2020年高考新课标(全国卷2)数学(理科)模拟试题(一)
王成喜-
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2020
年高考新课标（全国卷
2
）数学（理科）模拟试题（一）
考试时间：
120
< br>分钟
满分
150
分
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的
.
x
2
1
1
、已知集合
A
x
0
，
B
y
2
< br>
y
2
，则
A
I
B
x
<
/p>
1
A
．
2,
1
U
< br>1
,2
B
．
C
．
1
,
1
D
．
2
、欧拉公式
e
i
θ
＝
cos
θ
+
i
sin
θ
把自然对数的底数
e
，虚数单位
i
，三角函数
co
s
θ
和
sin
θ
联系在一起，
充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥
”若复数
z
满足（
e
< br>i
π
+
i
）•
z
＝
i
，则
|
z
|
＝
（
）
A
．
1
B
．
2
2
C
．
3
2
D
．
2
2
3
< br>、
某景区在开放时间内，
每个整点时会有一趟观光车从景
区入口
发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间
< br>不多于
10
分钟的概率为（
）
A
．
1
1
B
．
6
10
C
．
1
5
D
．
5
6
4
、明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）
编成易于上口
的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一
支，
七子团圆
正半月，
除百零五便得知．
已知正整数
n
被
3
除余
2
，
被
5
除余<
/p>
3
，被
7
除余<
/p>
4
，求
n
的最小
值．按此歌诀得算法如图，
则输出
n
的
结果为
A
．
53
B
．
54
C
．
158
D
．
263
5
、若
sin
sin
0
，则下列不等式中一定成立的是
A .
sin
2
sin
2
B.
sin
2
sin
2
<
/p>
C.
cos
2
cos
2
D.
cos
2
cos
2
6
、若实数
x
，
y
满足
|
x
|
|
y
|
2
，则
M
x
y
2
x
的最小值为（
）
2
2
A
．
2
B
．
0
C<
/p>
．
7
、设函数
f
(
x
)
cos(
2
x
<
/p>
1
2
1
D
．
2<
/p>
2
2
3
)
sin(
2
x
)
，将函数
f
(
x
)
的图像向左平移
(
>0)
个单位长
< br>3
2
度，得到函数
g
(
x
)
的图像，若
g
(
x
)
为偶函数，则
的最小值是
21
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<
/p>
A.
2
5
B.
C.
D.
6
3
3
6
2
2
8
、若实数
a
，<
/p>
b
满足
a
b
1
，
m
log
a
(log
a
b
)
，
n
(log
a
b
)
，
l
log
a
b
，则
m
，
n
，
l
的大
小关系为（
）
A
．
m
l
n
B
．
l
n<
/p>
m
C
< br>．
n
l
m
D
．
l
m
n
x
2
y
2
1
的右支上一点
F
1
，
F
2
分别为双曲线的左右
焦点，
则△
PF
1
F
2
的内切圆的圆
9
、
P
是双曲线
3
4
心横坐标为（
）
A
．
3
2
B
．
2 <
/p>
|
x
|
C
．
7
D
．
3
10
、已知函数
f
(
x
)
x
2
2019
，则使得
f
(2
x
)
f
(
x
2)
成立的
x
的取值范围为
2
2
(
,
< br>
)
U
(2,
< br>
)
(
,
2)
C
．
(
,
2)
D
．
(2,
)
A
．
B
．
3
3
11
、如图，
O
为
ABC
的外心，
AB
4
，
A
C
2
，
<
/p>
BAC
为钝角，
M
是
u
u
u
u
r
u
u
u
r
边
BC
的中点，
则
AM
AO
的值为（
A.4
B.5
）
C.6
D.7
x
ln
x
2
x
,
x
0
12
、
已知函数
f
x
2
3
的图像上有且仅有四个不同的点关于直线
y
<
/p>
1
的对称点在
x
x
,
x<
/p>
0
2
y
kx
1
的图像上，则实
数
k
的取值范围是（
）
1
A
．
,1
2
B
．
1
3
,
2
4
C<
/p>
．
,1
1
3
D
．
1
< br>
,2
2
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分
，共
20
分。
5
2
5
13
、已知
(
2
x
)
a
0<
/p>
a
1
(
1
x
)
a
2
(
1
x
)
...
a
5
(
1
x
)
,
则<
/p>
a
2
.
