北师大版七年级数学下册数学各章节知识点总结教学总结
家常红烧带鱼-
第一章：整式的运算
同底数幂的乘法
幂的乘方
积的乘方
幂运算
同底数幂的除法
零指数幂
负指数幂
整式的加减
单项式与单项式相乘
单项式与多项式相乘
整式的乘法
多项式与多项式相乘
整式运算
平方差公式
完全平方公式
单项式除以单项式
整式的除法
多项式除以单项式
一、整式的加减
1
< br>、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配律。
<
/p>
2
、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合
并同类项。
3
、几个整式相加减的一般步骤：
（
1
）列出
代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。
（
2
）按去括号法则去括号。
（
3
）合并同类项。
4
、代数式求值的一般步骤：
（
1
）代数
式化简。
（
2
）代入计算
（
3
< br>）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。
二、同底数幂的乘法
1
、
n
个相同因式（或因数）
a
相乘，记作
a
n
，读作
a
的
n
次方（幂）
，其中
a
为底数，
n
为指
数，
a
n
的结果叫做幂。
2
、底数相同的幂叫做同底数幂。
<
/p>
3
、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相
加。即：
a
m
﹒
a
n
=a
m+n
。
4
、此法则也可以逆用，即：
a
m+n
= a
m
﹒
a
n
。
5
、开始底数不相同的幂的乘法，
如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用
法则。
三、幂的乘方
1
、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。
（
a
m
）
n
表示
n
个
a
m
相乘。
2
、幂的乘方运算法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（
a
m
）
n
=a
mn
。
3
、此法则也可以逆用，即：
a
mn<
/p>
=
（
a
m
）
n
=
（
a
n
）
m
。
四、积的乘方
1
、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
2
、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别
乘方，然后把所得的幂相乘。
即（
ab
）
n
=a
n
b
n
。
3
、此法则也可以逆用，即：
a
n
b
n
=
（
ab
）
n
。
五、三种“幂的运算法则”异同点
1
、共同点：
（
1
）法则中的底数不变，只对指数做运算。
（
2
）法则中的底数（不为
零）和指数具有普遍
性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）
< br>。
（
3
）
对于含有
3
个或
< br>3
个以上的运算，法则仍然成立。
2
、不同点：
（
1
）同底数幂相乘是指数相加。
（
2
）幂的乘方是指数相乘。
（
3
）积的乘方是每
个因式分别乘方，再将结果相乘。
六、同底数幂的除法
1
、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：
a
m
÷
a
n
=a
m-n
（
a
≠
0
）
。
2
、此法则也可以逆用，即：
a
m-n
= a
m
÷
a
n
（
< br>a
≠
0
）
。
七、零指数幂
1
、零指数幂的意义：任何不等于
0
< br>的数的
0
次幂都等于
1
，即：
a
0
=1
（
a
≠
0
）
。
八、负指数幂
1
、任何不等于零的数的―
p
次幂，等于这个数的
p
次幂的倒数，即：
a
p
1
p
(
a
0)
注：在同底数幂的除法、
零指数幂、负指数
幂中底数不为
0
。
a
九、整式的乘法
（一）单项式与单项式相乘
1
、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字
母连同它的指数不变，作为积的因式。
2
、系数相乘时，注意符号。
3
、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。
4
、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一
起写在积里，作为积的因式。
5
、单
项式乘以单项式的结果仍是单项式。
6
、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。
（二）单项式与多项式相乘
1
、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中
的每一项，再把所得的积相加。即：
m(a+b+c)=ma+mb
+mc
。
2
、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
3
、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
4
、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而
得到最简结果。
（三）多项式与多项式相乘
1
、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项
式的每一项，再把所得的积相加。即：
(m+n)(a+b)=ma
+mb+na+nb
。
2
、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式
的每一项乘以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数
的积。
3
、多项式
的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得
负”<
/p>
。
4
、运算结
果中有同类项的要合并同类项。
5
、
对于含有同一个字母的一次项系数是
1
的两个一次二项式相乘时，
可以运用下面的公式简
化运算：
(x+a)(x+b)=x
2
+(a+b)
x+ab
。
十、平方差公式
1
< br>、
（
a+b
）
< br>(a-b)=a
2
-b
2
，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。
2
、平方差公式中的
a
、<
/p>
b
可以是单项式，也可以是多项式。
<
/p>
3
、平方差公式可以逆用，即：
a
2
-b
2
=
（
a+b
）
(a-b)
。
4
、平方
差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成
（
a+b
）•
(a-b)
的形式，然后看
a
2
与
b
2
是否容易计算。
十一、完全平方公式
1
、
(
a
b
)
2
a
2
2
ab
b
2
,(
a
b
< br>)
2
a
2
2
ab
b
2
,
即：
两数和（或差）的平方，
等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的
2
倍。
2
< br>、公式中的
a
，
b
可以是单项式，也可以是多项式。
3
、掌握理解完全平方公式的变形公式：
（
1
）
a
2
b
2
< br>(
a
b
)
2
2
a
b
(
a
<
/p>
b
)
2
2
ab
1
b
)
2
(
a
< br>b
)
2
2
[(
a
]
（
2
）
(
a<
/p>
b
)
2
(
a
b
)
2
4
ab
（
< br>3
）
ab
1
[(
a
b
)
2
(
a
b
)
2
4
]
4
、完全平方式：我们把形如
:
a
2
2
ab
b
2
,
a
2
2
ab
b
2<
/p>
,
的二次三项式称作完全平方
式。
5
、当计算较大数的平方时，利用完全平方
公式可以简化数的运算。
6
、完全平
方公式可以逆用，即：
a
2
2
ab
b
2
(
a
b
)
2
,
a
2
2
ab
b
2
(
a
b
)
2
.
