灵魂守卫-

2021年2月8日发(作者：西安市第十六中学)

数项级数求和方法的探究

摘

要

< /p>

级数，重要的数学工具。一方面，它对于数学和其他学科及技术研究与发展

方面都起到了非常重要的作用并发挥了其重要影响。另一方面，级数还和我们的

日常生活息息相关，我们要合理的掌握利用级数，也要去发掘更为广泛的应用领

域，为日 后的研究打下坚实的基础。

目前在国内并没有系统全面的研究 级数求和的方法，级数求和首先要考虑级

数的收敛性，并且有着比较繁多的方法和很强的 技巧性。本文在借鉴国内外大量

资料的基础上，

选取了一些常用 的数项级数求和的方法，

如等差求和，

等比求和，

错位相减求和，原级数化为函数项级数、积分函数求和等，并且每种方法都选取

了典型题目加以分析，尽量使理论与应用相结合，化繁为简。本文当中也特别介

绍了如 裂项法求和，夹逼法求和，幂级数求和等方法，并举出例子，在实例中说

明方法，用实例 体会这些方法在求和时的应用。

本文对数项级数的有关概念， 收敛的定义做出了简要的说明。级数的敛散性

是决定级数求和的先决条件，但是本文的重 点在于讨论级数求和的方法，所以对

级数敛散性的讨论略过不谈，并且本文中所提到的有 关级数都是收敛的。

关键词

：级数收 敛数项级数求和裂项法求和幂级数求和

Abstract

Series, the important mathematical tools. On the one hand, it is for the mathematics and

other science and technology research and development has played a very important role and

exert important influence. On the other hand, the series also is closely linked with our daily

life, we should reasonably grasp the use of series, also want to explore more widely used in

the field, a solid foundation for the future research.

At

present

in

domestic

and

no

systematic

research

methods

series

comprehensive

summation, summation of series should first consider the convergence of series, and have a

comparison

method

and

skills

are

very

this

paper,

on

the

basis

of

numerous

data

home and

abroad, some selected numerical

series common summation method, such

as the

arithmetic

sum,

geometric

sum,

dislocation

subtraction

sum,

positive

numbers

into

the

function series, integral function and so on, and each method selects a typical topic analysis as

far as possible, so that the combination of theory and application, paper also

particularly

introduces

such

as

crack

a

summation,

clamping

force

summation,

and

the

method of power series, and examples, explain the method in the example, with the example

of the application of these methods in the sum of.

In

this

paper,

the

related

concepts

of

series,

convergence

definition

and

theorem

gives

proof, and give some typical examples to explain. The convergence of series is prerequisite to

the summation, but the focus of this paper is to discuss the method of summation of series, the

series convergence discussion over does not talk, and the series is mentioned in this article are

convergent.