14
、若
△
ABC
的内角
A
、
B
、
C
满足
sin
A
2
sin
B
2
sin
C
，则
cos
C
的最小值是
．
15<
/p>
、
根据疾病防控的需要，
某医院要从感染
科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工作，
现有甲、
乙、
丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加
.
为确定最终驰援
武汉的人选，医院领导组五位成
员先各推荐两名人员，分别为
“
丁、戊
”
，
“
丙、戊
”
，
“
甲、乙
”
，
“
乙、戊
”
，
“
甲、丁
”
．根据最终入选
名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选，其余四人推荐的人选中各有一人入选
.
根据以上
信息判断，最后随省医疗队参加抗疫的两
名医生是
．
x
2
y
2
16
、已知椭圆
C
:<
/p>
2
2
1(
a
b
0)
的左焦点为
F<
/p>
，经过原点的直线与
C
交于
A
，
B
两点，若
a
b
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AFB
150
，则
C
的离心率的取值范围为
______________
．
三、解答题：共
70
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
17~
21
题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第
22
、
23
题为选考题，考生
根据要求作答。
（一）必考题：共
6
0
分。
17
、（
12
分）已知等比数列
a
n
的公比
q
1
，且
a
1
a
3
a
5
42
，
a
3
9
是
a
1
，
a
5
的等差中项，
2
n
数列
b
n
的通项公式
b
n
，
n
N
*
.
（
1
）求数列
a
n<
/p>
的通项公式；（
2
）求数
a
n
1
a
n
1
1
列<
/p>
b
n
的前
n
项和
S
n
.
18
、（
12
分）如图，四棱锥
P
ABCD
中，侧面
PAD
为等边三角形，且平面
PAD
底面
ABCD
，
AB
BC
1<
/p>
AD
1
，
BAD
ABC
90
0<
/p>
.
（
1
）证明：
：
PD
AB
；
（
2
）点
M
在棱
PC
上，
2
21
，求实数
的值
.
7
且
PM
PC
，若二面角
M
AB
D
大小的余弦值为
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<
/p>
19
、（
12
分
）某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次
“
数学文化知识
大赛
”
，分预赛和复赛两个环节．已知共有
8000
名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机
地抽取
10
0
人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图．
（
1
）规定预赛成绩不低于
80
分为优
良，若从上述样本中预赛成绩不低于
60
分的学生中随机地抽取
2
人，求恰有
1
人预赛成绩优良的概
率；（
< br>2
）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩
< br>Z
服从正态分布
N
（
μ
，
σ
2
），
其中
μ
可近似为样本中的
100
名学生预赛成绩的平均值
（同一
组数据用该组区间的中点值代替）
，
且
σ
2
＝
362
．利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于
91
分的人数；（
3
）预
赛成绩不
低于
91
分的学生将参加复赛，复赛规则如下：
①
每人的复赛初始分均为
100
分；
②
参赛学
生可在开始答题前自行
决定答题数量
n
，每一题都需要
“
花
”
掉（即减去）一定分数来获取答题资格
，
规定答第
k
题时
“
花
”
掉的分数为
0.1
k
（
k
（＝
1
，
2
< br>n
））；
③
每答对一题加
1.5
分，答错既不加分也不
减分；
④
答完
n
题后参赛学生
的最终分数即为复赛成绩．已知学生甲答对每道题的概率均为
0.7
