广义垂足三角形的面积关系
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广义垂足三角形的面积关系
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江苏省高港中等专业学校
杨承毅
由于各种文献的差异，在本文
中广义垂足三角形定义为：以锐角三角形内任意一
点在其三边上的射影点为顶点的三角形
称为该点的广义垂足三角形
.
例如，
我
们知道三
角形的三条高交于一点（垂心）
，以三条高的垂足为顶
点的三角形，即是垂心的广义
垂足三角形
.
< br>一
、广义垂足三角形与原三角形面积之间的关系
.
定理
已知
A
BC
的外接圆
O
的半径为
R
，
在
ABC
内任取一点
T
，
由
T
向
ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
作垂线，垂足分别为
Q
、
P
、
S
，
QPS
就是点
T
关于
ABC
的广义
垂足三角形
，设
T
到圆心
O
的距离为
，则：
=
.
(1)
注
：在本文中作如下规定（以下不在说明）
< br>(1)
ABC
的三内角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
、
AC=b
、
AB=c
；
面积表示为
.
(2)
ABC
的外
心为
O
，外接圆半径为
R
；内心为
I
，内切圆半径为
r
；垂心为
H
；重心
< br>为
G.
(3)
表示点
T
关于
ABC
的广义垂
足三角形的面积
.
B
N
D
S
T
O
< br>A
M
C
A
S
H
Q
Q
B
B
K
2
G
3
S
H
3
H
K
1
C
A
H
2
K
< br>P
H
1
P
E
Q
G
1
O
K
3
P
图
(
1
)
图
(
2
)
图
(
3
)
G
< br>2
C
证明
<
/p>
如图
(1)
，连接
AT
、
BT
并延长分别交圆周于点<
/p>
D
、
E
，又连接
OT
，设直线
OT
分
别交圆周于点
M
、
N.
由已知有：
TP
AC
，
TS
AB
，
从而
A
、
P<
/p>
、
T
、
S
四点共圆，
∴
PST=
PAT.
①
同理：
B
、
S
、
T
、
Q
四点共圆，
∴
QST=
QBT.
②
又∵
PAT
与
CB
D
是同弧
CD
所对的圆周角，
从而
PAT=
CBD.
③
由①、②、③式，有
PST+
QST=
PAT+
QBT =
CBD+
QBT.
而
PSQ=
PST+
QST
< br>，
EBD=
CBD+
QBT
，∴
PSQ=
EBD.
由三角形的面积公式，
有
=
PS
QS
sin
PSQ
PS
QS
si
n
EBD.
④
又∵
AT
、
BT
分别是平面四边形
APTS
、
BSTQ
外接圆
的直径，∴由正弦定理，有
=
AT
，
=
BT.
即
PS=AT
sin
BAC
，
QS=BT
sin
ABC.
⑤
又
BDT
与
ACB
是同弧
AB
所对的圆周角，从而
BDT=
ACB
，在
BTD
中由正弦定理，
有
1
=
=
，
∴
sin
EBD
=
.
⑥
把⑤、
⑥式代入④式，有
=
PS
QS
sin
EBD
=
AT sin
BAC
BT
sin
ABC
=
AT
DT
sin
BAC
sin
ABC
sin
ACB.
由圆幂定理，得
AT
DT=MT
NT=
∴
(
显然
R
＞
).
=
)sin
BAC
sin
ABC
sin
< br>ACB.
，
sin
ABC
=
，
在
ABC
中，由正弦定理有：
< br>sin
BAC
=
∴
∴
=
=
< br>b sin
ACB
，而
.
即
(1)
式成立
.
=
b
sin
ACB
，
二、
锐
角三
角形中一些特殊点的广义垂足三角形与原三角形面积之间的关系
.
1.
内心的广义垂足三角形与原三角形面积之间的关系
.
推论
1
锐角
A
BC
的内心
I
关于
ABC
的广义垂足三角形的面积为
=
.
(2)
=
2Rr
，即
=
2Rr
，
.
证明
由三
角形的欧拉
(Euler)
公式有：
∴
又由公式
(1)
可得
< br>=
=
即推论
1
< br>成立
.
2.
垂心的广义垂足三
角形与原三角形面积之间的关系
.
推论
2
锐角
ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
上的高线分别为
AQ
、<
/p>
BP
、
CS
，<
/p>
垂足分别为
Q
、
P
、
S
，三高线的交点为
H(
即
ABC
的垂心
)
，则
QPS
就是垂
心
H
关于
ABC
的广义垂足三角
形，则
=2cosAcosBcosC
.
(3)
证明
如图
(
2)
，由已知显然有：
AS=bcosA
，
AP=ccosA
，
BQ=
ccosB
，
BS=acosB
，
CP=acosC
，
CQ=bcosC.
在
ASP
中，由余弦定理，有
=
+
2AS
AP
cosA=
+
2b
c
=
(
+
2bc
cosA).
在
ABC
中，由余弦定理有：
=
+
2
bc
cosA
，将此式代入上式，得
=
，即
PS
=
cosA.
同理可得：
PQ=ccosC.
由已知显然有：点
H
、
S
、
A
、
P
与点
H<
/p>
、
P
、
C
、
Q
分别四点共圆，
而
SPH
与
S
AH
是同弧所对的圆周角，∴
SPH=
SAH=
BC.
同理可得：
HPQ=
HCQ=
于是
而
=
BC.
∴
SPQ=
SPH+
HPQ =
BC.
csinB
cosAcosBcosC
，
=
PS
PQ
csinB
，∴
=
cosA
ccosC
2sinBcosB=
.
=2cosAcosBcosC
2