2020-2021郑州外国语学校高三数学上期末第一次模拟试题含答案
羌管悠悠霜满地-
2020-2021
郑州外国语学校高三数学上期末第一次模拟试题含答
案
一、选择题
x
y
2
0
y
4
1
．
设
x
,
y
满足约束条件
2
x
y
3
0
，则
的取值范围是
< br>x
6
x
y
0
A
．
[
3,
]
3
7
B
．
[
3,1]<
/p>
C
．
[
4,1]
D
．
(
,
3]
[1
,
)
2
．
若函数
y
＝
f
(
x
)
满足：集合
A
＝
{
f
(
n
)|
n
∈N
*
}
中至少有三个不同的数成等差数列，则称
函数
f
(
x
)
是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是
(
)
①
y
＝
2
x
＋
1
；②
y
＝
log
2
x
；③
y
＝
2
＋
1
；
< br>x
（
④
y
＝
sin
A
．
1
4
x
4
）
B
．
2
C
．
3
D
．
4
3
．
程大位《算法统宗》里有诗云“九百九
十六斤棉，赠分八子做盘缠
.
次第每人多十七，
要将第八数来言
.
务要分明依次弟，孝和休惹外人传.
”意为：
996
斤棉花，分别赠送给
8
个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多
17
斤，直到第八个孩子为止
.
分配时一定
要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（
）
A
．
65
B
．
184
C
．
183
D
．
176
4
．
设等比数列
{
a
n
}
的
前
n
项和为
S
n
，若
A
．
2
B
．
S
6
S
9
（
）
3
，
则
S
6
S
3
8
C
．
3
7
< br>3
D
．
3
5
．
“干支纪年法”是中国历法上
自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总
称，把干支顺序相配正好六十为
一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛
、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、
午、未、申、酉、戌、亥等十二个符
号叫地支，如公元
1984
年农历为甲子年，公元
1985
年农历为乙丑年，公元
1986
年农历为丙寅年，则公元
2047
年农历为
A
．乙丑年
B
．丙寅年
C
．丁卯年
D
．戊辰年
6
．
数列
a
n
,
b
n
为等差数列
，前
n
项和分别为
S
< br>n
,
T
n
，若
A
．
a
7
S
n
3n
2
（
）
，则<
/p>
T
n
2
n
b
7
D
．
41
26
B
．
23
14
C
．
11
7
11
6
7
．
在△
< br>ABC
中，若
tan
A
，
C
150
，
BC
1
，则△
ABC
的面积<
/p>
S
是
(
)
A
．
1<
/p>
3
3
3
8
B
．
3
3
4
C
．
3
3
8
D
．
3
3<
/p>
4
8
．
在
ABC
中，角<
/p>
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
．若<
/p>
ABC
为锐角三角形，且满足
sin
B
(1
2cos
C
)
2sin
A
cos
C
cos
A
sin
C
，则下列等式成立的是（
）
A
．
a
2
b
9
．
“
x
0
”是“
x
A
．充分不必要条件<
/p>
C
．充要条件
B
．
b
2
a
C
．
A
2
B
D
．
< br>B
2
A
1
2
”
的
x
B
．必
要不充分条件
D
．既不充分也不必要条件
10
．
已知数列
a
n
中，
a
1
1,
a
n
1
2
a
n
< br>
1
n
N
（
）
A
．
63
<
/p>
11
．
在
A
．
中，
B
．
61
，
B
．
，
,
S
为其前
n
项和，
S
n
5
的值为
C
．
62
，则
C
．
D
．
57
D
．
12
．
如图，为了测量山坡上灯塔
CD
的高度，某人从高为
h
=40
的楼
AB
的底部
A
处和楼
顶
B
处分别测得仰角为
=60
，
=30
o
，若山坡高为
a
=35
，则灯塔高度
是（
）
o
A
．
15
B
．
25
C
．
40
D
．
60
二、填空题
a
4
4
b
4
1
13
．<
/p>
若
a
,
b
R
，
ab
0
，则
的最小值为<
/p>
___________
.
ab
2
x
y
0
< br>，
2
2
14
．
已知
x
，
y
满足
y
0
，
，则
x
y
2
y
的取值范围是
__________
.
x
y
3
0
，
< br>
x
2
2
2
x
,
<
/p>
f
f
(
x
)
x
1
15
．
设函数
，对任意
，
4
m
f
(
x
)
f
(
x
1)
4
f
(
m
)
恒
3
m
成立，则实
数
m
的取值范围是
.
*
16
．
已知数列
a
n
满足：
a
1
1
，
a<
/p>
n
1
a
n
a
1
,
a
2
,
,
a
n
n
N
，记数列
< br>a
n
的前
n
项和为
S
n
，若对所有满足条件的
a
n
，
S
10
的最大值为
M<
/p>
、最小值为
m
，则
M
m
_
_____
.
17
< br>．
设
，
，若
，则
的最小值为
_____________
.
