专题08 三角形中的边角关系(知识点考点大串讲)解析版
大禹陵-
专题
08
三角形中的边角关系（知识点考点大串讲）
< br>【知识点
--
思维导图】
◉
知识点一：三角形的认识
例
1
．
（
2020·
湖北房县初一期末）在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的<
/p>
3
个三角形，让同学们根据它们的边
长进
行分类，其中搭配错误的是（
）
A
．①
——
不等边
三角形
C
．③
——
等边三角形
【答案】
D
B
．②③
——
等腰三角形
D
．②③
——
等边三角形
三角形按边可分为等腰三角形、不等边三角形，其中等边三角
形是一种特殊的等腰三角形，它的三边都相等；
根据三角形按
边进行分类的方法可知
A
属于不等边三角形，②、③属于等腰三
角形，其中③也属于等边三角形，至
此即可解答
根据三角形按边进行分类，可知①属于不等边三角形，②、③属于等腰三角形
,
其中③也属于等边三角形，所以搭配错误的是
D.
故选
D
【点睛】
此题考查三角形的性质，解
题关键在于知道三角形按边可分为等腰三角形、不等边三角形，其中等边三角形是一种
特
殊的等腰三角形，它的三边都相等；
1
/
12
练习
1
、<
/p>
（
2020·
全国初二课时练习）如图所
示，图中有
____________
个三角形；其中以
AB
为边的三角形有
___________
_
；含
ACB
的三角形有
____________
；在
< br>BOC
中，
OCB
的对角是
____________
，
OCB
的对
边是
____________
．
【答案】
8
△
ABO
,
△
ABC
,
△
ABD
△
BOC
,
△
ABC
OBC
OB
根据三角形的定义和角的定义判断即可；
【详解】
由题可得，图中的三角形有
△
AOD
，
△
AOB
，
△
B
OC
，
△
DOC
，
△
BAD
，
△
ABC
，
△
BCD
，
△
ADC
< br>，共
8
个；
< br>以
AB
为边三角形有
△
ABO
,
△
ABC
,
△
ABD
；
含
ACB
的三角形有
△
BOC
,
△
ABC
；
在
BOC
中，
OCB
的对角是
OBC
，
OCB
的对边是
OB
；
故答案是：
8
；
△
ABO
,
△
A
BC
,
△
ABD
；
△
BOC
,
△
ABC
；
OB
；
【点睛】
本题主要考查了三角形的概念应用，准确理解是解题的关键．
练习
2
、
（<
/p>
2019
春•三明期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡
，其中不能判断三角形类型的是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析
】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可．
【答案】解：
A
、知道两个角，可以计算出第三
个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B
、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
C
、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D
、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：
C
．
【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的分类
<
/p>
练习
3
、
（
2019·
山西初一月考）下列说法正确的是（
）
1
/
12
A
．有一个内角是锐角的三角形是锐
角三角形
B
．钝角三角形的三个内角都是钝角
C
．有一个内角是直角的三角形是直角三角形
D
．三条边都相等的三角形称为等腰三角形
【答案】
C
根据三角形的定义进行判断即可．
A
.
有一个内角是锐角的三角形可以是锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，故
A
错误；
B.
钝角三角形只有一个内角为钝角，其余两个内角为锐角，故
B
错误；
C.
有一个内
角是直角的三角形是直角三角形，故
C
正确；
< br>
D.
三条边都相等的三角形称为等边三角形，故
D
错误．
故选：
C
．
【点睛】
本题考查了三角形的定义，
熟知各个类型三角形的定义是解题的关键．
◉
知识点二、
三角形的个数问题
【例
2
】
（
< br>2020·
全国初二课时练习）如图所示的图形中，三角形共有
< br>(
)
< br>A
．
3
个
【答案】
C
B
< br>．
4
个
C
．
5
个
D
．
6
个
根据三角形的概念写出图中三角形，即可解答
.