十二、整式的除法
（一）单项式除以单项式的法则
1<
/p>
、单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商
的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
2
、根据法则可知，单项式相除与单项式相
乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相
同字母三部分分别进行考虑。
（二）多项式除以单项式的法则
1
、
多项式除以单项式的法则：
< br>多项式除以单项式，
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，
< br>再把所得的商相加。用字母表示为：
(
a
b
c
)
m
a
m
b<
/p>
m
c
m
.
2
、多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号。
第二章
平行线与相交线
余角
余角补角
补角
角
两线相交
对顶角
平
行
线
同位角
三线八角
与
内错角
同旁内角
相
交
平行线的判定
线
平行线
平行线的性质
尺规作图
一、余角与补角
1
< br>、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个
角的余角。
2
、
如果两个角
的和是平角，
那么称这两个
角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。
3
、
互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角
，
它们只与角的度数有关，
与角的位置无关。
< br>
4
、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角
或等角的补角相等。
5
、余角和补角
的性质用数学语言可表示为：
（
1
）<
/p>
1
2
90
0
(180
0
),
1
3
90
0
(180
0
),
则
2
3
(
同角的余角（或
补角
）相等
)
。
（
2
）
1<
/p>
2
90
0
(180
0<
/p>
),
3
4
90
0
(180
0
),<
/p>
且
1
4,
则
2
3
(
等角
的余角（或补角）相等
)
。
6
、
余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。
二、对顶角
1
、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。
2
、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
3
、对顶角的性质：对顶角相等。
<
/p>
4
、
对顶角的性质在今后的推理说明中应
用非常广泛，
它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。
5
、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是
对顶角。
三、同位角、内错角、同旁内角
1<
/p>
、两条直线被第三条直线所截，形成了
8
个角。
2
、同位角：两个角都在两条
直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角
叫做同位角。
3
、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在
第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫
做内错角。
4
、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线
）的同旁，这样的一对角
叫同旁内角。
5
、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关
系。
四、六类角
< br>1
、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。
2
、余角、补角只有数量上的关系，
与其位置无关。
3
、同位角、内错角
、同旁内角只有位置上的关
系，与其数量无关。
4
、对顶角既有数量关系，又有位置关系。
五、平行线的判定方法
1
、同位角相等，两直线平行。
2
、内错角相等，两直线平行。
3
、同旁内角互补，两直线平行。
<
/p>
4
、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两
条直线平行。
5
、在同一平面内，如
果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。
六、平行线的性质
1
、两直线平行，同位角相等。
2
、两
直线平行，内错角相等。
3
、两直线平行，同旁内角互补。
<
/p>
4
、平行线的判定与性质
具备互逆的特征
，其关系如下：
在应用时要正确区分积极向上的题设和结论。
七、尺规作线段和角
1
、在几
何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。
2
、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫
基本作图。
3
、尺规作图中直尺的功能是：
（
1
）在两点间连接一条线段；
（
2
）将线段向两方延
长。
4
、尺规作图中圆规的功能是：
（
1
）以任意一点为圆心，任意长为半径作
一个圆；
（
2
）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；
5
、熟练掌握以下作图语言：
（
1
）作射线××；
（
2
）在射线上截取××
=
××；
（
3
）在射线××上依次截取××
=
< br>××
=
××；
（
4
）以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×
；
（
5
）分
别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×；
（
6
）过点×和点×画直线××（或画射线××）
；
（
7
）在∠×××的外部（或内部）画∠×××
=
∠
×××；
6
、在作较复杂图形时，涉
及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙
述就可以了。
（
1
）画线段××<
/p>
=
××；
（
2
）画∠×××
=
∠×××；
第三章
三角形
三角形三边关系
三角形
三角形内角和定理
角平分线
三条重要线段
中线
高线
全等图形的概念
全等三角形的性质
SSS
三角形
SAS
全等三角形
全等三角形的判定
ASA
AAS
H
L
（适用于
Rt
Δ）
< br>
全等三角形的应用
利用全等三角形测距离
作三角形
一、三角形概念
1
< br>、
不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，
称为三角形，
可以用符号
“Δ”
表
示。
2
、顶点是
A
、
B
、
C
的三角形，记作“Δ
ABC
”
，读作“三角形
ABC
”
。
3
、组成三角形的三条线段叫
做三角形的边，即边
AB
、
BC
、
AC
，有时也用
a
，
b
，
c
来表示，
顶点
A
所
对的边
BC
用
a
表示，边
AC
、
AB
分别用
b
，
c
来表示；
4
、∠
A
、∠
B
、∠
C
为
Δ
ABC
的三个内角。
二、三角形中三边的关系
1
、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
用
字母可表示为
a+b>c,a+c>b,b+c>a
；
<
br>即三条边和三个内角。 6
<
br>
2
a-b
。
2
、判断三条线段
a,b,c
能否组成三角形：
（
1<
/p>
）当
a+b>c,a+c>b,b+c>a
同时成立时，能组成三角形；
（
2
）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3
、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于
两边的差而小于两边的和，即
a
b<
/p>
c
a
b
.
