高考数学一轮复习数列建模问题练习
沧浪之水清兮-
7.5.3
数列建模问题
核心考点·精准研析
考点一
等差、等比数列简单的实际应用
<
/p>
1.
有一种细菌和一种病毒
,
每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为
2
个
,
现在
有一个这样的细菌和
100
个这样的病毒
,
问细菌将病毒全部杀死至少需要
(
)
A.6
秒钟
B.7
秒钟
C.8
秒钟
D.9
秒钟
2.
我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题
:
“今有金箠
,
长五尺
,
斩本一尺
,
重四
斤
.
斩
末一尺
,
重二斤
.
问次一尺各重几何
?
”意思是
:
“现有一
根
5
尺长的金杖
,
一头粗
,
一头细
.
在
粗的一端截下
1
尺
,
重
4
斤
;
在细的一端截下
1
尺
,
重
2
斤
.
问依次每一尺各重多少斤
?
< br>”根据
上面的已知条件
,
若金杖
由粗到细是均匀变化的
,
问中间
3
尺的重量为
A.6
斤
B.9
斤
C.9.5
斤
D.12
斤
(
)
3
.
一个凸多边形的内角成等差数列
,
其
中最小的内角为
数为
________.
,
公差为
,
则这个多边形的边
4.
为了观看
2022
年的冬奥会
,
小明打算从
2018
年起
,
每年的
1
月
1
日到银行存入
a
元的一年
期定期储蓄
,
若年利率为
p,
且保持不变
,
并约定每年到期存款本息均自动
转为新一年的定
期
.2019
年
1
月
1
日小明去银行
继续存款
a
元后
,
他的账户中一共有
________
元
;
到
2022
年
< br>的
1
月
1
日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出
,
则可取回
________
元
.
【解析】
1.
选
B.
设需要
n
秒钟
,
则
1+2
+2
+
…
+2
≥
100,
所以
1
2
n-1
≥
100,
所以
n
≥
7.
2.
选
B.
依题意
,
金杖由粗到细各尺的重量构成一个
等差数列
,
记为
{a
< br>n
},
则
a
1
=4,
a
5
=2,
由等差数列的性质得
a
2
+a
4
=a
1
+a
5
=2a
3
=6,
所以
a
3
=3,<
/p>
所以中间
3
尺的重量为
< br>a
2
+a
3
+a
4
=3a
3
=9(
斤
).
3.
由于凸
n
边形的内角和为
(n-2)
π
,
故
< br>144=0.
解得
n=9
或
n=16(
舍去
).
n+
×
=(n-2)
π
.
化简得
n
-25n+
2
1
答案
:
9
4
.
依题意
,2019
年
1
月
1
日存款
a
元后
,
账户中一共有
a(1+p)+a=(ap+2a)(
元
).
2022
年
1
月
1
日可取出钱的总数为
a(1+p)
+a(1+p)
+a(1+p)
+a(1+p)=a
·
1+p)
-1-p].
5
4
3<
/p>
2
=
[(1+p)
-(1+p)]=
[(
5
答案
:
(ap+2a)
[(1+p)
-1-p]
5
1.
解答数列应用题的步骤
< br>(1)
审题——仔细阅读材料
,
认真理解题意
.
(2)
建模——将已
知条件翻译成数学
(
数列
)
语言
,
将实际问题转化成数学问题
,
弄清该数列的
结构和特征
.
(3)
求解——求出该问题的数学解
.
(4)
还原——将所求结果还原到原实际问题中
.
2.
具体解题步骤用框图表示如下
考点二
数列的实际应用
< br>【典例】
某商店投入
81
万元经
销某种纪念品
,
经销时间共
60
天
,
市场调研表明
,
该商店在经
销这一产品期间第
n
天的利润
a
n
=
(
单位
:
万元
,n
∈
N
).
为了获得更多
*
的
利
润
,
商
店<
/p>
将
每
天
获
得
的
利
润
投
入
到
次
日
的
经
营
中
,
记
第
n
天
的
利
润<
/p>
率
b
n
=
.