根据三角形的概念可知题图中三角形有：
ABD<
/p>
,
ABC
,<
/p>
ADC
,
<
/p>
ADE
,
BD
E
，共
5
个，
故选
C
．
【点睛】
此题考查三角形的概念，解题关键在于结合图形进行解答
. <
/p>
练习
1
、
（
2020·
全国初二课时练习）如图，在
A
BC
中，
A
1
，
A
2
，
A<
/p>
3
，
，
A
n
为
AC
边上不同的
n
个点，首先连接
BA
1
，图中出现了
3
个不同的三
角形，再连接
BA
2
，图中便有
6
个不同的三角形
……
1
/
12
<
/p>
(
1
)
完成下表
：
连接点的个数
出现三角形个数
1
2
3
4
5
6
(
2
)
若出现了
45
个三角形，则共连接了多少个点？
(
3
)
若一直连接到
A
n
，则图中共有多少个三角形？
【答案】
(
1
)
3
，
6
，<
/p>
10
，
15
，<
/p>
21
，
28
；<
/p>
(
2
)
8
；
(
3
)
1
n
1
n
< br>2
2
(
1
)
根据图形，可以分析：数三角
形的个数，其实就是数
AC
上线段的个数．所以当上面有
3
个分点时，有
6+4=10
；
4
个分点时，有
10+5=
15
；
5
个分点时，有
15+6=21
；
6
个分点时
，有
21+7=28
；
7
个分点时，有
28+8=36
；
(
2
)
若出现
45
个三角形，根据上述规律，则有
8
个分点；
(
< br>3
)
若有
n
个分点，则有
n
1
n
n
< br>
1
1
< br>
(
1
)
连接点的个数
出现三角形个数
< br>(
2
)
由
(
1
)
中表格：
7
个分点时，有
28+8=36
；
8
个分点时，有
36+9=45
；
∴出现了
45
个三角形，则共连接了
8
个点；
(
3
)
设连接到
AA
n
时，图中有
a
n
个三角
形
(
n
为正整数
)
．
观察图形和
< br>(
1
)
中表格，可知：
a
1
=2+1=3
，<
/p>
a
2
=3+2+1=3
< br>，
a
3
=4+3+2+1=10
，
∴
a
n
n
1
n
n
1
1
，
1
3
2
6
3
10
4
15
5
21
6
28
1
(
n
1
)(
n
2
)
．
2
=
1
n
1
n
< br>
n
1
1
1
2
3
n
1
2
1
(
n
1
)(
n
2
)
，
2
1
/
12
∴若一直连接到
A
< br>n
，则图中共有
【点睛】
1
(
n
1
)(
n
2
)
个三角形．
2
本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找
出变化规律，注意数三角形的个数实际上就是
数线段的条数．
◉
知识点三：三角形的分类
例
3
（
2020·
全国初二课时练习）设
M
表示直角三角形，
N
表示等腰三角形，
P
表示等边三角形，
Q
表示等腰直角三
< br>角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（
）
A
．
B
．
C
．
【答案】
C
D
．
根据各类三角形的概念即可解答
.
解
：根据各类三角形的概念可知，
C
可以表示它们彼此之间的包含
关系．
故选：
C
．
【点睛】
本题考查各种三角形的定义
，要明白等边三角形一定是等腰三角形，等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三
角
形
.
