北师大版七年级下册数学知识点总结
保密守则-
北师大版数学七年级下册知识点总结
第一章
整式的乘除
1
、单项式的概念：
由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项
式。单独的一个数或一个字母也
是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指
数和叫单项式的次数。
2
、多项式：
几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的
次数叫多项式的次数。
3
、整式：
单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。
4
、同底数幂的乘法法则：
a
m
•
a
n
a
m
n
（
m
,
n
都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数
相加。注意：底数可以是多项式或单项式。
如：
(
a
b
< br>)
2
•
(
a
b
)
3
(
a
b
)
5
5
、幂的乘方法则：
(
a
m
)
n
<
/p>
a
mn
（
m
,
n
都是正整数）
…
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：
(
3
5
)
2
3
10
幂的乘方法则可以逆用：即
a
mn
(
a
m
)
n
(
a
n
)
m
如：
4
6
(
4
2
)
3
(
4
3
)
2
6
、积的乘方法则
：
(
ab
)<
/p>
n
a
n
b
n
（
n
是正整数）
积的乘方，等于各因数乘方的积。
如
：（
2
x
3
y
2
z
)
5
=
(
2
)
5
•
(
x
3
)
< br>5
•
(
y
2
)
5
•
z
5
32<
/p>
x
15
y
10<
/p>
z
5
7
、同底数幂的除法法则
：
a
< br>m
a
n
a
m
n
（
a
0
,
m
,
n
都是正整数，且
m
n
)
同底数幂相除，底数不变，指数相
减。如：
(
ab
)
4
(
ab
)
(
ab
)
3
a
3<
/p>
b
3
8
、零指数和负指数；
a
0
1
< br>，（ɑ≠
0
）即任何不等于零的数的零次方等于
1
。
，
a
p
1
p
（
a
0
,
p
是正整数），即一个不等于零的数的
p
次方等于这个数的
p
次方的倒
a
数。
-
6
7
.
21
10
9
、科学记数法：
如：
=
（第一个非零数字前零的个数）
10
、单项式的乘法法则：
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别
相乘，其余
字母连同它的指数不变，作为积的因式。
注意：
①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
11
、单项式乘以多项式：
根据分配律用单项式去乘多
项式的每一项，再把所得的积相加，
<
即
m
(
a
b
c
)
ma
mb
mc
(
m
,
a
,
b
,
c
都是单项式
)
注意：
①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。
12
、多项式与多项式相乘的法则；
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所的的积相加
。
13
、单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则
连同它的指数一起作为商的一个因式。
注
意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字
母，则连同它的指数作为商的一个因式
]
14
、多项式除以单项式的法则：
<
/p>
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
即：
(
am
bm
cm
)
m
am
m
bm
m
cm
m
< br>a
b
c
15
、整式乘法公式：
（
1
）平方差公式：
(
a
b
)(
a
b
)
a
2
b
2
公式特点：（有一项完全相同，另一项只有符号不同）
（
2
）完全平方公式：
(
a
b
)
2
a
2
2
ab
b
2
(
a
b
)
2
a
2
2
ab
b
2
逆用：
a
2
ab
< br>b
(
a
b
)
,
a
2
ab
<
/p>
b
(
a
b
)
.
完全平方公式变形（知二求一）：
2
2
2
2
2
2
a
2
b
2
(
a
b
)<
/p>
2
2
ab
2
2
a
2
b
2
1
2
[(
a
b
)
(
a
b
)
]
a
2
<
/p>
b
2
(
a
b
)
2
2
ab
2
2
a
< br>2
b
2
(
a
b
)
2
2
ab
(
a
b
)
2
2
ab
1
2
[(
a
b
)
(
a
b
)
]
2
2
[(
a
b
)
(
a
b
)
]
(
a
b
< br>)
2
(
a
b
)
2
4
ab
ab
1
4<
/p>
【
2
n
2
n
1
y
）
=(y-x)
2n<
/p>
,
(
x
y
）
=-(y-x)
2n+1
（
3
）常用变形：
(
x
第二章相交线与平行线
1
、两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行（表示符号“
“一落”：
将三角板一条直角边紧贴已知直线上
.