18
．
△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，若
acosB
＝
5bcosA
，
asinA
﹣
bsinB
＝
2sinC
，
则边
c
的值为
_______
．
19
．
在等比数列
中，
，则
__________
．
20
．
若无穷等比数列
{
a
n
}
的各项和为
2
，则
首项
a
1
的取值范围为
______
.
三、解答题
21
．
设函数
f
x
(1)
求
a
；
(2)
已知两个正数
m
，
n
满足
m
2
＋
n
2
＝
a
，求
2
1
x
1
＋
|
x
|(
x
∈<
/p>
R)
的最小值为
a
.
2
1
1
的最小值
.
m
n
22
．<
/p>
已知函数
f
x
x
2
x
a
x
R
（
1
< br>）若函数
f
x
的值域为
[0,
)
，求实数
a
的值；
（
2
）若<
/p>
f
x
0
对任意的
x
[1,
)<
/p>
成立，求实数
a
的取值范围。
23
．
已知锐角
ABC
的内角
A<
/p>
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且满足
2
sin
A
sin
C
1
cos
2
B
．
（
1
）若
a<
/p>
2
，
c
2
2
，求
b
；
（
2
）若
sin
B
14
，
a
3
，求
b
．
4
24
< br>．
在
ABC
< br>中
,
角
A
、
B
、
C
所
对的边分别为
a
、
b
< br>、
c
，角
A
、
B
、
C
的度数成等差
数列，
b
13
.
（
1
）若
3sin
C
4sin
A
，求
c
的值；
（
2
）求
a
c
的最大值
.
25
．
已知
a
，
b
，
c
分别为
ABC
内角
A
，
B
，
C
的对边，
2
a
sin
（
1
）求
B
；
（
2
）若
c
6
，
a
[2,6]
，求
sin
C
的取值范围．
26
．
在等比数列
a
< br>n
中，
a
1
1
，且
a
2
是
a
1
与
a
3
1
的等差中项
.
（
1
）求数列
a
n
的通
项公式；
（
2
）若数列
b
n
满足
b
n
2
B
A
2
b
cos
2
b
c
．
2
2
n
(
n
1)
a
n
1
（
n
N
*
），求数列
b
n
的前
< br>n
项和
S
n
.
n
(
n
1)
【
参考答案】
***
试卷处理标记，请不要删除
< br>
一、选择题
1
．
B
解析：
B
【解析】
【分析】
【详解】
先作可行域，而
y
4
y
4
表示两点
P
（
x,y
）与
A
（
-6,-4
）连线的斜率，所以
的取值范围
x
6
x
6
是
[
k
AD
,
< br>k
AC
]
[
3,1]
，选
B.
点睛：线性规划问题
，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还
是虚线，其次确定目
标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜
率、还是点到直线的
距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围
.
2
．
C
解析：
C
【解析】
①
y
＝
2
x
＋<
/p>
1
，
n
∈
N
*
，是等差源函数；
②因为
log
2
< br>1
，
log
2
< br>2
，
log
2
< br>4
构成等差数列，所以
y
＝
log
2
x
是等差
源函数；
③
y
＝
2
x
＋
1
不是等差源函数，因为若是，则
2(2
p
＋
1)
＝
(
2
m
＋
1)
＋
(2
n
＋
1)
，则
2
p
＋<
/p>
1
＝
2
m
＋
2
n
，所以
2
p
＋
1
－
n
＝
2
m
－
n
＋
1
，左边是偶数，右边是奇数，故
y
＝
2
x
＋
1
不是等差源函数；
④
y
＝
sin
x
是周期函数，显然是等差源
函数
.
4
4
答案：
C
.
3
．
B
解析：
B
【解析】
分析：将原问题转化为等差
数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最
终结果
.
详解：由题意可得，
8
个孩子所得的棉花构成公差为
17
的等差数列
，且前
8
项和为
996
，
设首项为
a
1
，结合等差数列前
n
项和
公式有：
S
8
8
a
1
8
7
d
8
a
1
28
17
996
，
2
解得：
a
1
65
，则
a
8
a
1
7
d
< br>65
7
17
184
.
< br>
即第八个孩子分得斤数为
184
.
本题选择
B
选项
.
点睛：本题主要考查等差
数列前
n
项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知
识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力
.
4
．
B
解析：
B
【解析】
【分析】
首先由等比数列前
n
项和公式列方程，并解得
q
< br>，然后再次利用等比数列前
n
项和公式，
3
则求得答案．
【详解】
a
1
(1
q
6
)
S
6
1
q
6
1
q
3
1
< br>q
3
，
设公比为
q
，则
< br>3
3
S
3
a
1
(1
q
)
1
q<
/p>
1
q
∴
q
2
，
3
S
9
1
q
9
1
2
3
7
．<
/p>
∴
S
6
1
q
6
1
2
2
3
故选：
B
．
【点睛】
本题考查
等比数列前
n
项和公式
，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理
能力、运算求解能力，求解时
也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求
解
.