Key words

: Series

ConvergenceA number of series summation Methods and skillsSeeking

and split method

Summing a series of powers

，

目

录

摘要< /p>

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„Ⅰ

Abstract

„„„„„„„„„„„„„„„ „„„„„„„„„„„„„„„„Ⅱ

第

一

章

绪

论

„

„

„

„

„< /p>

„

„

„

„

„

„

„

„

< p>
„

„

„

„

„

„

„

„

„

„

„

„

„

„

„

1

1.1

课题的研究背景及意义„„„„„„„„„„„„„ „„„„„„„„„

1

1.2 < /p>

课题的发展概况及现状

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ „„„

1

1.3

全文研究内容及章节安排

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

2

第二章数项级数求和的常用方法

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

3

2.1

数项级数的定义及收敛

„ „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

3

2.2

等差级数求和

„„„„„„„ „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

3

2.3

首尾相加求和

„„„„„„„ „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

3

2.4

等比级数求和

„„„„„„„ „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

4

2.5

错位相减求和

„„„„„„„„„„„„„„ „„„„„„„„„„„„„

4

2.6

蕴含型级数相消法求和„„„„„„„„„„„„„„ „„„„„„„„„

4

2.7

有理化法求和

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ „„„

5

2.8

原级数转化为子序列求和

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

5

2.9

数项级数化 为函数项级数求和

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

6

2.10

数项级数化为积分函数求 和

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

6

2.11

裂项法求和

„„ „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

6

2.12

夹逼法求和

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

7

第三章关于数项级数求和的几种特殊方法

„„„„„ „„„„„„„„„„„„

9

3.1

方程式法求和

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ „„„„„

9

3.2

三角型数项级数化为复数系级数求和„„„„„„„„„„„„„„„„„

9

3.3

幂级数求和

< br>„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

10

3.3.1

利用幂级数的性质求级数和

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

10

3.3.2

利用微分方程的转化求级数和

„„„„„„„„„„„„„„„„„„

11

< p>
3.4

利用傅里叶系数求和

„„„„„„„„„„ „„„„„„„„„„„„„„

12

第四章

小

结

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ „„

14

致

谢

„„„„„„„„„„„„„„„ „„„„„„„„„„„„„„„„„

15

参考文献

„„„„„„„„„„„„ „„„„„„„„„„„„„„„„„„„

16

原创性声明

„„„„„„„„„„„ „„„„„„„„„„„„„„„„„„„

17

论文使用授权声明

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ „

17

第一章

绪

论

1.1

课题的研究背景及意义

级数对于数学 学科和其他学科及技术研究与发展方面都起到了非常重要的

作用并发挥了其重要影响。另 一方面，级数还和我们的日常生活息息相关，我

们要合理的掌握利用级数，也要去发掘更 为广泛的应用领域，为日后的研究打

下坚实的基础。

首先，其原因是很多函数既可以用数项级数表示，又可以通过数项级数来研究函

< br>数逼近的问题，

利用其他多项式来逼近一般的函数。

用级 数的形式还可以表示很多有

用的非初等函数。

其次，解微分方程。

再次，可以应用于实数的近似计算，所以数项级数无论在分析数学问题上还是在

实际的应用中，

都是我们研究函数问题的重要工具，

此时数项 级数求和的问题就显得

非常重要了，这也成为了实际应用中急需解决的课题。

< p>

1.2

课题的发展概况及现状

17

世纪的上半叶，自然科学在西方资本主义生产力的刺激下快速发展壮大，并

且有了突破性的进展。

而这个过程中所遇到的数学上的难题，

使人们将目光的焦点放

在了微积分的基本问题上。这个时期里，开普勒、卡瓦列里、笛 卡尔、费马、巴罗、

沃利斯等著名的数学大师都致力于先关问题的研究，

取得了具有代表性的发展。

尤其

