n
N
)
.
（Ⅰ）证明数列
{
a
n
}
为等比数列；（Ⅱ）求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
。
例
8
求
S
1
2
2
2
3
< br>2
4
2
(
1)
n
1<
/p>
n
2
（
n
N
）
六、利用数列的通项求和
3
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特
征，然后再利用数列
的通项揭示的规律来求数列的前
n
项和，是一个重要的方法
.
例
9
求
1
11
11
1
<
/p>
111
<
/p>
1
之和
.
n
个
1
解：
由于
111
1
k
个
1
1
1
k
（找
< br>
999
< br>
9
9
(
10
1
)<
/p>
9
k
个
1
通项及特征）
∴
<
/p>
1
11
111
111
1
n
个
1
＝
（分组求和）
＝
1
1
1
1
1
(
10
1
)
< br>
(
10
2
1
)
(
10
3
1
)
(
10
n
1
)
9
9
9
9
1
1
< br>1
(
10
10
2
10
3
10
n
)
(
1
1
1
1
< br>)
9
9
n
个
1
1
10<
/p>
(
10
n
1
)
n
＝
9
10
1
9
1
(
10
n
< br>
1
10
9
n
)
＝
81
8<
/p>
例
10
已知数列
{a
n
}
：
a
n
,
求
(
n
1
)(
a
n
a
n
1
)
的值
.
(
n
1
)(
n
3
< br>)
n
1
1
1
解：∵
(
n
1
)
(
a
n
a<
/p>
n
1
)
8
(
n
1
)[
]
（找
(
n
1
)(
n
3
)
(
n
2
)(
n
4
< br>)
通项及特征）
1
1
]
（设制分组）
(
n
2
)(
n
4
)
(
n
3
)(<
/p>
n
4
)
1
1
1
1
＝
4
(
)
8
(
)
（裂项）
n
2
n
4<
/p>
n
3
n
4
1
1
1
1
∴
(
n
1
)(
a
n
a
n
1
)
4
(
)
8
(
)
< br>
（分组、
裂项求
n
2
n
4
n
3
n
4
n
1
n
1
n
1
＝<
/p>
8
[
和）
＝
4
(
)
8
<
/p>
＝
1
3
1
4
1
4
13
3
类型
1
a
n
1
a
n
f
(
n
)
解法：把原递推公式转化为
a
< br>n
1
a
n
f
(
n
)
，利用累加法
(
逐差相加法
)
求解。
例
:
已知数列
a
n
满足
a
1
1
1
，
a
n
1
a
n
2
，求
a
n
。
2
n
n
1
1
1
1
解：由条件知：
a
n
1
a
n
2
n
< br>n
n
(
n
1
)
n
n
1