中考数学直角三角形的边角关系综合练习题及答案解析
乙武洋匡-
中考数学直角三角形的边角关系综合练习题及答案解析
一、直角三角形的边角关系
1
．
如图，从地面上的点
A
看一山坡上的电线杆
PQ
，测得
杆顶端点
P
的仰角是
45°
，向前
走
6m
到达
B
点，测得杆顶端点
P
和杆底端点
Q
的仰角分别是
60°<
/p>
和
30°
．
（
1
）求<
/p>
∠
BPQ
的度数；
（
2
）求该电线杆
PQ
的高度（结果精确到
1m
）．备用数据：
【答案】（
1
）
∠
BPQ=30°
；
（
2
）该电线杆
PQ
的高度约为
9m
．
【解析】
试题分析：（
1
）延长
PQ
交直线
AB
于点
E
，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（
2
）设
PE=x
米，在直角
△
APE
和直角
△
BPE
中，根据三角函数利用
x<
/p>
表示出
AE
和
B
E
，根
据
AB=AE-BE
即可列出方程求得
x
的值，再在直角
△
BQE
中利用三角函数求得
QE
的长，则
PQ
的长度即可求解．
试题解析：延长
PQ
交直线
AB
于点
E
，
，
（
1
）
∠
BPQ=90°
-60°
=30°
；
（
2
）设
PE=x
米．
在直角
△
APE<
/p>
中，
∠
A=45°
，
则
AE=PE=x
米；
∵
∠
PBE=60°
∴
∠
BPE=30°
在直角
△
BPE
中，
BE=
∵
AB=AE-
BE=6
米，
则
x-
3
3
PE=
< br>x
米，
3
3
3
x=6
，
3
解得：
x=9+3
3
．
则
BE=
（
3
3
+3
）米．
在直角
△
BEQ
中，
QE=<
/p>
3
3
BE=
（<
/p>
3
3
+3
）
=
（
3+
3
）米．
3
3
∴
PQ=PE-QE=9+3
3
-
（
3+
3
）
=6+2
3
≈9
（米）．
答：电线杆
P
Q
的高度约
9
米．
考点：解直角三角形的应用
-
仰
角俯角问题．
< br>2
．
如图，在平行四边形
ABC
D
中，
，
与
交
于点
，连接
，
.
的值
.
（
1
）求证：四边形
（
2
）若
，
是菱形；
，
，求
平分
，交
于点
，
平分
，交
于点
【答案】（
1
）证明见解析
（
2
）
【解析】
< br>
试题分析：（
1
）根据
AE
平分
∠
BAD<
/p>
、
BF
平分
∠<
/p>
ABC
及平行四边形的性质可得
AF=A
B=BE
，
从而可知
ABEF
为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形
（<
/p>
2
）由菱形的性质可知
AP
的长及
∠
PAF=60°
，
过点
P
作
PH
⊥
AD
于
H
，
即可得到
PH
、
DH
< br>的长，从而可求
tan
∠
ADP
试题解析：
(1)
< br>∵
AE
平分
∠
< br>BAD BF
平分
∠
ABC
∴
∠
BAE
=
∠
EAF
∠
ABF=
∠
EBF
∵
AD//BC
∴
∠
EAF=
∠
< br>AEB
∠
AFB=
∠
EBF
∴
∠
BAE=
∠
AEB
∠
AFB=
∠
ABF
∴
AB=BE
AB=AF
∴
AF=AB=BE
∵
AD//BC
∴
ABEF
为平行四边形
又
AB=BE
∴
ABEF
为菱形
（
2
）作
PH
⊥
AD
于
H
< br>
由
∠
ABC=60°
而已（
1
）可知
∠
PAF=60°
，
PA=2
，则有
PH=
∴
tan
∠
ADP=
，
AH=1
，
∴<
/p>
DH=AD-AH=5
考点：
1
、平行四边形；
2
、菱形；
3
、直角三角形；
4
、三角函数
3
．
如图，
在
△
ABC
中，
∠
ABC=
∠
ACB
，以
AC
为直径的
⊙
O
分别交
AB
、
BC
于点
M
、
N
，点
P
在
AB
的延长线上，且
∠
CAB=2
∠
BCP
．
（
1
）求证：直线
CP
是
⊙
O
的切线．
（
2
）若
BC=2
，
sin
∠
BCP
=
，求点
B
到
AC
的距离．
（
3
）在第（
2
< br>）的条件下，求
△
ACP
的周长
．
【答案】（
1
）证明见解析（
2
）
4
（
3
）
20
【解析】
试题分析：（
1
）利用直径所对的圆周角为直角，
2
∠
CAN=
∠
CAB
