人教版八下数学19.3 课题学习 选择方案教案+学案
短句-
人教版八年级下册数学第
19
章
一次函数
19.3
《课题学习
选择方案》教案
【教学目标】
知识与技能目标
1
< br>．利用一次函数知识
,
根据实际问题背景建立一次函数模
型；
2
．灵活运用变量关系建立一次
函数模型并且选择最佳方案解决相关实际问
题
过程与方法目标
1
< br>．能利让学生在探索过程中
,
体会“问题情境——建立模
型——解释应用—
—回顾拓展”这一数学建模的基本思想
,
感受函数知识的应用价值；
2
．
让学生结合自身的生活经历
,
< br>模仿尝试解决一些身边的函数应用问题
,
体会
数学与现实的密切联系
,
提高解决问题的能力
,
体会一次函数在分析和解决实际问
题中的
作用．
情感、态度与价值观目标
<
/p>
1
．
通过通过对实际问题的数据关系的探
索
,
使学生领会分类讨论的思想和善
于
总结的学习态度；
2
．
通过小组讨论交流合作
,
培养学生的合作意识和探索
精神
;
认识到函数与现
实有密切关系<
/p>
,
感受到数学的实际价值．
【教学重点】
建立一次函数模型解决实际问题．
【教学难点】
分类讨论的分析方法．
教师准备：教学中出示的教学插图和例题
.
< br>学生准备：复习一次函数的知识，并完成本节学案的自主学习内容
.
【教学过程设计】
一、情境导入
某校打算组织八年级师
生进行春游，
负责组织春游的老师了解到本地有甲乙
两家旅行社
满足要求，
针对团体出游，
两家旅行社的优惠方案各不相同，<
/p>
甲旅行
社表示可在原价基础上打八折优惠，
乙旅行社则推出学生半价，
教师九折的优惠，
经统计得知有<
/p>
300
名学生和
24
名老师将参加此次春游，你能帮忙分析出如何选
择旅行社更划算吗？
二、合作探究
知识点：运用一次函数解决方案选择性问题
【类型一】
利用一次函数解决自变量是非负实数的方案选择问题
例
1
小刚和
他父亲一起去灯具店买灯具，灯具店老板介绍说，一种节能灯
的功率是
< br>10
瓦
(
即
0.01
千瓦
)
的，售价
60
元；一种白炽灯的功率是
60
瓦
(
即
0.06
千瓦
)
的，售价为
3
元．两种灯的照明效果是一样的．使用寿命也相同
(3000
小时
以上
)
．如果当
地电费为
0.5
元
/
< br>千瓦
·
时，请你帮助他们选择哪种灯可以省钱？
解析：
设照明时间是
x
个小时，节能灯的费用为
y
1
元，白炽灯的费用为
y
2
元．根据
“
费用＝灯的售价＋电费
”
，分别列出
y
1
、
y
2
与
x
的函数解析式；然后
根据
y
1
＝
y
2
，
y
1
＞
< br>y
2
，
y
2
＞
y
1
三
种情况进行讨论即可求解．
解：
设照
明时间是
x
个小时，节能灯的费用为
y
1
元，白炽灯的费用为
y
2
元，
由题意可知
y
1
＝
0.01
×
0.5
x
＋
60<
/p>
＝
0.005
x
＋
60
，
y
2
＝
0.06
×
0.5
x
＋
3
＝
0.03
x
＋
3.
①当使用两灯费用相等时，
y
1
＝
y
2
，<
/p>
即
0.005
x
＋
60
＝
0.03
x
＋
3
，
解得
x
＝
2280
；
②当使用节能灯的费用大于白炽灯的费用时，
y
1
＞
y
2
，即
0.005
x
＋
60
＞
0.03<
/p>
x
＋
3
，解得<
/p>
x
＜
2280
；
③当使用节能灯的费用小于白炽灯的费用时，
y
2
＞
y
1
，即
0.03
x
＋
3
＞
0.005
x
＋
60
，解得
x
＞
2280.