练习
1
、
（
2020·
全国初二课时练习）<
/p>
下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，
其中不能判断三角形类
型的是
（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【答案】
C
根据三角形的分类：直角
三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可．
A
选项，知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
< br>
B
选项，露出的角是直角，因此是直角三角形；
1
/
12
C<
/p>
选项，露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D
选项，露出的角是钝角，因此是钝角三角形，
故选：
C
．
【点睛】
本题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的分类．
练习
2
、
（
2020·
全国初二课时练习）若
△
ABC
的边长分别为
a
，<
/p>
b
，
c
，且（<
/p>
a
＋
b
－
c
）
（
a
－
c
）＝
0
，则
△
ABC
一定
是（
）
A
．等腰直角三角形
B
．等边三角形
【答案】
C
根据题意得出
a
b
c
0,
a
< br>
c
0
，即可进行判断．
∵（
a
＋
b
－
c
）
（
a
－
< br>c
）＝
0
，
C
．等腰三角形
D
．直角三角形
a
b
c
0,
a
c
0
a
b
c
,
a
c
∴
△
ABC
一定是等腰三角形
故选：
C
．
【点睛】
本题主要考查三角形形状的
判断，掌握等腰三角形的定义是解题的关键
◉
知识点四：三角形的稳定性
例
4
．
（
2020·
全国初二课时练习）如图，工人师傅做了一个长方形窗框
ABCD
，
E
，
F
，
G
，
H
分别是四条边上的中
点，
为了稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在
(
)
A
．
G
，
H
两点处
【答案】
C
B
．
A
，
C
两点处
C
．
E
，
G
两点处
D
．
B
，
F
两点处
根据三角形的稳定性进行判断．
A<
/p>
选项：若钉在
G
、
H
两点处则构成了三角形，能固定窗框，故不符合题意；
<
/p>
B
选项：若钉在
A
、
C
两点处则构成了三角形，能固定窗框，故不符合题意；<
/p>
C
选项：若钉在
E
、
G
两点处则构成了两个四边形，
不能固定窗框，故符合题意；
1
/
12
D
选项：若钉在
B
、
F
两点处则构成了三角形，能
固定窗框，故不符合题意；
故选
C.
【点睛】考查三角形稳定性的实际应用．解题关键是利用了三角形的稳定性，判断是否稳
定则看能否构成三角形．
练习
1
、
（
2020·
全
国初二课时练习）如图所示的图形中具有稳定性的是（
）
A
．①②③④
【答案】
B
B
．①③
C
．②④
D
．①②③
根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
< br>解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，一个多边形从一个顶点出发引出的对角线将其分成
n
2
个
三角形，此时这个多边形就具有稳定性了，
图
①③
便具有稳定性，
【点睛】
此题考查了三角形的稳定性
和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．
◉
知识点五：三角形的三边关系
【例
5
】
（
2019
春•福州期中）用一根长为
10
cm
的绳子围成一个三角形，若所围成的三角形中一边的长
为
2
cm
，且另外两边长的值均为整数，则这样的围法有（
）
A
．
1
种
B
．
2
种
C
．
3
< br>种
D
．
4
种
【分析】根据三角形的两边之
和大于第三边，根据周长是
10
厘米，可知最长的边要小于
5
厘米，进而得出三条
边的情况．
【答案】解：∵三角形中一边的长为
2
cm
，且另外两边长的值均为整数，
∴三条边分别是
2
cm
、
4
cm
、
4
cm
．
故选：
A
．
【点睛】
本题主要考查了学生根据三角形三条边之间的关系解决
问题的能力．
在运用三角形三边关系判定三条线
段能否构成三角
形时并不一定要列出三个不等式，
只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即
可判定
这三条线段能构成一个三角形．
练习
1
、<
/p>
（
2020·
山东济南外国语学校初二期
末）如果一个等腰三角形的两边长为
4
、
9
，则它的周长为
(
)
A
．
17
B
．
22
C
．
17
或<
/p>
22
D
．无法计算
1
/
12
【答案】
B
求等腰三角形的周长，即
是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为
4
和
9
，而没
有明确腰、底
分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：
（
1
）若
4
为腰长，
9
为底
边长，
由于
4+4
< br>＜
9
，则三角形不存在；
（
2
）若
9
为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为
9+9+4=22
．
故选：
B
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形
，涉及分类讨论的思想方
法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成
检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题
意的舍去．
练习
2
、
（<
/p>
2020·
全国初二课时练习）满足下列条件的三条线段
a
,
b
,
c
能构成三角形的是（
）
A
．
a
:
b
:
c
1:
2:3
C
．
a
3,
b
4,
c
5
【答案】
C
根据三角形三条边的关系
计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
A.
设
a
,
b
,
c
分别为
x
,2
x
,3
x
(
x
0)
，则有
a
< br>b
c
，不符合三角形的三边关
系，故不能构成三角形；
B.
当
a
b
4
时，
c
5,4
5
，不符合三角
形的三边关系，故不能构成三角形；
C.
当
a
3
，
b
4
，<
/p>
c
5
时，
3
4
5
，符合三角形的三边关系，故能构成三角形；
D.