，
∠
CAB=2
∠
BCP
判断出
∠
ACP=90°
即可；
（
2
）利用锐角三角函数，即勾股定理
即可．
试题解析：（
1
）
∵
∠
ABC=
∠
ACB
，
∴
AB=AC
，
∵
AC
为
⊙
O
的直径，
∴
∠
ANC=90°
，
∴
∠
CAN+
∠
ACN=90°
，
2
∠
BAN=2
∠
CAN=
∠
CAB
，
∵
∠
CAB=2
∠
BCP
，
∴
∠
BCP=
∠
CAN
，
∴
∠
ACP=
∠
ACN+
∠
BCP=
∠
ACN+
∠
CAN=90°
，
∵
点
D
在
⊙
O
上，
∴
直线
CP
是
⊙
O
的切线；
（
2
）如图，作
B
F
⊥
AC
∵
AB=AC
，
∠
ANC=90°
，
∴
CN=
CB=
，
，
∵
∠
BCP=
∠
CAN
，
sin
∠
BCP=
∴
sin
∠
C
AN=
∴
∴
AC=5
< br>，
∴
AB=AC=5
，
设
AF=x
，则
CF=5
﹣
x<
/p>
，
，
在
Rt
△<
/p>
ABF
中，
BF
2
=AB
2
﹣
AF
2
=25
﹣
x
2
，
在
Rt
△
CBF
中，
BF
2
=BC
2
﹣
CF
2
=2O
﹣（
5
﹣
x
）
2
，
∴
25
﹣
x<
/p>
2
=2O
﹣（
5
﹣
x
）
2
，
∴
x=3
，
∴
BF
2
=2
5
﹣
3
2
=1
6
，
∴
BF=4
，
即点
B
到
AC
的距离为
4
．
考点：切线的判定
4
．
在矩形
ABCD
中，
AD
＞
AB
，点
P
是
CD
边上的任意一点（不含
C
，
< br>D
两端点），过点
P
作
PF
∥
BC
，交对角线
BD
于点
F
．
（
1
）如图
1
，将
△<
/p>
PDF
沿对角线
BD
翻折得到
△
QDF
，
QF
交
AD
于点
E
．求证：
△
DEF
是等
腰三角形；
（
2
）如图
2
，将
△
PDF
绕点
D
逆时针方向旋转得到
△
P'DF
'
，连接
P'C
，
F'B
．设旋转角为
α
（
0°
＜
α
＜
180°
）．
①
若
0°
＜
α
＜
∠
BDC
，即
DF'
在
∠
BDC<
/p>
的内部时，求证：
△
DP'C
∽
△
DF'B
．
②
如图
3
，若点
P
是
CD
的中点，
△
DF'B
能
否为直角三角形？如果能，试求出此时
tan
∠
DBF'
的值，如果不能，请说明理由．
【答案】（
1
）证明见解析；（
< br>2
）
①
证明见解析；
②
【解析】
【分析】（
1
）根据翻折的性质以及平行线的性质可知
∠
DFQ=
∠
ADF
，所以
△
DEF
是等腰三<
/p>
角形；
（
2<
/p>
）
①
由于
PF<
/p>
∥
BC
，所以
△
DPF
∽
△
D
CB
，从而易证
△
DP′F′
∽
△
DCB
；
②
由于
△
DF'B
是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内
角进行分
类讨论．
【详解】（
1
）由翻折可知：
∠
DFP=
∠
DFQ
，
< br>
∵
PF
∥
BC
，
∴
∠
DFP=
∠
ADF
，
∴
∠
DFQ=
∠
ADF
，
∴
△
DEF
是等腰三角形；
（
2
）
①
若
0°
＜
α
＜
∠
BDC
，即
DF'
在
∠
BDC
的内部时，
∵
∠
P′DF′=
∠
PDF
，
∴
∠
P′DF′
﹣
∠
F′DC=
∠
PDF<
/p>
﹣
∠
F′DC
，
∴
∠
P′D
C=
∠
F′DB
，
由旋转的性质可知：
△
DP′F
′
≌
△
DPF
，
∵
PF
∥
BC
，
∴<
/p>
△
DPF
∽
△<
/p>
DCB
，
∴<
/p>
△
DP′F′
∽
△
DCB
∴
1
3
.
或
2
3<
/p>
DC
DP
'
<
/p>
，
DB
DF
'
∴
△
DP'C
∽
△
DF'
B
；
②
当<
/p>
∠
F′DB=90°
时，如图所示，
∵
DF′=DF=
∴
1
BD
，
2
DF
'
1<
/p>
，
BD
2
∴
tan
∠
DBF′=
DF
'
1
；
BD
2
当<
/p>
∠
DBF′=90°
，此时
DF′
是斜边，即
DF′
＞
DB
，不符合题意；
当
∠
DF′B=90°
时，如
图所示，
1
BD
，
<
/p>
2
∴
∠
DBF′
=30°
，
∵
DF′=DF=
∴
tan
∠
DBF′=
3
.