三、三角形中三角的关系
1
、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于
180
0
。
2
、三角形按内角的大小可分为三类：
（
1
）锐角三角形，即三角形的三个内
角都是锐角的三角形；
（
2
）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“
Rt
Δ”表示“直角三角形”
,
其中直角∠
C
所对的边
AB
称为
直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。
注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（
3
）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三
角形。
3
、判定一个三角形的形状主
要看三角形中最大角的度数。
4
、直
角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。
5
、
任
意一个三角形都具备六个元素，
都具有三边关系和三内角之和为
1
80
0
的性质。
、三角形内角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角的方程的重要等量关系。
四、三角形的三条重要线段
1
、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。
2
、三角形的角平分线：
（
1
）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交
，这个角的顶点
和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
<
/p>
（
2
）任意三角形都有三条角平分线，并
且它们相交于三角形内一点。
3
、三角形的中线：
（
1
）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段
，叫做这个三角形的中线。
（
2
）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点
。
4
、三角形的高线：
（
1
）
从三角形的一
个顶点向它的对边所在的直线做垂线，
顶点和垂足之间的线段叫做三角形
的高线，简称为三角形的高。
（
）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。
五、全等图形
1
、两个能够重合的图形称为全等图形。
2
、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。
3
、全等图形的面积或周长均相等。
4
、判断两个图形是否全等时，形状相同与大小相等两者缺一不可。
5
、全等图形在平移、旋转、折叠过程中仍然全等。
6
、全等图形中的对应角和对应线段都分别相等。
六、全等分割
1
、把一个图形分割成两个或几个全等图形叫做把一个图形全等分割。
2
、对一个图形全等分割：
（
1
）首先要观察分析该图形，发现图形的构成
特点；
（
2
）其次要大胆尝试，敢于动手，必要时可采用计算、交流、讨论等方法完成。
七、全等三角形
1
< br>、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于”
。<
/p>
2
、用“≌”连接的两个全等三角形，
表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3
< br>、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。这是今后证明边、角相等的重要
依据。
4
、两个全等三角形
，准确判定对应边、对应角，即找准对应顶点是关键。
八、全等三角形的判定
1
、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“
SSS
”
。
2
、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“
AS
A
”
。
3<
/p>
、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角
角边”或“
AAS
”
。
4
、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，
简写为“边角边”或“
SAS
”
。
5
、注意以下内容
< br>（
1
）三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一
定有一组边对应相等。
（
2
）三边对应相等，两边及夹角对应相等，一边及任意两角对应相等，这样的两个三角形全
等。
（
3
）两边及其中一边的对角对应相等不能判定两三角形全等。
6
、熟练运用以下内容
（
1
）熟练运用三角形判定条件，是解决此类题的关
键。
（
2<
/p>
）已知“
SS
”
，可考虑
A
：第三边，即“
SSS
”
；
B
：夹角，即
“
SAS
”
。
（
3
）已知“
SA
”
，可考虑
A
：另一角，即“
AAS
”或“
AS
A
”
；
B
：夹
角的另一边，即“
SAS
”
。
（
4
）已知“
AA
”
，可考虑
A<
/p>
：任意一边，即“
AAS
”或“
ASA
”
。
7
、三角形的稳定性：根据三角形全等的判定方法（
SSS
）可知，只要三角形三边的长度确定
了，这个三角形
的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
九、作三角形
1
、作图题的一般步骤：
（
1
）已知，即将条件具体化；
< br>
（
2
）求作，即具体叙述所作
图形应满足的条件；
（
3
）分析，即寻找作图方法的途径（通常是画出草图）
；
区
别
相
同
中
线
平分对边
三条中线交于三角形内部
角平分线
平分内角
三条角平分线交于三角表内部
（
1
）都是线段
垂
直于对边
锐角三角形：三条高线都在三角形内部
（
2
）都从顶点画出
高
线
（或其延长
直角三角形：其中两条恰好是直角边
（
3
）
所在直线相交于
线）
钝角三角形：其中两条在三角表外部
一点
（
4<
/p>
）作法，即根据分析所得的作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程；