是牛顿和莱布尼茨所认 识到的微分和积分之间的互逆关系，

对微积分的真正创立做出

了 伟大的贡献。到了

18

世纪，微积分的研究和发展和无穷级数的 研究紧密交织在一

起，

数学家们又陆续得到了各种初等函数的级 数展开，

并将它们运用到了微积分的研

究当中。在这期间，雅各 布，伯努利撰写了一系列关于无穷级数的文章，从而成为了

这一领域里的权威。而在

18

世纪先后出现了莱布尼兹判别法，达朗贝尔级数绝对收

敛判别法等判断级数收敛的法则。到了

19

世纪 ，柯西对无穷级数进行了更加严格化

的处理，明确定义了技术的收敛性，并研究了级数收 敛的判别条件。

数学作为最古老的学科之一，

一直以来都有着众多的研究者。

而关于级数的求和，

也 吸引了许多专家学者对它的研究，

他们将题目和解法分类具体化，分为定义法，

解

微分方程法，裂项法，函数转化法，逐项微分积分法等等。级数求和的 方法有很多，

并且有一定的技巧性，

纵观国内目前的相关教材和 书籍大多数都是对一些比较特殊的

数项级数进行求和，

而一般的 数项级数求和的方法问题则甚少提及，

因此我们在这方

面有很大 的研究空间。

1.3

全文研究内容及章节安排

第一章

首先介绍了课题的研究背景及 意义，然后简要介绍了课题的发展概况和

研究现状。

1

第二章

本章介绍了几种常用的数项级数求和的方法并举出典型例题加以说明。

< br>

第三章

本章介绍了几种特殊 的数项级数求和的方法以及在求和方面的几点技巧，

并举例说明。

第四章

对研究课题进行了小结，提出对今后工作的展望。

2

第二章

数项级数求和的常用方法

2.1

数项级数的定义及收敛

设有无穷实数 列

u

1

,

u< /p>

2

,



,

u

n

,



< p>
,

则称



u

n



u

1

< br>

u

2







u

n





是以

u

n< /p>

为一般

n



1< /p>



项（或通项）的数项级数，简记为

< /p>

u

n

。



n



N



< p>
,S

n

称为数项级数

< /p>

u

n

的前

n

项

n



1

n



1





部分和。若部分和数列



S

n



的极限存在，

< br>lim

S

n



< br>S

则称级数



u

n

收敛，并称

S

为

< p>
n





n



1

级数的和，记为



u

n

=S

。若部分 和数列



S

n



的极限不存在，则称级数



u

n

发散。

n



1

n



< p>
1





2.2

等差级数求和

等差级数是最简单的级数类型，

主要 是通过比较前后各项得到级数的公差，

然后

代入公式即可求和。

例：

s< /p>



na

1



n

(

a

1



a

n

）

n

(

n



< br>1)

，其中

a

1

为首项，

d

为公差。

d



2

2

< p>
证明：

s

=

a

< p>
1

+

a

2

+...+

a

n

①，

s=

a

n

+...+< /p>

a

2

+

a

1

②

①

< p>
+

②得：

2

s

< p>


(

a

1



a

n

）

+



a

2

+

a

n

-1



+...+(

a

n

+

a

1

)

因为等差级数

a

1



a

n



...



a

n

+

a

1

所以

s



< /p>

n

(

a

1



a

n

）

< p>

2

2.3

首尾相加求和

这一类型的级数主要是将级数的各 项前后倒置后与原级数经过基本四则运算，

由于首尾各项的运算的结果相同，就可以转化 为简单级数求和。

0

2

n

例

:

< br>求

c

n



3

c

1

n



5

c

n



...



(2

n< /p>



1)

c

n

.

0

2

n

n

2

1

0

< p>
解：

s



c

n



3

c

< br>1

n



5

c

n



...



(2

n



1)

c

n

，

s



(2

n

< /p>

1)

c

n



...5

c

n

< /p>

3

c

n



c

n

，

< p>
n

2

0

n



1

两式相加得：

2

s



(2

n

< p>


2)(

c

n

< p>
，



...

< p>
c

n



c

1

n



c

n

)



(

n



1)



2

0

2

n

n

即：

c

n



3

c

1

n

< p>


5

c

n



...



(2

n



1)

c

n



(

n



1)2

2.4

等比级数求和

3

等比 级数也是较为简单的级数类型，

主要通过比较前后各项得到级数的公比，

然

后代入公式即可求和。

a

1

(1



q< /p>

n

)

例：当

q< /p>

=1

，

s



na

1

；当

q

≠

1

，

s



，其中

a

1

为首项，

q

为公比

.

1



q

证明： 当

q

=1

，易得

s



na

1

，

当

q< /p>

≠

1

，

s

=

a

1

+

< p>
a

1

q

1

+...+

a

1

q

< p>
n



1

①，

qs

=

a

1

q

+< /p>

a

1

q

2

+...+

a

1

q< /p>

n

②，

①

-

②得< /p>

(1



q

)

s



a

1



a

1

q

n

.

2.5

错位相减求和

这个方法通常应用于等差级数与等比级数的混合型，主要方法 是乘以等比级数

公比

q

，再与原级数四 则运算后转化为简单的等差或等比级数求和。

2

n



1

例：计算

< p>


n

.