所以
当照明时间小于
2280
小时，应买白炽灯；当照明时间大于<
/p>
2280
小时，
应买节能灯；当照明时间
等于
2280
小时，两种灯具费用一样．本题中两种灯的
照明效果是一样的．使用寿命也相同
(3000
小时以上
)
，所以买节能灯可以省钱．
方法总结：
解题的关键是要分析题意，
根据实际意义求解．
注意要把所有的
情况都考虑进去，分情
况讨论问题是解决实际问题的基本能力．
【类型二】
利用一次函数解决自变量是非负整数的方案选择问题
例
2
某灾情
发生后，
某市组织
20
辆汽车装运食品
、
药品、
生活用品三种救
灾物资共
100
吨到灾民安置点．按计划
20
辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运
同一种救灾物资且必须装满．根据
表中提供的信息，解答下列问题：
物资种类
每辆汽车运载量
(
吨
)
每吨所需运费
(
元
/
吨
)
食
品
6
120
药
品
5
160
生活用
品
4
100
(1)
设装运食品的车辆数为
x
，
装运药品的车辆数为
y
.
求
y
< br>与
x
的函数关系式；
(2)
如果装运食品的车辆数不少于
5
辆，装运药品的车辆数不少于
4
辆，那
么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；
(3)
在
(2)
的条件下，若要求
总运费最少，应采用哪种安排方案？并求出最少
总运费．
解析：
(1)
装运生活用品的车辆为
(20
－
x
－
y
)
辆，根据三种救灾物资共
100
吨
列出关系式；
(2)
根据题意求出
x
的取值范围并取整数值
从而确定方案；
(3)
分别
表示装运三
种物资的费用，求出表示总运费的表达式，运用函数性质解答．
解：
(1)
根据题意，装运食品的车辆为
x
辆，装运药品的车辆为
y
辆，那
么装
运生活用品的车辆数为
(20
－<
/p>
x
－
y
)
辆，则有
6
x
＋
5
y
＋
4(20<
/p>
－
x
－
y
)
＝
100
，整理得
，
y
＝－
2
x
＋
20
；
<
/p>
(2)
由
(1)
知，
装运食品，
药品，
生活用品三种物
资的车辆数分别为
x
，
20
－
2
x
，
x
≥
5
，
x
，由题意得
解得
5
≤
x
< br>≤
8.
因为
x
< br>为整数，所以
x
的值为
5
，
6
，
7
，
20
－
2
x
≥
4
< br>，
8.
所以安排方案有
4
种：
方案一：装运食品
5
辆、药品
10
辆，生活用品
5
辆；
方案二：
装运食品
6
辆、药品
8
辆，生活用品
6
辆；
方案三：装运食品
7
辆、药品
6
辆，生活用品
7
辆；
方案四：装运食品
8
辆、药品
4
辆，生活用品
8
辆；
(3)
设总运费
为
W
(
元
)<
/p>
，则
W
＝
6
x
×
120
＋
5(20
－
2
x<
/p>
)
×
160
＋<
/p>
4
x
×
100<
/p>
＝
16000
－
480
x
.
因为
k
＝－
480
＜
0
，所以
W
的值随
x
的增大而减小．要使总运费最少，
需
x
最大，则
x
＝
8.
故选方案四，
W
最小<
/p>
＝
16000
－
480
×
8
＝
12160(
元
)
．
< br>
答：选方案四，最少总运费为
12160
元．
方法总结：
解答此类
问题往往通过解不等式
(
组
)
求出自变量的取值范围，然
后求出自变量取值范围内的非负整数，
进而得出每种方案，
最后根据一次函数的
性质
求出最佳方案．
【类型三】
利用一次函数、统计等知识解决最省钱、更划算、更优惠的问
题
例
3
已知
A
、
B
两地的路程为
240
千米．
某经销商每天都要用汽车或火车将
x
吨保鲜品一次性由
A
地运往
B
地．
受各种因素限制，
下一周只能采用汽车和火
车
中的一种进行运输，且须提前预订．
现有货运收费项目及收费
标准表、行驶路程
s
(
千米
)
与行驶时间
t
(
时
)
的函数
图象
(
如图①
)
、上周
货运量折线统计图
(
如图②
)
等信息如下：
货运收费项目及收费标准表
运输
运输费单价：
冷藏单价：
固定费用：
工具
汽车
火车
元
/(
吨
·
千米
)<
/p>
2
1.6
元
/
(
吨
·
时
)<
/p>
5
5
元
/
次
200
2280
货运收费项目及收费标准表：
(1)
汽车的速度为
______
千米
/
时，火车的速度为
______
千米
/
时；
(2)
设每天用汽车和火车运输的总费用分别为
y
汽
(
元
)
和
y
火
(
元
)
，分别求
y
汽
、
y
火
与
x
的函数关系式
(
不必写出
x
的取
值范围
)
，当
x
为何值时，
y
汽
＞
< br>y
火
(
总费用
< br>＝运输费＋冷藏费＋固定费用
)
；
(3)
请你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经
销商应提前为下周
预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省？
< br>
解析：
(1)
根据图
①
上两点的坐标分别为
(2
，
120)
，
(2
，
200)
，直接得出两车
的
速度即可；
(2)
根据图表得出货运收费项目及收费标准表、行
驶路程
s
(
千米
)
与
行驶时间
t
(
时
)
的函数图象，得出关系式即
可；
(3)
根据平均数的求法以及折线图
走势两个角度分析得出运输总费用较省方案．
解：
(1)60
100
240
(2)
根据题意得
y
汽
＝
240
×
2
x
＋
60
×
5
x
＋
200
＝
500
x
＋
200
；
y
火
＝
240
×
1.6
x
＋
240
100
×
5
x
＋
2280<
/p>
＝
396
x
＋<
/p>
2280.