3
【点睛】本题考查了相似三角形的
综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相
似三角形的性质以及判定等知识，
综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定
理、运用分类思想进行讨论是解题
的关键
.
5
．
在等腰
△
ABC
中，
∠
B=90°
，
AM
是
△
ABC
的角平分线，过点
M
作
MN
⊥
AC
于
点
N
，
∠
EM
F=135°
．将
∠
EMF
绕点
M
旋转，使
∠
EMF
的
两边交直线
AB
于点
E
，交直线
< br>AC
于点
F
，请解答下列问题：
（
1
）当<
/p>
∠
EMF
绕点
M
旋转到如图
①
的位置时，求证：
BE+CF=BM
；
（
2
）当
∠
EMF
绕点
M
旋转到如图
②
，图
③
的位置时，请分别
写出线段
BE
，
CF
< br>，
BM
之间
的数量关系，不需要
证明；
（
3
）在（
1
）和（
2
）的条件下，
tan
∠
BEM=<
/p>
，
AN=
+1
，
则
BM=
，
CF=
．
【答案】（
1
）证明见解析（
2
）见解析（
3
）
1
，
1+
【解析】
【分析】
或
1
﹣
(1)
由等腰
△
A
BC
中，
∠
B=90°
，
AM
是
△
< br>ABC
的角平分线，过点
M
作<
/p>
MN
⊥
AC
于点
N
，可得
BM=MN
< br>，
∠
BMN=135°
，又
∠
EMF=135°
，可证明的
△
BME
≌
△
NMF
，可得
BE=NF
，
NC=NM=BM
进而得出结论；
（
2
）
①
如图
②
时，同（
1
）可证
△
BME
≌
△
NMF
，可得
< br>BE
﹣
CF=BM
，
②
如图
③
时，同（
1
）可证
△
BME
≌
△
NMF<
/p>
，可得
CF
﹣
B
E=BM
；
(3)
在
Rt
△
ABM
和
Rt
△
ANM
中，
，
可得
Rt
△
ABM
≌
Rt
△
ANM
，后分别
求出
AB
、
AC
、
CN
、
BM
、
B
E
的长，结合（
1
）（
2
）的
结论对图
①②③
进行讨论可得
CF
的长
.
【详解】
（
1
）证明：
∵
< br>△
ABC
是等腰直角三角形，
∴
∠
BAC=
∠
C=45°
，
∵
AM
是
∠
BAC
的平分线，
MN
⊥
AC
，
∴
BM=MN
，
在四边形<
/p>
ABMN
中，
∠
，
BMN=360°
﹣
90°
﹣
90°
﹣
45°
=135°
，
∵
∠
ENF=135°
，，
∴
∠
BME=
∠
NMF
，
∴
△
BME
≌
△
NMF
，
∴
BE=NF
，
∵
MN
⊥
AC
，
∠
C=45°
，<
/p>
∴
∠
CMN=
∠
C=45°
，
∴
NC=NM=BM
，
∵
CN=CF+NF
，
∴
BE+CF=BM
；
（
2
）针对图
2
，同（
1
）的方法得，
△
BME
≌<
/p>
△
NMF
，
<
/p>
∴
BE=NF
，
∵
MN
⊥
AC
，
∠
C=45°
，
∴
∠
C
MN=
∠
C=45°
，
∴
NC=NM=BM
，
∵
NC=NF
﹣
CF
，
∴<
/p>
BE
﹣
CF=BM
；
针对图
3
，同（
1
）的方法得，
△
BME
≌
△
NMF
，
∴
BE=NF<
/p>
，
∵
MN
⊥
AC
，
∠
C=45°
，
∴<
/p>
∠
CMN=
∠
C
=45°
，
∴
NC=NM=BM
，
∵
NC=CF
﹣
NF
，
∴
CF
﹣
BE=BM
；
（<
/p>
3
）在
Rt
△<
/p>
ABM
和
Rt
△
ANM
中，
∴
Rt
△
ABM
≌
Rt
△
ANM
（
HL
），
∴
AB=AN=
∴
AC=
+1
，
+1
，
+1
）
=1
，
，
=1
，
=
=
，
，
﹣（
+1
﹣
CN=
在
R
t
△
ABC
中，
AC=AB=
AB=2+
∴
CN=A
C
﹣
AN=2+
∴
BM=BC
﹣
CM=
，
在
Rt
△
CMN
中，
CM=
在
Rt
△
BME
中，<
/p>
tan
∠
BEM=
∴
BE=
，
∴
①
由（
1
）知，如图
1
，
BE+CF=BM
，
∴
CF=BM
﹣
BE
=1
﹣
，
②
由（
2
）知，如图
2
，由
tan
∠
BEM=
∴
此种情况不成立；
③
由（
2
）知，如
图
3
，
CF
﹣
BE=BM
，
∴
CF=BM+BE=1+
故答案为
1
，
1+
【点睛】
，
或
1
﹣
．
本题
考查三角函数与旋转与三角形全等的综合，难度较大，需综合运用所学知识求解
.