2

解：

s



1

3

5

2

n



1

3

5

2

n



1

< /p>

2



3



...



n

①，

2

s



1





2

< p>


...



n

< p>


1

②，

2

2< /p>

2

2

2

2

2

n

n

2

< p>
k



1

n

2

k



1

2

2

n



1

②

-

①得：

s



2

s

< /p>

s



1





k



1

< p>




k



1





k



n



2

2

k



2

2< /p>

k



1

k



1

2

1

< p>
2

n



1



2

n



1



3



1



2

n

< /p>

1

，

1



n

n



< p>
1

n

1

2

2

2

1



2

1



lim

s

=3.

n



2.6

蕴含型级数相消法求和

这一类型的级数各项之间本身就有紧密的联系，

通过仔细观察可以得知前后多项

展开之后可以相互之间部分项相消，从而转化 为简单级数求和。

例：计算



(

i



2

< p>
i



1



i



2)

.

i



1

n

解：将各项展开可得：

s



1



2< /p>

2



3









2

< p>


2

3



4











n



2



2

n

< /p>

1



n







< p>
n



1



2

n



n



1







4

n



2

n



1



n



2





1



2-

n

+1+

n

< p>


2



1



2



1

，

n



1



n



2< /p>

所以

lim

s



1-

2

.

n



2.7

有理化法求和

对于一些通项含有分式根式的级数，我们可以模仿数学中经常 使用的“有理化”

方法进行处理，使级数的通项得以化简，进而求出级数的和。

.



1

例：计算



.

n

(

n



1)(

n



n



1)

n



1

解：

< p>
有题目可以看出原级数含有较多的根式，

因此可以运用有理化的方法进行处

理，即通项

a

n



对其分母有理化得：

分母有理化

1





n



1



n< /p>



1

-

1

，





n

(

n



1)(

n



n



1)

n

(

< p>
n



1)

n

n



1

1

< br>，

n

(

n



1)(

n



n



1)

则原级数可以采用本文中的

2.6

“蕴含型级数相消法”

，则可以快速求得级数和的极

限为

1.

2.8

原级数转化为子序列求和

若下列条件成立

:

< br>（

1

）当

n



时级数的通项

a

n

< p>


0

（

2

）

级数各 项没有破坏次序的情况而得新序列



b

n

收敛于原级数

.

n



1



1

1

1

1

1

1

1

1

1

1< /p>

+

+

+

（

-

）

+

+

< p>
+

（

-

）

+...

.

例：计算

< br>1+

+

（

-1

< br>）

2

3

4

5

6

2

7

8

9

3

1

1

1

解：



lim< /p>

a

n



0

，应用欧拉公式

1+

+



...





c



ln

n



e

n

，

< /p>

n



2

3

n

其中

c

为欧拉常 数，

1

1

1

1

1

e

n



0(

n





)

s



< p>
1+

+

+...+

-1-

-...-

2

3

3

n

2

n



ln3

n



ln

n

< /p>

e

3

n

-

e

n

，

5

li m

s



ln

3

.

n



2 .9

数项级数化为函数项级数求和

这种方法主要是将原来的数项级数转化为相类似的函数项级数，

然后通过对函数

项级数求和得出原级数的和。



1

例：求级数和



.



2

n

< p>
-1

）

n



1

1



3

< br>

5



...

< br>（

解：

建立函数项级数

s

(

x

)





1

x

2

n



1

由函数敛散性知识可得其



2

n

-1

）

n



1

1



3< /p>



5



...< /p>

（



收敛域为

(



,



)

，将函数项级数逐项求导可得：



1

1

2

n



2

s

(

x

)



1





x

< br>x

2

n



1



1



x s

(

x

)

，< /p>

=

1



x





2

n

-3

）



< p>
2

n

-1

）

n



1

1

< br>

3



5



...

（

n



1

1



3



5



...

（

'



由此可 知

s

(

x

)< /p>

满足微分方程

s

'

(

x

)



xs

(

x

)< /p>



1

，且易知

s

(0)



0

，

解此常微分方程得：

s

(

x

)

< br>

e

1

2

x

2



x

0

e

1



t

2

2

dt

，令

x



1

则可以求出 原级数和：

s



e

1

2



e

0

1

1

2

t< /p>

2

dt

.