若
y
汽
＞
y
火
，得
出
500
x
＋
200
＞
396
x
＋
2280.
解得
x
＞
20
，当
x
＞
20
时，
y
汽
＞
y
火
< br>；
(3)
上周货运量
x
＝
(17
＋
20
＋
19
＋
22
＋
22
＋
23
＋
24)÷
7
＝
21
＞
20
，从平均数分
析，建议预定火车费用较省．从折线图走势分析，上周
货运量周四
(
含周四
)
后大
于
20
且呈上升趋势，建
议预订火车费用较省．
方法总结：
解
答方案选择问题，
要注意根据具体情境适当调整方法，
如解统<
/p>
计有关的方案选择问题时，
要注意从统计图表中读取信息，
然后利用这些信息解
决问题．
三、教学小结
1
.
本节课学习了用一次函数解决实际问题的基本思路
:
2
.
本节课渗透的数学思想方法
.
(
建立数学模型、数形结合、分类讨论
)
3
.
在选择方案时
,
往往需要从数学角度进行分析
,
涉及变量的问题常用到函
数
.
解决
含有多个变量的问题时
,
可以分析这些变量之间的关系
,
从中选取一个取
值能影响其他变量的值的变量
作为自变量
,
然后根据问题的条件寻求可以反映实
际问题的函数
,
以此作为解决问题的数学模型
.
【板书设计】
19.3
课题学习
选择方案
1.
利用一次函数解决自变量是非负实数的方案选择问题
2
．利用一次函数解决自变量是非负整数的方案选择问题
3
．利用一次函数、统计等知识解决最省钱、更划算、更优惠的问题
4
.
例题讲解
例
1
例
2
例
3
【课堂检测】
1
.
如图所示
,
某电信公司提供了<
/p>
A
,
B
两种方案
的移动通话费用
y
(
元
)
与通话时间
x
(
分
)
之间的关系
,
则以下说法错误的是
(
)
A
.
若通话时间少于
120
分
< br>,
则
A
方案比
< br>B
方案便宜
20
元
B
.
< br>若通话时间超过
200
分
,
则
B
方案比
A
方案便宜
12
元
C.
若通话费用为
< br>60
元
,
则
B
方案比
A
方案的通话时间长
D.
若两种方
案通话费用相差
10
元
,
则通话时间是
145
分或
1
85
分
解
析
:
由图可知
:
A
方案费用
:
当
x
>120
时
,
< br>y
=30+(
x
-120)×<
/p>
0
.
4,
即
y
=
B
方案费用<
/p>
:
当
x
>200
时
,
y
=50
+(
x
-200)×
0
.
4,
即
y
< br>=
故两种方案通话费用相差
10
元
,
则通话时间是
170-25=14
5
分或
170+25=195
分
.
故选
D
.
2
.
暑假赵老师带领
该校
“
三好学生
”
去北京旅游
,
甲旅行社说
:“
若教师买全票一张
,
则其余学生可享受半价
优惠
.
”
乙旅行社说
< br>:“
包括教师在内
,
全部按全票
的
6
折优
惠
.
