§3.2.1几种函数增长快慢的比较
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§
3
.2.1
几种函数增长快慢的比较
教
学目标：
（
1
）掌握几种常用函数增长
快慢的比较方法
（
2
）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律
教学重点与难点：
重点：函数增长快慢比较的常用途径；
难点：了解影响函数增长快慢的因素
.
教学方法：
合作交流与知识讲授相结
合，
通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，
体会比较方
法。
教学过程：
一、提出问题引入课题
观察函数
y
x
4
与
y
x
在
[0
，
+
∞）上的图象，说明在不同区间内，
y
y
x
4
函数增长的快慢情况
< br>.
在同一坐标中函数图象如右：
结论：若
0
＜
x
＜
16
则
x
x
4
y
y
若
x
＞
16
则
x
x
4
O
16
x
x
师：
增函数的共同特点是函数值
y
随自变量
x
的增长而增长，
但不同函数在同一区间内的增
长快慢是
否相同？
师生合作观察研究函数
y
①
x
∈
(0
，
16)
时，
y
②
x
(16,
)
时，
y
x
x
4
与
y
x
的增长快慢
.
x
4
的图象在<
/p>
y
的图在
y
<
/p>
x
4
图象上方
可知
y
x
4
x
增长较快
增长较快
x
图象下方，可知
y
二、问题引入课题，激发学习兴趣
.
幂、指对函数增长快慢比较形成比较方法
.
1
．实例探究：
比较函数
y
=2
x
，
y
=
x
< br>2
，
y
= log
2
x
的增长快慢
.
方法：①作图，列表比较、验证
②应
用二分法求
2
x
=
x
2
的根，即
y
=
2
x
与
y
=
x
2
的交点横坐标
.
2
．规律总结
①一般地，对于指数函数
y
=
a
x
(
a
＞
1)
和幂函数
y
=
x
n
(
n
＞
0)
，在区间
(0,
)
上，无论
n
比
a
大
< br>多少，尽管在
x
的一定变化范围内，
a
x
会小于
x
n
，但由于
a
x
< br>的增长快于
x
n
的增长，因此总
存在一个
x
0
，当
x
＞
x
0
时，就会有
a
x
＞
x
n
.
②对于对数函数
y
=log
a
x
(
a
＞
1)
和幂函数
y
=
x
n
(<
/p>
n
＞
0)
在区间
(0,
)
上，随着
x
的增大，
log
a
x
增长得越来越慢
.<
/p>
在
x
的一定变化范围内，
log
a
x
可能会大于
x
，但由于
log
a
x
的增长慢于
x
的增长，因此总存在一个
x
0
，当<
/p>
x
＞
x
0
时，就会有
log
a
x
＜
x
n
.
x
n
③在区间
(0,
)
上，尽管函数
y
=
a
(
a
＞
1)
，
y
= log
a
x
(
a
＞
1)
和
y
=
x
(
n
＞
0)
都是增函数，但它
们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上
.
随着
x
的增长，
y
=
a
x
(
a
＞
1)
的增长速度越
来越快，会超过并远远大于
y
=
x
n
(
n
＞
0)
的增长速度，而
y
= log
a
x
(
a
< br>＞
1)
的增长速度则会越来
越慢
.
因此，总会存在一个
x
0
，当
x
＞
x
0
时，就有
log
a
x
＜
x
n
＜
a
x
< br>.
师生合作：借助计算机作图，列表，进行探究
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