欧拉公式
贵阳花溪公园-
欧拉定理
目录
欧拉公式
认识欧拉
欧拉定理的意义
欧拉定理的证明
欧拉定理的运用方法
使用欧拉定理计算足球五边形和六边形数
欧拉公式
欧拉公式
简单多面体的顶点数
V
、面数
F
及棱数
E
间有关系
V+F-E=2
这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。
认识欧拉
欧拉，瑞士数学家，
13
岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指
< br>导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从
19
岁开始发表论文，直到
76
岁，他那不倦的一生，共写下了<
/p>
886
本书籍和论文，其中在世时发表了
700
多篇论
文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了<
/p>
47
年。
欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不
倦的治学精神，可
以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。
即使在他双目
失明后的
17
年间，也没
有停止对数学的研究，口述了好几本书和
400
余篇的论文。<
/p>
当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。
欧拉研究论著
几乎涉及到所有数学分支，
对物理力学、
天文学、
弹道学、
航海学、
建筑学、音乐都有研究！有许多公
式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名
字命名的。欧拉写的数学教材在当时一
直被当作标准教程。
19
世纪伟大的数学家高
< br>斯（
Gauss
，
1777-1
855
）曾说过
“
研究欧拉的著作永远
是了解数学的最好方法
”
。欧
拉还是数
学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如
π
，
i
，
e
，
< br>sin
，
cos
，
tg
，
Σ
，
f (x)
等等，至今沿用。
欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问
题，还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名
的
“
哥尼斯堡七桥问题
”
的完美解答开创了
“
图论
”
的研究。欧拉发现
，不论什么形状的
凸多面体，
其顶点数
V
、
棱数
E
、
面数
F
之间总有关系
< br>V+F-E=2
，
此式称为欧拉公式。
< br>V+F-E
即欧拉示性数，已成为
“
拓扑学
”
的基础概念。那么什么是
“
拓扑学
”
？
欧拉是如
何发现这个关系的？他是用什么方法研究的？今天让我
们沿着欧拉的足迹，
怀着崇敬
的心情和欣赏的态度探索这个公式
......
欧拉定理的意义
（
1
）数学
规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律
（
2
）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜
< br>制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图
→
平面拉开图）。
（
3
）引入拓扑学：从立体图到拉开图，各
面的形状、长度、距离、面积等与度
量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不
变。
定
理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕
破或粘连的
材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的
不变的性质。<
/p>
（
4
）提出多面体分类方法：
在欧拉公式中，
f
(p)=V+F-E
叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面
< br>体
f (p)=2
。
除简单多面体外，还有非简单多面
体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相
应顶点得到的多面体。
它的表面不能经过连续变形变为一个球面，
而能变为一个环面。
其欧拉示性数
f (p)=16+16-32=0
，即带一
个洞的多面体的欧拉示性数为
0
。
（
5
）利用欧拉定理可解决一些实际问题
如：
为什么正多面体只有
5
种？
足球与
C60
的关系？否有棱数为
7
< br>的正多面体？
等
欧拉定理的证明
方法
1<
/p>
：（利用几何画板）
逐步减少多面体的棱数，分析
V+F-E
先以简单的四面体
ABCD
为例分析证法。
去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数
V
、棱数
V
与剩下的面数<
/p>
F1
变
形后都没有变。因此，要研究
V
、
E
和
F
关系，只需去掉一个面变为平面图形，证
V+
F1-E=1
（
1
）去掉一条棱，就减少一个面，
V+F1-E
不变。依次去掉所有的面，变为
“
树
枝形
”
。
（
2
）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，
V+F1-
E
不变，直至
只剩下一条棱。
以上过程
V+F1-E
不变，
V+F1-E=1
，所以加上去掉的一个面，
V+F-E
=2
。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段
。因此公式对任意
简单多面体都是正确的。
方法
2<
/p>
：计算多面体各面内角和
设多面体顶点数
V
< br>，
面数
F
，
棱数
E
。
剪掉一个面，
使它变为平面图形
（拉开图）
,
< br>求所有面内角总和
Σα
一方面，在原图中利用各面求内角总和。
设有<
/p>
F
个面，各面的边数为
n1,n2
，
…
，
nF
，各面内角总和为：
Σα = [(n1
-2)·
1800+(n2-
2)·1800
+…+(nF
-2) ·
1800]
= (n1+n2+…+nF
-2F) ·
1800
=(2E-2F) ·
1800 =
(E-F) ·
3600
（
1
）
另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。
设剪去的一个面为
n
边形，其内角和为
(n-2)·
1800
，则所有
V
个顶点中，有
n
个
顶点在边上，
V-n
个顶点在中间。中间
V-n
个顶点处的内角和为
(V-n)·
3600
，边上的
n
个顶点处的内角和
(n
-2)·
1800
。
所以，多面体各面的内角总和：
Σα = (V
-n)·
3600+(n-2)·
1800+(n-2)·
1800
=
（
V-2
）
·
3600.
（
2
）
由
(1)
(2)
得：
(E-F)
·
3600 =
（
V-2
）
·
3600
所以
V+F-E=2.
方法
3
用拓朴学方法证明欧拉公式
图
尝试一
下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。
欧拉公式：对于任意多面体（即各
面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设
F
，
E
和
V
分别表示面，棱（或
边），角（或顶）的个数，那末
F-E+V=2
。
证明
<
/p>
如图（图是立方体，但证明是一般的，是
“
拓朴
”
的）：
（
1
）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。