设
a
,<
/p>
b
,
c
分别为<
/p>
x
,
x
,2
x
(
x
0)
，则有
a
b
c
，不符合三角
形的三边关系，故不能构成三角形．
故选
C
．
<
/p>
【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键
．
练习
3
、
（
2020·
全国初二课时练习）已知
三角形的三边长分别为
4
，
a
，
8
，那么下列在数轴上表示该三角形的第三<
/p>
边
a
的取值范围正确的是（
）
A
．
B
．
B
．
a
b
4,
a
b
c
9
D
．
a
:
b
:
c
1:1:
2
C
．
【答案】
A
D
．
根据三
角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得
8-4
，根据不等式组解集的表示方法即可
1
/
12
得答案．
∵三角形的三边长分别为
4
，
a
，
8
，
∴
8
4
a
8
4
，即
4
a
12
，
∴在数轴上表示为
A
选项．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系
及不等式组的解集的表示方法，三角形任意两边的和大于第三边，任意
两边的差小于第三
边；根据三角形的三边关系列出不等式组是解题关键．
三角形的有关线段
◉
知识点六：
与三角形有关的线段
例
6
（
2020·
全国初二课时练习）如图，在
ABC
中，若
AD
BC
，点
E
是
BC
边上一点，且不与点
B
，
C
，
D
重
合，
则以
AD
为高的三角形的个数为（
）
A
．
4
【答案】
C
B
．
5
C
．
6
D
．
7
根据三角形高的定义即可求解．
解：
∵在
ABC
中，
AD
< br>
BC
，点
E
< br>是
BC
边上一点，且不与点
B<
/p>
，
C
，
D
重合，
∴
AD
是
△
ABD
，
ABE
，
ABC
，
ADE
，
ADC
，
A
EC
的高，共
6
个，
< br>
故选
C
．
【点睛】
此题主要考查三角形的高，解题的关键是熟知三角形高的定义．
练习
1
．
（<
/p>
2020·
全国初二课时练习）
在直角三
角形
ABC
中，
ABC
90
< br>，
AB
3
，
BC
4
，
AC
5
，
则
ABC
的三条高之和为（
）
A
．
8.4
【答案】
B
过点
B
作
AC
边上的高
BD
，根据直角三角形的面积公式即可求出
BD
，从而求出结论．
解：如图，过点
B
作
AC
边上的高
BD
．
B
．
9.4
C
．
10.4
D
．
11.4
ABC
9
0
，
BD
AC
，
1
/
12
1
1
BD
AC
AB
BC
，即<
/p>
BD
5
3
4
，
2
2
解得
BD
2.4
．
ABC
的三条高之
和为
3
4
2.4
9.4
，
故选
B
．
【点睛】此题考查的是三角形的高和三角形的面积公式，掌握
三角形高的定义和三角形的面积公式是解决此题的关
键．
练习
2
、<
/p>
（
2020·
陕西初三三模）若线段
AP
,
AQ
分别是
ABC
边上的高线和中线，则（
）
A
．
AP
AQ
【答案】
D
根据垂线段最短可得出答案．
如图所示，
B
．
AP
AQ
C
．
AP
AQ
D
．
AP
AQ
∵
AP
⊥
BC
∴根据垂线段最短可知：
AP≤AQ
（
注：当
AB=AC
时，
AP=AQ
）
，
故选：
D
．
【点睛】本题考查三角形中的有关线段，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
练习
3
（
2020·
陕西碑林西北工业大学附属中学初二期末）如图，在
Rt
ABC
中，
CD
、
CE
分别是斜边上的中线、
高线．若∠
A
=
25°
，则∠
DCE
的大小为（
）
A
．
50°
【答案】
B
B
．
40°
C
．
30°
D
．
25°
1
/
12
根据直角三角形的性质得到
CD
=
AD
1
AB
，
根据等腰三角形的性质得到∠
DCA
=∠
A
=
25°
，
由三角形外角的性质得
2
到∠
CDE
=∠
A+
∠
DCA
=
50°
，根据三角形的内角和即可得到结论．
