中考数学复习指导：任意三角形三条高的长度关系及其应用
余年寄山水
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2021年02月09日 05:18
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雷雨教案-
任意三角形三条高的长度关系及其应用
三角形三边之问的关系是大家是非常熟悉的性质，即“任意两
边之和大于第三边，任
意两边之差小于第三边”
．其实任意三角
形的三条高之间的长度关系也有着密切的联系．
设三角形三条
边分别是
a
、
b
、
c
，对应边上的高分别为
h
a
、
h
b
、
h
c
不失一般性，令<
/p>
a
≥
b
≥
c
，由面积关系
ah
a
＝
bh
b
＝
ch
c
，知
h
a
≤
h
b
≤
h
c
，
b
h
c
h
c
,
< br>a
c
c
．
h
b
h
a
再由
b
－<
/p>
c
＋
c
，可得
h
c
h
h
c
c<
/p>
c
c
c
c
c
,
h
b
h
a
h
b
化简整理，得
1
1
1
1
1
< br>
h
b
h
c
h
a
h
b
h
c
同理可得
1
1
1<
/p>
1
1
，
h
a
h
c
h
b
h
a
h
c
1
1
1
1
1
<
/p>
．
h
a
h
b
h
c
h
a
h
b
这就是：任意三角形两条高的倒数
和大于第三条高的倒数，任意三角形两条高的倒数
差小于第三条高的倒数．
下面举例说明上述结论在解题中的应用．
例
1
试判
断长度分别是
1
、
2
< br>、
3
的三条线段能否作为一个三角形的三条高．
解
根据三角形三条高的长度关系，如果长度为
l
、
2
、
3
的
三条线段可以作为一个三
角形的三条高，那么必须有
1
1
1
1
1
1
1
< br>．但
，所以长度分别为
1
、
2
、
3
的三条
1
2
2
3
1
2
3
线段不能作为一个三角形的三条高．
例
2
已知△
ABC
的两条高线的长分别为
5
和
20
，若第三条高线的长也是整数，则第<
/p>
三条高线长的最大值是
(
)
1