，且
每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量
n
应为多少？
（
1
）
求出样本中成绩不低于
60
分的学生共有
40
人，
其中成绩优良的人数为
15
人，
由此能求出恰有
1
人
< br>预
赛
成
绩
优
良
的
概
率
．
（
2
）
样
本
中
的
100
名
学
生
预
赛
成
绩
的
平
均
值
< br>为
：
10×
0.1+30×
0.2+50×
0.3+70×
0.25+
90×
0.15
＝
53
，则
μ
＝
53
，由
σ
2
＝
< br>362
，得
σ
＝
19
，从而
P
（
Z
≥91
）
＝
P
（
Z
< br>≥
μ
+2
σ
）
=
1
1
P
<
/p>
2
Z
2
0.02275
，由此能求出估计全市参加参赛的全
2
体学生中成绩不低于
91
分的人数．
（
3
）以随机变量
ξ
表示甲答对的题数，则
ξ
～
B
（
n
，
0.7
），且
E
ξ
＝
0.7
n
，记甲答完
n
题所加的分数为随机变量
X
，则
X
＝
1.5
ξ
，
EX
＝
1.5
E
ξ
＝
1.05
n
，为了获取
答
n
题的
资格，甲需要
“
花
”
掉的分数为：
0.1×
（
1+2+3+…+
< br>n
）＝
0.05
（
n
2
+
n
< br>），
设甲答完
n
题的分数为
M
（
n
）
，
则
M
（
n
）＝
100
﹣
0.05
（
n
2
+
n
）
+1.05
n
＝﹣
0.05
（
n
﹣
10
）<
/p>
2
+105
，由此能求出学生甲期望获得
最佳复
赛成绩的答题量
n
的值．
参考数据：
262
19
；若
Z
～
N
（
μ
，
σ<
/p>
2
），则
P
（<
/p>
μ
﹣
σ
＜
Z
＜
μ
+
σ
）
≈0.6827
，<
/p>
P
（
μ
﹣
2
σ
＜
Z
＜
μ
+2
σ
）
≈0.9545
，
P
（
μ
﹣
3
σ
＜
Z
＜
μ
+3
σ
）
≈0.9973
．
21<
/p>
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<
/p>
20
、
（
12<
/p>
分）设抛物线
y
2
px
p
0
的焦点为
F
，直线
l
与抛物线交于
M
，
N
两点
.
（
1
）若
l
过
2
点
F
，且
MN
3
p
，求
l
的斜率；（
2
）若
P
p
,
p
，且
l
的斜率为
-1
，当
P
l
时，求
l
在
y
轴上
< br>
2
的截距的取值范围（用<
/p>
p
表示），并证明
MPN
的平分线始终与
y
轴平行<
/p>
.
21<
/p>
、（
12
分）已知函数
< br>f
x
x
ln
x
的单调区间；（
2
）证明：当
0
m
m
2
e
1
x
x
0
x
e
2
．（
1
）当
m
<
/p>
时，求函数
f
x
2
2
e<
/p>
1
时，
f
x
0
．
2
e
21
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/p>
（二）选考题：共
10
分。
请考生在
22
、
23
两题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，若多做，则按所做
的第
1
题记分
.
»
,
»
22
．
.
选修
4-5:
极坐标与参数方程
如图，
有一种赛车跑道类似
“
梨形
”
曲线，
由圆弧
BC
AD
和线段
AB
，
CD
四部分组成，在极坐标系
Ox
中，
A
（
2
，
2
4
），
B
（
1
，
），
C
（
1<
/p>
，
），
D
（
2
，
），
3
3
3
3
»
,
»
»
，曲线
M
2
是弧
»
弧
BC
AD
所在圆的圆心分别是（
0
，
0
），（
2
，
0
），曲线是弧
BC
AD
．（
1
）分别
写出
M
1
，
M
2
的极坐标方程：（
2
）点
E
，
F
位于曲
线
M
2
上，且
EOF
范围．
3
，求
△
EOF
面积的取值
< br>23.
选修
4-5:
不等式选讲
已知函数
f
x
<
/p>
x
1
.
（
1
）求不等式
f<
/p>
x
2
x
1
1
的解集
A
；（
2
）
证明：对于任意
的
a
、
b
<
/p>
A
，都有
f
<
/p>
ab
f
a
f
b
成立
.
21<
/p>
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