变型鸡兔同笼问题与假设法详细典型题型
北海公园-
第三讲
变型鸡兔同笼问题与假设法
【专题知识点概述】
1500
大约在问题吗？这个问题，是我国古代着名
< br>趣题
之一。你以前听说过“鸡兔同笼”年前，
《孙子算经》中就记载了这个有趣
的
问题。书中是这样叙述的：
“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，
问鸡兔各几何？这四句话的意思是：
有若干只鸡兔同在一
只脚。求笼中各有几
只鸡和兔？个头；从下面数，有
94
个笼子里，从上面数，有
35
古人常用的这
种思维方法叫化归法。
化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，
而是将题中的条件或问题进行变形，
使之转化，直到最终把它归成某个已经解决
< br>的问题。今天我们将给大家介另外一种求解“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设
法”！
【授课批注】本节课意让在探究中体会解题思想，
在策略多样性中体验最优思
想，
培养学生多手段、多层面、多角度地探索问题，解决问题的基本方法和一般
< br>方法，
体验了解决问题策略的多样同时体会解题过程性
，使学生感受“鸡兔同
笼”问题
的变
式及其在生活中的广泛的应用，中化难为易、化繁为简的思想方
法，发展了
学生创新意识，开拓了学生解题思路，发展了
学生的个性，使学生
在各种数学思
想的渗透中形成良好的数学解题能力。
鸡兔同笼”问题基本解题公式
1
）已知总头数和总脚数，
求鸡、兔各多少：（
=
兔数；每只鸡的脚数×总头
数）
÷（每只兔的脚数
-
每只鸡的脚数）
-
（总脚数
=
鸡数。总头数
-
兔数
鸡<
/p>
数；
-
每只鸡脚数）
=
或者是（每只兔脚数×总头数
-
总脚数）÷（每只兔脚
数
兔数。
-
鸡数
=
总头数
）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比
兔的
总脚数多时，可用式（
2
兔数；每只兔的脚数）
=
（每只鸡脚数×总头数
-
脚数之差）÷（每只鸡的脚数
+ =
鸡数
-
总头数兔数
=
鸡数；鸡兔脚数之差）
÷（每只鸡的脚数
+
每只免的脚数）
+
或（每只兔脚数×总头数
兔数。
-
总头
数鸡数
=
）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可
用公式。（
3
=
每只兔的脚数）兔数；
（每只鸡的脚数×总头数
+
鸡兔脚数之差）
÷（每只鸡的脚数
+
鸡数。兔数总头数
-=
鸡每只兔的脚数）
=
鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数
或（每只兔的脚数×总
头数
-+
数；
兔数。
=
鸡数
-
总头
数
（
4
）得
失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：
（
1
只合格品得分数×产品总数
-
实得总分数）
÷（每只合格品得分数
+
每只不
合
格品扣分数）
=
不合格品数。
或者是总产品数
-
（每只不合格品扣分数×总产品数
+
实得总分数）÷（每只合
格品得分数
+
每只不合格品扣分数）
=
不合格品数。
（
5
）鸡兔
互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问
题）
，
可用下面的公式：
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）
+
（两次总脚数之差）÷（每只
鸡兔脚数之差）〕÷
2=
鸡数；
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）
-
（两次总脚数之差）÷（每
只
鸡兔脚
数之差）〕÷
2=
兔数。
【授课批注】
用不同方法（同为鸡，
同为兔，砍足，增头，图示法等）解决问
题，增强学生知
识面和拓展思维。
重点难点解析】
1.
通过不同的方法研究解决鸡兔同笼问题
2.
对“假设法”的理解和应用，渗透假设的思想方法
【竞赛考点挖掘】
1.
假设法的应用
2.
理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的的算理
【习题精讲】
【例
1
】（难度等级
※）
工人运青瓷花瓶
250
个，规定完整运一个到目的地给运费
20
元，损坏一个要倒
赔
100
元，运完这批花瓶后，工人共得
4400
元
.
问共损坏了几个花瓶？
【分析
与解】
假设
250
个能够完整运达目的地。
将得运费
250
×
20=5000
（元），与实际所
得
相差
5000-4400=600
（元）。损坏个数
600
÷（
100+20
）
=5
（个）。
【例
2
】（难度等级
※※）
松鼠妈妈采松果，晴天每天可以采
20
个，雨
天每天只能采
12
个
.
它
一连几天采
了
112
个松果，平均每天采
14
个
.
问这几
天中有几个雨天？
【分析与解】．
因松鼠妈妈共采松果
112
个，平均每天采
14
个，所以实际用了
112
÷
14
＝
8
（天）
.