例如
,b
3
=
.
2
(1)
求
b
1
,b
2
的值
.
(2)
求第
n
天的利润率
b
< br>n
.
【解题导思】
序号
题目拆解
(1)
①
a
n
=
a
n
以分段
函数给出
,
注意变量范围
②
b
n
=
,
求
b
1
,b
2
的值
结合例子
b<
/p>
3
=
,
求
b
1
,b
2
结合
a
n
=
,
(2)
求第
n
天的利润率
b
< br>n
b
n
=
求解
,
注意
b
n<
/p>
为分段函数
形式
【解析】
(1)
当
n=1
时
,b
1
=
;
当
n=2
时
,b
2
=
.
(2)
当
1
≤
n
≤
20
时
,a
1
=a
2
=a
3
=
…
=a
n-1
=a
n
=1,
所以
b
n
=
=
.
3
当
21
≤
n
≤
60<
/p>
时
,
b
n
=
=
=
所以第
n
天的利润率
=
.
b
n
=
1.
若典例中条件不变
,
求该商店在经销此纪念品期间
,
< br>哪一天的利润率最大
?
并求该日的利润
< br>率
.
【解析】
当
1
≤
n
≤
< br>20
时
,b
n
< br>=
递减
,
此时
< br>b
n
的最大值为
b
1
=
;
当
21
≤
n
≤
< br>60
时
,b
n
< br>=
=
≤
=
当且仅当
n=
,
即
< br>n=40
时
,
“
=
”成立
.
又因为
<
,
所以当
n=40
时
,(b
n
)
max
=
.
4
所以该商店在经销此纪念品期间
,
第
< br>40
天的利润率最大
,
且该日的
利润率为
2.
若典例中条件不变
,60
天的利润总和是多少
?
.
【解析】
当
1
≤
n
≤
20
时
,a
1
=a
2
=a
3
=
…
=a
n-1
=a
n
=1,
当
21
≤
n
≤
60
时
,a
n
=
,
所以
{a
n
}
的前
20
项
是
常
数
列
,
后
40
项
是
以
为
首
项
,
以
为
公
差
的
等
差
数<
/p>
列
,
所
以
S
60
=20+40×
+
×
=182(
万元
).
所以
60
天的利润总和
是
182
万元
.
解答数列实际应用问题的步骤
(1)
确定模型类型
:
理解题意
,
看是哪类数列模型
,<
/p>
一般有等差数列模型、
等比数列模型、
简
单
递推数列模型
.
基本特征如表
:
数列模型
等差数列
等比数列
简单递推
数列
基
本
特
征
均匀增加或者减少
指数增长或减少<
/p>
,
常见的是增长率问题、存款复利问题
指数增长的同时又均匀减少
.
如年收入
增长率为
20%,
每年年底要拿出
a(
常数
)
作为下
年度的开销
,
即数列
{a
n
}
满足
a
n+1
=1.2a
n
-a <
/p>
(2)
准确解决模型
:
< br>解模就是根据数列的知识
,
求数列的通项、数列的和、解
方程
(
组
)
或
者不
等式
(
组
)
等
,
在解模时要注意运算准确
.
(3)
给出问题的回答
< br>:
实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案
< br>,
在解题
中不要忽视了这点
.
为了加强新旧动能转化
,
某市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车
,
每
更换一辆新车
,
则
淘汰一辆旧车
,
替换车为电力型和混合动力型车
.
今年年初投入了电力型公交车
128
辆
,
混合
动力型公交车
4
00
辆
;
计划以后电力型车每年的投入
量比上一年增加
50%,
混合动力型车每年
比上一年多投入
a
辆
.
(1)
求经过
n
年
,
该市被更换的公交车总数
S(n). <
/p>
(2)
若该市计划
7
年内完成全部更换
,
求
a
的最小值
.
【解析】
(1)
设
a
n
,b
n
分别为第
n
年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量
.
5