5
．
C
解析：
C
【解析】
记公元
1984
年为第一年，公元
2047
年为第
64
年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，
地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元
2047
年农历为丁卯年
.
故选
C.
6
．
A
解析：
A
【解析】
a
1
a
13
13
S
2
a<
/p>
7
41
2
13
依题意，
.
2
b
7
b
1
b
13
13
T
13
26
2
7
．
A
解析：
A
【解析】
【分析】
由正弦定理求出
c
，
【详解】
A
是三角形内角，
tan
A
1
10
，∴
sin
A
，
3
10
a
sin
C
1
sin150<
/p>
10
a
c
c
由正弦定理
得
sin
A
2
，
10
sin
A
si
n
C
10
又
c
2
a
2
b
2
2
ab
cos
C
，即
5
1
b
2
2
b
cos150
b
2
1
3
b
，
2
b
2
3
b
∴
S
AB
C
3
3<
/p>
3
3
3
0
，
b
（
b
舍去），
2
2
2
1
< br>1
3
3
3
3
．
ab
sin
C
1
si
n150
2
2
3
8
故选：
A
．
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定
理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形
中公式较多，解题时需根据
已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安
排，不致于凌乱．
8
．
A
解析：
A
【解析】
sin(
< br>A
C
)
2sin
B
cos
C
2sin
A
cos
C
cos
A
sin
C
所以
2sin
B
cos
C
sin
A
cos
C
< br>
2sin
B
sin
A
2
b
a
，选
< br>A.
【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和
差的三角函数公式进行恒等变形
.
首先用
两角和的正弦公式转化为含有
，
，
C
的式子，用正弦定理将角转化为
边，得到
a
2
b
.
解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的
一个隐含条件，不容忽视
.
9
．
C
解析：
C
【解析】
先考虑充分性
,
当
x>0
时，
x
再考虑必要性，当
x
1
1
2
x
2
，当且仅当
x=1
时
取等
.
所以充分条件成立
.
x
x
1
2
时，如果
x>0
时，
x
2
2
x
1
0
(
x
1)
2
0
成立，当
x
x=1
时取等
.
当
x<0
时，不等式不成立
.
所以
x>0.
故选
C.
10
．
D
解析：
D
【解析】
解：由数列的递推关系可得
：
a
n
1<
/p>
1
2
a
n
1
,
a
1
1
2
，
据此可得：数列
a
n
1
是首项为
2
，公比为
2
的等比数列，则：
a
n
1
2
2
n
1
,
a<
/p>
n
2
n
1
，
分组求和有：
S
5
本题选择
< br>D
选项
.
2
1
2
5
1
2<
/p>
5
57
.
11
．
D
解析：
D
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理可知
【详解】
由内角和定理知
所以
即
故选
D.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，
属于中档题
.
，
，
，
，再由正弦定理即可求出
AB
.
12
．
B
解析：
B
【解析】
【分析】
过点
B
作
BE
DC
于点
E
，过点
A
作
AF
DC
于点
F
，在
ABD
中由正弦定理求得
AD<
/p>
，在
Rt
AD
F
中求得
DF
，从而求得灯塔
CD
的高度．
【详解】
过点
B
作
BE
DC
于点
E
，过点
A
作
AF
DC
于点
F
，
如图所示，在
ABD
中，由正弦定理得，
h
AD
即
，
s
in[90
(90
)]
sin(90
)
AD
AB
AD
，
sin
ADB
sin
ABD
h
cos
h
cos
sin
，在
Rt
ADF
中，
DF
AD
sin
，
sin(
< br>
)
sin(
)
又山高为
a
，则灯塔
CD
的高度是
h
cos
sin
<
/p>
a
sin(
)
40
3
3
2
2
35
60
35
25
．
1
2
CD
DF
EF
故选
B
．
【点睛】
本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．
二、填空题
13
．
4
【解析】（前一个等号成立
条件是后一个等号成立的条件是两个等号可以
同时取得则当且仅当时取等号）【考点】均
值不等式【名师点睛】利用均指不
等式求最值要灵活运用两个公式（
1
）当且仅当时取等号；（
2
）当
且仅
解析：
4
【解析】
a
4
4
b
4<
/p>
1
4
a
2
b
2
1
1
1
4
ab
< br>
2
4
ab
4
，（前一个等号成立条件是
ab
ab
a
b
ab
a
2
2
b
2
，后一
个等号成立的条件是
ab
1
，两个等号可以同时取得，则当且仅当
2
a
2
2
2
2
时取等号）
.
,
b
2
4
【考点】均值不等式
【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（
1
）
a
,
b
R
,
a
2
b
2
2
ab
，当且仅当<
/p>
a
b
时取等号
；（
2
）
a
,
b
R
，
a
b
2
ab
，
当且仅当
a
b
时取等号；首先要注意公式的使用范围，其
次还要注意等号成立的条件；