6
．
如图，湿地景区岸边有三个观景台
位于
(1)
求
点的南偏西
的面积；
的中点
处修建一个湖心亭，并修建观景栈道
.
试求
、
间的
方向，
、
、
.
已知
米，
方向
.
米，
点
点位于
点的南偏东
(2)
景区规划在线段
距离
.(
结果精确到
(
参考数据：
，
米
)
，
，
，
，
，
)
【答案】（
1
）
560
000
（
2
）
565.6
【解析】
试题分析：（
1
）过点
（<
/p>
2
）连接
，过点
作
作
作
交
交<
/p>
的延长线于点
点，则
，
< br>
，，然后根据直角三角形的内角
.
然后根据中点的性质和余
和求出
∠
CAE
，再根据正弦的性质求出
CE
的
长，从而得到
△
ABC
的面积；
，垂足为
弦值求出
BE
、
AE
的长，再根据勾股定理求解
即可
.
试题解析：
< br>(1)
过点
在
所以
所以
(2)
连接
因为
所以
是
，过点
作
，垂足为
中，
米
.
(
平方米
).
点，则
.
的延长线于点
，
中点，
米，且
米，
为
中点，
所
以
所以
米
.
米，由勾股定理得，
米
.
答：<
/p>
、
间的距离为
米
.
考点：解直角三角形
7
．
问题探究：
（一）新知学习：
圆内接四边形的判
断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边
形
EFGH
的对角互补，那么四边形
EFGH
的四个顶点
E
、
F
、
G
、
H
都在同个圆上）．
（二）问题解决：
已知
⊙
O
的半径为
2
，
AB
，
CD
是
⊙
O
的直径．
P
是
的垂线，垂足分别为
N
，
M
．
（
1
）若直径
AB
⊥
CD
，对于
上任意一点
P
（不与
B
、
C
重合）（如图一），证明四边形
PMON
内接于圆，并求此圆直径的长；
（
2
）若直径
AB
⊥
CD
，在点
P<
/p>
（不与
B
、
C<
/p>
重合）从
B
运动到
C
的过程汇总，证明
MN
的长
为定值，并求其定值；
（
< br>3
）若直径
AB
与
CD
相交成
120°
角．<
/p>
①
当点
P
运动到
的中点
P
1
时（如图二），求
MN
的长；
②
当点
P
（不与
B
、
C
重合）从
B
运动到
C
的过程中（如图三），证明
MN
的长为定值
．
（
4
）试
问当直径
AB
与
CD
< br>相交成多少度角时，
MN
的长取最大值，并写出其最大值
．
上任意一点，过点
P
分别作
AB
，
CD
【答案】（
1
）证明
见解析，直径
OP=2
；
（
2
）证明见解析，
MN
的长为定值，该定值为
2
；
（
3
）
①MN=
；
②
证明见解析；<
/p>
（
4
）
MN
取得最大值
2
．
【解析】
试题分析：（
1
）如图一，易证
∠
PMO+
∠
PNO=180°
，从而可得四边形
PMON
内接于圆，直
径
OP=2
；
（
2
）如图一，易证四边形
PMON
是矩形，则有
MN=OP=2
，问题得以解决；
（
3
）
①
如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得<
/p>
∠
COP
1
=<
/p>
∠
BOP
1
=6
0°
，根据圆内接四边形
的对角互补可得
∠
MP
1
N=60°
．根据角平分线的性质可得
P
1
M=P
1
N
，从而得到
△
P
1
MN
是等
边三角形，则有
MN=P
1
M
．然后在
Rt
△
P
1
MO
运用三角函数就可解决问题；
②
设四边形
PMON
的外接圆为
⊙
O′
，连接
NO′
并延长，交
⊙
O′
于点
Q
，连接
QM
，如图三，根据圆周角
定理可得
∠
QMN=90°
，
∠
MQN=
∠
MPN=
60°
，在
Rt
△
QMN
中运用三角函数可得：
MN=QN•sin
∠
MQN
，从而可得
M
N=OP•sin
∠
MQN
，由此即可
解决问题；
（
4
）由（
3
）
②
中已得结论
MN=OP•sin
∠
MQN
可知，当
∠
MQN=90°
时，
MN
最大，问题
得以解决．
试题解析：（
1
）如图一，
∵
PM
⊥
OC
，
PN
⊥
OB
，
∴<
/p>
∠
PMO=
∠
P
NO=90°
，
∴
∠
< br>PMO+
∠
PNO=180°
，
∴
四边形
PMON
内
接于圆，直径
OP=2
；