2.10

数项级数化为积分函数求和

这种方法通过把原级数化简，变换成积分极限的形式，从而求 出原级数的和。

其中，关键是要变换构造积分式子。



1

例：计算



，其中

(

n





)

.

k



1

n



k

n

1

dx

分子分母同时除以

n

构造分割

1

1

1







lim



=ln2

解：记

s









建立级数与积分的桥梁

0

1+< /p>

x

n



k

n



k

n

k



1

k



1

1



< br>n



2.11

裂项法求和

这种方法主要针对于级数是分数形式，而 且这个分数的分母是多项乘积的形式，

并且级数的各项之间相差的整数是相同的，

通过裂项之后，

级数的各项就分离出来，

而分 离后的新级数相当于求解另外一个级数，

以此类推，

原级数的和 就可以很容易

的求出了。

1

1

1

1

裂项一般形式：



(



)

，此处

m



n

.

(

x



m

)(

x

+

n

)

n



m

x



m

< br>x



n

例：计算

s



1

1

1

. < /p>





...

< /p>

1



2



3

2



3

< p>


4

n



(

n



1)

< br>

(

n



2)

6

解

:

记

a

n



1

1

1

1

，

a

n



[



]

n



(

n



< br>1)



(

n



2)

2

n

(

n



1)

(

n



1)(

n



2)

针对



1

同理采用裂项法

k



(

k



1)

k



1

1

1

1





n

(

n



1)

n

n



1

n

< p>
记

b

n



则



1

=

< br>k



1

k

(

k



1)

n

裂项后后面项可以消去前面项部分

1

1

1

1

1

1< /p>

1

1

1

1

1





< br>

(1



)



(



)



(



)

< /p>

(



)



(



)+...+(



)





这就是裂项法的好处！

2

2

3

3

4

4

5

5

6

n

n< /p>



1

n

1

1

1

1-



lim[1-

]



1< /p>

，

，

lim< /p>



n



1

n



k



1

k

(

k



1)

n



n



1

n

< br>1

1

1

1



lim



[



]

所以

lim



n



n



k

(

k



1)(

k



2)

2

k

(

k



1)

(< /p>

k



1)(

k< /p>



2)

k



1

k



1

n

n

n



1

1

1

1

< br>1

1

1

1

1

1



lim(





)

=



(1



)



.

=

lim



2

4

2

< p>
n



k



1

k

(

k

< br>

1)

2

n



k



1

k

(

k



1 )

2

2

2

2. 12

夹逼法求和

< br>我们曾在极限的求解中学习过夹逼法德应用，

级数的求和也可以仿照这个方法，< /p>

用两个相近级数逼近原级数，然后这两个逼近的级数和就是所求的原级数的和。

< p>



1

例：设

< p>
m

为一给定的正整数，求



.

2

2

n



1,

m



n

m



n

解：< /p>

s

m



N

m



1

m

< p>


N

1

1

1





2









2

2

2

2< /p>

2

n



1,

m



n

m



n

n



1

m



n

< br>n



1



m

m



n

m



N

m



N

1

1

1

1

1

1

1

1

1



[

< br>







...









(



]

2

m

m



1< /p>

m



1

m



2

m



< p>
2

1

2

m



1

n



m



1

m



n

m



n< /p>

)



1

1

1

1

1

1

< p>
1

(1





...





1





...







)

< br>2

m

2

2

m



N

2

N

m

2

m



2

m

1

1

1

2

m

<





...



<

且

N



< br>

时，

N



2

m

N



1

N



2< /p>

N



2

m

N

+1

2

m

2

m



0

，且

lim



0

< p>
，

N



N

+1

N



N

+2

m

lim

< p>
所以

lim

s

m



N



0



N



3

，

4

m

2

即

1

3





< /p>

2

2

2

m



n

4

m

< p>
n



1,

m



n

7



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