(完整版)北师大版七年级数学下册全部知识点归纳(新)
深圳东门-
数学
七年级下册
刘
阳
第一章：整式的运算
单项式
整
式
多项式
同底数幂的乘法
幂的乘方
整
积的乘方
式
幂运算
同底数幂的除法
的
零指数幂
负指数幂
运
整式的加减
算
单项式与单项式相乘
单项式与多项式相乘
整式的乘法
多项式与多项式相乘
整式运算
平方差公式
完全平方公式
单项式除以单项式
整式的除法
多项式除以单项式
一、单项式
1
、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
2
、单项式的数字因数叫做单项式的系数。
3<
/p>
、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
4
、单独一个数或一个字母也是单项式。
5
、只含有字母因式的单项式的系数是
1
或―
1
。
6
、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。
7
、单独的一个非零常数的次数是
0
。
8
、
单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。
9
、单项式的系数包括它前面的符号。
10
、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
11
、单项式的系数是
1
或―
1
时，通常省略数字“
1
”
。
12
、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。
二、多项式
1
、几个单项式的和叫做多项式。
<
/p>
2
、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
< br>
3
、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4
、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5
、多项式的每一项都包括项前面的符号。<
/p>
6
、多项式没有系数的概念，但有次数
的概念。
7
、多项式中次数最高的项
的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式
1
、单项式和多项式统称为整式。
2
、单项式或多项式都是整式。
3
、整式不一定是单项式。
1
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阳
4
、整式不一定是多项式。
5
、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。
四、整式的加减
1
、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。
2
、几个整式相加减，关键是正确地运用去
括号法则，然后准确合并同类项。
3
、几个整式相加减的一般步骤：
（
1
）列出
代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。
（
2
）按去括号法则去括号。
（
3
< br>）合并同类项。
4
、代数式求值的一般步骤：
（
1
）代数
式化简。
（
2
）代入计算
< br>（
3
）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行
计算。
五、同底数幂的乘法
n
n
1
、
n
个相同因式（或因数）
a
相乘，记作
a
，读作
a
的
n
次方（幂）
，其中
a
为底数，
n
为指
数，
a
的结果
叫做幂。
2
、底数相同的幂叫做同底数幂。
<
/p>
m
n
m+n
3<
/p>
、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：
< br>a
﹒
a
=a
。
m+n
m
n
4
、此法则也可以逆用，即：
a
=
a
﹒
a
。
<
/p>
5
、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘
法，先化成同底数幂再运用法则。
六、幂的乘方
m
n
m
1
、幂的乘方是指几个相同的
幂相乘。
（
a
）
表示
n
个
a
相乘。
m
n
mn
2
、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（
a
）
=a
。
mn
m
n
n
m
3<
/p>
、此法则也可以逆用，即：
a
=
（
a
）
=
（
a
）
。
七、积的乘方
1
、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
n<
/p>
n
n
2
、
积的乘方运算法则：
积的乘方，
等于把积中的
每个因式分别乘方，
然后把所得的幂相乘。
即
< br>（
ab
）
=a
< br>b
。
n
n
n
3
、此法则也可以逆用，即：<
/p>
a
b
=
（
ab
）
。
八、三种“幂的运算法则”异同点
1
、共同点：
（
1
）法则中的底数不变，只对指数做运算。
（
2
）法则中的底数（不为
零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）
。
（
3
）对于含有
3
个或
3
个以上的运算，
法则仍然成立。
2
、不同点：
（
1
）同底数幂相乘是指数相加。
（
2
）幂的乘方是指数相乘。
（
3
）积的乘方是每
个因式分别乘方，再将结果相乘。
九、同底数幂的除法
m
n
m-n
1
、同底数幂的除
法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：
a
÷
a
=a
（
a
≠
0
）
。
m-n
m
n
2
、此法则也可以逆用，即：
a
= a
÷
a
（
< br>a
≠
0
）
。
十、零指数幂
0
1
、零指数幂的意义：任何不等于
< br>0
的数的
0
次幂都等于
1
，即：
a
=1
（
a
≠
0
）
。
十一、负指数幂
1
< br>、任何不等于零的数的―
p
次幂，等于这个数的
p
次幂的倒数，即：
注：在同底数幂的除法、零
指数幂、负指数幂中底数不为
0
。
2
a
<
/p>
p
a
1
p
(
a
0)
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阳
十二、整式的乘法
（一）单项式与单项式相乘
1
、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连
同它的
指数不变，作为积的因式。
2
、系数相乘时，注意符号。
3
、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。
4
、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一
起写在积里，作为积的因式。
5
、单
项式乘以单项式的结果仍是单项式。
6
、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。
（二）单项式与多项式相乘
1
、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每
一项，
再把所得的积相加。即：
m(a+b+c)=ma+mb
+mc
。
2
、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
3
、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
4
、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而
得到最简结果。
（三）多项式与多项式相乘
1
、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的
每一项，
再把所得的积相加。即：
(m+n)(a+b)=ma
+mb+na+nb
。
2
、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项 乘
以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。
3
、多项式的每一项都包含它前面的
符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”
。
4
、运算结果中有同类项的要合并同类项。
5
、对于含有同一个字母的一次项系数是
1
的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：
< br>2
(x+a)(x+b)=x
+(a+b)x+ab
。
十三、平方差公式
2
2
1
、
（
a+b
）
(a-b)=a
-b
，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。
2
、平方差公式中的
a
、
b
可以是单项式，也可以是多项式。
2
2
3
、平方
差公式可以逆用，即：
a
-b
=
（
a+b
）
(a-b
)
。
4
、平
方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成
2
2
（
a+b
）•
(a-b)
的形式，然后看
a
与
b
是否容易计算。
十四、完全平方公式
1
、
(
a
<
/p>
b
)
a
2
ab
b
,(
a
b
)
a
2
ab
< br>b
,
即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，<
/p>
加上（或减去）它们的积的
2
倍。
2
、公式中的
a<
/p>
，
b
可以是单项式，也可以是多项式。<
/p>
3
、掌握理解完全平方公式的变形公式
：
2
2
2<
/p>
2
2
2
[(
a
b
)
(
a
b
)
]
< br>（
1
）
a
b
(
a
b
)
2
ab
(
a
b
)
2
ab
1
2
2
2
< br>2
2
2
2
（
2
）
(
a
b
)
(
a
b
)
4
ab
2
2
（
3
）
ab
< br>1
4
[(
a
b
)
(
a
b
)<
/p>
]
2
2
4
、完全平方式：我们把形如
:
a
2
ab
b
,
a
2
ab
b
,
的二次三项式称作完全平方式。
5
、当计算较大数的平方时，利用完全平方公式可以简化数的运
算。
2
2
2
2
3
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阳
6
、完全平方公式可以逆用，即：
a
2
ab
b
(
a
b
)
,
a
< br>
2
ab
b
(
a
b
)
.