【详解】
解：∵在
< br>Rt
△
ABC
中，
CD
是斜边上的中线，
∴
CD
=
AD
1
AB
，
<
/p>
2
∴∠
DCA
=
∠
A
=
25°
，
∴∠
CDE
=∠
A+
∠
DCA
< br>=
50°
，
< br>∵
CE
是斜边上的高线，
∴
CE
⊥
AB
，
∴∠
CED<
/p>
=
90°
，
<
/p>
∴∠
DCE
=
9
0°
﹣
50°
=
40°
，
故选：
B
．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形外角的性质．熟练掌握直角三角形
斜边上的中线等于斜边的
一半是解题的关键．
练习
4
、
（
< br>2020·
辽宁双台子初三一模）如图，在
ABC
中，点
D
在边
BA<
/p>
的延长线上，∠
ABC
的平分线和∠
DAC
的平分线相交于点
M
，若∠
BAC
＝
80°
，∠
AB
C
＝
40°
，则∠
M
的大
小为（
）
A
．
20°
【答案】
C
B
．
25°
C
．
30°
D
．
35°
先由
BAC
80
,
结合角平分线求解
MAC
,
MAB
,
再利用角平分线与
A
BC
40
,
求解
ABM
，
利用三角
形的内角和定理可得答案．
解：∵∠
BAC=80°
，
∴
DAC
100
,
AM
平分
DAC
,
1
MA
C
DAC
50
,
2
BA
M
BAC
MAC
130
,
1
/
12
<
/p>
∠
ABC=40°
，
BM
平分
ABC
，
∴∠
< br>ABM=20°
，
∴∠
M=
180
20
130<
/p>
30
,
故选：
C
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，邻补角的定义，熟记定理和
概念是解题的关键．
练习
5
、
（
2020·
广西初
三二模）如图，
BD
/
/
EF
，
AE
与
BD
交于点
C
，
B
30
，
A
< br>
75
，则
< br>
E
的度数
为（
）
A
．
135
B
．
125
C
．
115
D
．
105
【答案】
D
根据题意直接利用三角形
的外角性质得出∠
ACD
度数，再利用平行线的性质分析得出答
案．
【详解】
解：∵∠
B=30
°，∠
A=75
°，
∴∠
A
CD=30
°
+75
°
=105
°，
∵
BD
∥
EF
，
∴∠
E=
∠
ACD=105
°．
故选：
D
．
本题主要考查平行线的性质以及三角形的外角，熟练并正确掌握平行线的性质是解题的关
键．
◉
知识点七：三角形内角和定理的应用
【例
7
】
（<
/p>
2019
春•石景山区期末）如图，
BD
平分∠
ABC
．∠
ABD
＝∠
ADB
．
（
1
）求证：
AD
∥
BC
；
（
2
）若
BD
⊥
CD
，∠
BAD
＝
α
，求∠
DCB
的度数（用含
α
的代数式表示）
．
1
/
12
【分析】
（
1
）想办法证明∠
ADB
＝∠
DBC
即可．
（
2
）利用平行线的性质，三角形的内角和
定理即可解决问题．
【答案】
（
1
）证明：∵
BD
平分∠
ABC
，
∴∠
ABD
＝∠
CBD
∵∠
ABD
＝∠
ADB
，
∴∠
ADB
＝∠
DBC
，
∴
AD
∥
BC
．
（<
/p>
2
）解：∵
AD
∥
BC
，且∠
BAD
< br>＝
α
，
∴∠
ABC
＝
180
°﹣
α
，
< br>∴∠
DBC
＝
∠
ABC
＝
90
°﹣
α
，
∵
BD
⊥
CD
，
∴∠
BDC
＝
90
°
∴∠
C
＝
90
°﹣（
90
°﹣
α
）
＝
α
．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理
，
角平分线的定义等知识，
解题的关键是熟练掌握基本知识，<
/p>
属于中考常考
题型．
< br>练习
1
、
（
2020·
全国初二课时练习）在我们的生活中处处有数学的身影，请看图，折叠一
张三角形纸片，把三角形
的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一
定理
_____
．
1
/
12