我们要过点
A
作线段
< br>BC
的垂线，获得垂线段
AD
，
可先用三角板的一条直角边与
BC
重合在一起，另一条直角边落
在点
A
的同一侧；不盖住点
A
．
(
如图
2)
“二过”：
使三角板的另一直角边经过已知点．
用铅笔尖点住
A
点，使三角板保持与
B
C
重合，沿线段
BC
慢慢移动，到三角
板的另一直角边刚好
靠近点
A(
铅笔尖
)
时停下来。
(
如图
3)
“三画”：
沿已知点所在直角边画直线．
、
按紧平移后的三角板，用铅笔从<
/p>
A
点开始沿这条直角边画直线，很明显这条直线不与线段
BC
相
交，于是我们只需把
BC
延长
(
或反向延长
)
与这条直线相交．
(
如
图
4)
“四标”：标出直角标号“┓”
由画
出的延长线与作的直线相交而获得了垂足，我们可在交点处标上垂直符号“┓”，并标上
字母符号“
D
“．
(
< br>如图
4)
到此，垂线段
AD
便作出了．
图
1
图
2
图
3
图
4
7
、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
如图，
PO
⊥
AB
，同
P
到直线
AB
的距离是
PO
的长。
PO
是垂线段。
PO
是
点
P
到直线
AB
所有线段中最短的一条。
；
注意：距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。
二、两条线平行的条件
1
、两条直线被第三条直线所截，形成了
8
个角。（三线八角）
2
、同位角、
内错角、同旁内角：直线
AB
，
CD<
/p>
与
EF
相交（或者说
两条直线
AB
，
CD
被第三条直线
EF
所截），构成八个角。其中∠
1
与
∠
5
这两个角分别在
AB
，
CD
的上方，并且在
EF
的同侧，像这
样位置
相同的一对角叫做同位角；∠
3
与∠
5
这两个角都在
AB
，
CD
之间，并
且在
EF
的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠
3
与∠
6
在直线
< br>AB
，
CD
之间，并侧在
EF
的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。
同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的
一对角叫做
同位角。
内错角：两个角
都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内
错角。
同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）
的同旁，这样的一对角叫同
旁内角。
2
、平行线的判定
：
注意：几何中，图
形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着
内在的联系
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等
，两直线
平行。
两条直线被第三条直
线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线
平行。
|
两条直线被第三
条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两
直线平行。
补充平行线的判定方法：
（
1
）平行线的定义：如果两条直线没有交点（
不相交），那么两直线平行
（
2
）平行于同一条直线的两直线平行。
3
、平行线的画法：
利用三角板的平移画平行线，其画法可以总结为：“一落”、“二靠”、“三移”、“四画”
.
一落：三角板的一边落在已知直线；
二靠：靠紧三角板的另一边放上另一块三角板；
三移：使第一块三角板沿着第二块三角板移动，使其经过原直线的一边经过已知点；
< br>
四画：沿三角板过已知点的一边画出直线
.
这时所画直线就一定与已知直线平行
.
4
、平行公理――平行线的存在性与
唯一性
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行<
/p>
(
与垂直公理相比较记
)
5
、平行线的性质：
（
1
）两直线平行，同位角相等。（
2
）两直线平行，内错角相等。（
3
）两直线平行，同旁内
角互补。
6
、平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
7
、用尺规作角
（利用尺规作图比较角的大小）
尺规作图：在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺
规作图。
尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。
<
/p>
即：
1
、作一条线段等于已知线段。
2
、作一个角等于已知角
#
如上如图所示，求作一个角等于已
知角∠
AOB
．作法：
（
1
）作射线
O
’
A
’；
（
2
）以
O
为圆心，以任意长为半径作弧，交
OA
于点
C
，交
OB
于点
D
；
（
3
）以
O
’为圆心，以
OC
为半径作弧，交
O
′
B
′于点
D
′；
（
4
）以点
D
′为圆心，以
CD
为半径作弧，交前面的弧于点
C
′；
（
5
）过
C
′作射线
O
′
A
′．∠
A
′
O
′
B
′就是所求作的角
．
第三章
变量之间的关系
1
、变量、自变量、因变量、常量
变量：在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
自变量、因变量：如果一个变量
y
随另一个变量
x
的变化而变化，则把
x
叫做自变量，
y
叫做
因变量
。
注意：
变量：
在某一过程中发生变化的量，
其中包括自变量与因变量。
自
变量是最初变动的量，
它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；因变量是由于自
变量变动而引起变动的量，
它“依赖于”自变量的改变。
常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量
.
2
、函数的三种表示方法
：
（
1
）
列表法（用表格）
#
采用数表相结合的形式，
运用表格可以表示两个变量之间的关系。
列表时要选取能代表自变量
的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别
求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直
观，可以直接从表中找出自变量与因变量的
对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的
一部分。
<
/p>
（
2
）解析法（关系式）
关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，
利用关系式，
可以根据任何一个自变量的
值求出相应的因变量的
值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值
（
3
）图像法（用图象）
对于在某一变化过程中的两个变量，
把自变量
x
与因变量
y
的每对对应值分别作为点的横坐标
与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做<
/p>
平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常
直
观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值
往往是
不准确的。
3
、三种方法的优缺点比较
#
3
、理解图像：
a.
认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；
b.
从横轴和纵轴的实
际意义理解图象上特殊点的含义（坐标
），特别是图像的起点、拐点、交点
4
、事物变化趋势的描述
对事物变化趋势的描述一般有两种：
(1)
随着自变量
x
的逐渐增加（大）
，因变量
y
逐渐增加（大）（或者用函数语言描述也可：因
变量
y
随着自变量
x
的增加（大）而增加（大））；
(
2)
随着自变量
x
的逐渐增加（大），
因变量
y
逐渐减小（或者用函数语言描述也可：因变量
y
随着自变量
x
的增加
（大）而减小）
.
注意：如果在整个
过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述
.
例如在什么
范围内随着
自变量
x
的逐渐增加（大）
，因变量
y
逐渐增加（大）等等
.
—
5
、估计（或者估算）
对事物的估计（或者估算）有三种：
1.
利用事物的变化规律进行估计（或者估算）
.
例如：自变量
x
每增加一定量，因变量
y
的变化
情况；平均每次（年）的变化情况（平均每
次的变化量
=
（尾数－首数）
/
次数或相差年数）等