十五、整式的除法
（一）单项式除以单项式的法则
1<
/p>
、单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商
的因式；对
于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
2
、根据法则可知，单项式相除与单项式相
乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部
分分别进行考虑。
（二）多项式除以单项式的法则
1
、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一
项分别除以单项式，再把所得
的商相加。用字母表示为：
(
a
b
c
)
m
a
m
< br>
b
m
c
m
.
2
、多项式除以单项式，注意多项式
各项都包括前面的符号。
第四章
三角形
三角形三边关系
三角形
三角形内角和定理
角平分线
三条重要线段
中线
高线
全等图形的概念
全等三角形的性质
SSS
三角形
SAS
全等三角形
全等三角形的判定
ASA
AAS
HL
（适用于
Rt
Δ）
全等三角形的应用
利用全等三角形测距离
作三角形
一、三角形概念
1
< br>、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。
2
、顶点是
A
、
B
、
C
的三角形，记作“Δ
ABC
”
< br>，读作“三角形
ABC
”
。
3
、组成三角形的三条线段叫做三角形的
边，即边
AB
、
BC
< br>、
AC
，有时也用
a
，
b
，
c
来表示，顶点
A
所对的
边
BC
用
a
表示，边
AC
、
AB
分
别用
b
，
c
来
表示；
4
、∠
A
、∠
B
、∠
C
为
Δ
ABC
的三个内角。
二、三角形中三边的关系
1
、三边关系：
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
用字母可表示为
a+b>c,a+c>b,b+c>a
；
a-b
。
2
、判断三条线段
a
,b,c
能否组成三角形：
（
1
）当
a+b>c,a+c>b,b+c>a
同时成立时，能组成三角形；
（
2
）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
4
2
2
2
2
2
2
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七年级下册
刘
阳
3
、
确
定
第
三
边
（
未
知
边
）
的
< br>取
值
范
围
时
，
它
的
取
值
范
围
为
大
于
两
边
的
差
而
小
于
两
边
的
< br>和
，
即
a
b
c
a
b
.
三、三角形中三角的关系
0
1
、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于
180
。
2
、三角形按内角的大小可分为三类：
（
1
）锐角三角形，即三角形的三个内
角都是锐角的三角形；
（
2
）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“
Rt
Δ”表示“直角三角形”
,
其中直角∠
C
所对的边
AB
称为
直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。
注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（
3
）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三
角形。
3
、判定一个三角形的形状主
要看三角形中最大角的度数。
4
、直
角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。
0
5
、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角。都具有三边关系和
三内角之和为
180
的性质。
6
、三角形内角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角的方程的重
要等量关系。
四、三角形的三条重要线段
1
、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。
2
、三角形的角平分线：
（
1
）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边
相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角
平分线。
（
2
）任意三角形都有三条角平分线，
并且它们相交于三角形内一点。
3
、三角形的中线：
（
1
）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段
，叫做这个三角形的中线。
（
2
）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。
4
、三角形的高线：
（
1
）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂
线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简
称为三角形的高。
（
2
）任意三角形都有三条高线
，它们所在的直线相交于一点。
中
线
角平分线
高
线
平分对边
平分内角
垂
直
于
对
边（或其延
长线）
区
别
三条中线交于三角形内部
三条角平分线交于三角表内部
锐角三角形：三条高线都在三角形内部
直角三角形：其中两条恰好是直角边
钝角三角形：其中两条在三角表外部
（
1
）都是线段
（
2
）都从顶点画出
（
3
）所在直线相交于一点
相
同
五、全等图形
1
、两个能够重合的图形称为全等图形。
2
、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。
3
、全等图形的面积或周长均相等。
4
、判断两个图形是否全等时，形状相同与大小相等两者缺一不
可。
5
、全等图形在平移、旋转、折
叠过程中仍然全等。
6
、全等图形中
的对应角和对应线段都分别相等。
六、全等分割
1
、把一个图形分割成两个或几个全等图形叫做把一个图形全等分割。
2
、对一个图形全等分割：
（
1
）首先要观察分析该图形，发现图形的构成
特点；
（
2
）其次要大胆尝试，敢于动手，必要时可采用计算、交流、讨论等方法完成。
5