假设这
8
天全是晴天，松鼠妈妈应采松果
20
×
8
＝<
/p>
160
（个），比实际
采的多了
160
－
112
< br>＝
48
（个），因雨天比晴天少采
20
－
12
＝
8
（个），所以共
有雨天
48
÷
8
＝
6
（天）
.
【例
3
】（难度等级
※※）
四年级四班有
60
个学生参加下棋活动老师准备了象棋、
跳棋
20
副，
2
人下一
幅
象棋，
6
人下一副跳棋，问象棋和跳棋各多少副？
【分析与解】
假设
20
副均为象棋，共有
20
×
2=40
（人）在玩，还有
20
人没参加活动。跳
棋数
20
÷（
6-2
）
=5
（副），象棋数
20-5=15
（副）。
【例
4
】（难度等级
※※）
实验小学四年级举行数学竞赛，一共出了
10
道题目，答对一道得
10
分，答错
一题反扣
5
分（没有不答的情况）
。张华得了
70
分，他答对了几道题？
【分
析与解】
假设所有问题全部答对，得分
10
×
10=100
（分），比实际得分多
100-70=30
（分），错题数：
30
÷（
10+5
）
=2
（道），正确题数：
10-2-8
（道）。
【例
5
】（难度等级
※※※）
蜘蛛有
8
条腿，蜻蜓有
6
条腿和
2
对翅膀，蝉有
6
条腿和
1
对翅膀。现在这
三
种小虫共
18
只，有
118
条腿和
20
对翅膀。每种小虫各几只？
【分析与解】
因为蜻蜓和蝉都有
6
条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“
8
条腿”
与“
6
条腿”两种。
利用公式就可以算出
8
条腿的蜘蛛数
（
118
－
6
×
18
）
÷
（
8
－
6
）
＝
5
（
只
）
。
因此就知道
6
条腿的小虫共
18
－
5
＝
13
（
只
）
。
也就是蜻蜓和蝉共有
13
只，它们共有
20
对翅膀。
蝉数
（
13
×
2
－
20<
/p>
）
÷
（
2
－
1
）
＝
6
（
只
）
。
因此蜻蜓数是
13
－
6
＝
7
（
只
）
。
【例
6
】（难度等级
※※※）
一份稿件
< br>,
甲单独打字需
6
小时完成
.
乙单独打字需
10
小时完成
,
现在甲单独打若
干小时后
,
因有事由乙接着打完
,
共用了
7
小时
.
甲打字用了多少小时？
【分析
与解】
我们把这份稿件平均分成
30
份
（
30
是
6
和
10
的最小公倍数
）
,
甲每小时打
30
÷
6=5
（
份
）
,
乙每小时打
30
÷
10=3
（
份
）
.
现在把甲打字的时间看成兔头数
,<
/p>
乙
打字的时间看成鸡头数
,
总头数是
?
兔的脚数
是
?
鸡的脚数是
3,
总脚数是
30,
就
把问题转化成鸡兔同笼问题了
.
根据前面的公式
（
5-3
）
=4.5,
÷
7
< br>）
×
=
（
30-3
数兔
鸡数
=7-4.5 =2.5,
也就是甲打字用了
4.5
小时
,
乙打字用了
2.5
小时
.
【例
7
】（难度等级
※※※※）
有
50
位同学前往参观
,
乘电车前往每人
1.2
元
,
乘小巴前往每人
4
元
,
乘地
下铁路
前往每人
6
元
.
这些同学共用了车费
110
元
,
问其中乘小巴的同学有多少
位？
【分析与解】
由于总钱数
110
元是整数
,
小巴和地铁票也都是整数
,
因此乘电车前往的人数一
定
< br>
是
5
的整数倍
.
如果有
30
人乘电车
, 110-1.2
×
30=74
（
元
）
.
还余下
50-30=20
（
人
）
都乘小巴钱也不够
.
说明假设的乘电车人数少了
.
如果有
40
人乘电车
110-1.2
×
40=62
（
元
）
.
还余下
50-40=10
（
人
）
都乘地下铁路前往
,
钱还有多
（
62>6
×
10
）
.
说明假设
的乘电
车人数又多了
.30
至
40
之间
,
只有
35
是
5
的整数倍
.
现在又可以转
化成鸡兔同笼了
:
总头数
50-35=15,
总脚数
110-1.2
×
35=68.
因此
,
乘小巴前往的人数是
（
6
×
15-68
）
÷
（
6-4
）
=11.
【例
8
】（
难度等
级
※※※※）
商店出售大
,
中
,
小气球
,
大球每个
3
元
,
中球每个
1.5
元
,
小球
每个
1
元
.
张老师用
120
元共买了
55
个球
,
其中
买中球的钱与买小球的钱恰好
一样多
.
问每种球各买
几个？