”
若全票为
240
元
:
①
设
学
生
数
为
x
,
甲
旅
行
社
收
费
为
y
1
元
,
乙
旅
行
< br>社
收
费
为
y
2
元
,
则
y
1
=
,
y
2
=
.
②当学生有
人时
,<
/p>
两个旅行社费用一样
.
③当学生人数
时
,
甲旅行社收费少
.
解析
:<
/p>
①
y
1
=240
+120
x
,
y
2
=0
.
6×
240×
(
x
+1)=144+14
4
x.
②由
y
1
=
y
2
得
240+120
x
=144+144<
/p>
x
,
∴
x
=4
.
③由
y
1
<
y
2
得
240+120
x
<1
44+144
x
,
∴
x
>4
.
答案
:
①<
/p>
240+120
x
144+144
x
②
4
③大于
4
3
.
为了学生的身体健康
,
学校课桌、凳
的高度都是按一定的关系科学设计的
.
小艺
对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究
,
发现它们可以
根据人的身长调节
高度
.
于是
,
他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度
,
得到如下数据
:
高度
档次
凳高
x
(cm)
桌高
y
(cm)
37
.
0
70
.
0
40
.
0
74
.
8
42
.
0
78
.
0
45
.
0
82
.
8
第一档
第二档
第三档
第四档
(
1)
小艺经过对数据探究
,
发现
:
桌高
y
是凳高
x
的一次函数
,
请
你求出这个一次函
数的关系式
(
不要求
写出
x
的取值范围
);
(2)
小艺回家后
< br>,
测量了家里的写字台和凳子
,
写字台的高度为
77 cm,
凳子的高度
为
43
.
5 cm,
请你判断它们是否配套
?
说明理由
.
解
:(1)
设一次函数的
关系式
为
y
=
kx
+
b
(
k
≠0),
将表中数据任取两组
,
不
妨取
(37
.
0,70
.
0)
和
(42
.
0,78
.
0)
代入
,
得解得故一次函数的关系式是
y
=1
.
6
x
+10
.
8
.
(2)
当
x
=43
.
5
时
,
y
=1
.
6×
43
.
5+10
.
8=80<
/p>
.
4≠77
.
故
小艺家里的写字台和凳子不配套
.
4
.
王丽家装修
,
准备安装照明灯
.
他和爸爸到市场进行调查
< br>,
了解到某种优质品牌的
一盏
4
0
瓦白炽灯的售价为
1
.
5
元
,
一盏
8
瓦节能灯的售价为
22
.<
/p>
38
元
,
这两种
功
率的灯发光效果相当
.
假定电价为<
/p>
0
.
45
元
/
度
,
设照明时间
为
x
(
小时
)
,
使用一盏白
炽灯和一盏节能灯的费用分别为
< br>y
1
(
元
)
和
y
2
(
元
)[
耗电量
(
度
)=
功率
(
千瓦时
)×
用
电时间
(
小时
),
费用
=
电费
+
灯的售价
]
.
< br>
(1)
分别求出
y
1
,
y
2
与照明时间
x
之间的函数表
达式
;
(2)
你认为选择哪种照明灯合算
?
(3)
若一盏白炽灯的使用寿命为<
/p>
2000
小时
,
一盏节能灯的使用寿命为
6000
小时
,
如果不考虑其他因素
,
以
6000
小时计算
,
使用
哪种照明灯省钱
?
省多少钱
?
解
:(1)
根据题意
,
得
y
1
=0
.
45×
x
+1
.
5,
即
y
1
=0
.
018
x
+1
.
5;
y
2
=0
.
45×
x
+22
.
38,
即
y
2
=0
.
0036
x
+22
.
38
.
(2)
由
y
1
=
y
2
,
得
0
.
018
x
+1
.
5=0
.
0036
x
+22
.
38,
解得
x
=1
450;
由
y
1
>
y
2
,
得
0
.
018
x
+1
.
5>0
.
0036
x
+22
< br>.
38,
解得
x
>1450;
由
y
1
<
y
2
,
得
0
.
018
x
+1
.
5<0
.
0036
x
+22<
/p>
.
38,
解得
x
<1450
.
∴当照明时间为
1450
小时时
,
选择两种灯的费用相同
;
当照明时间超过
1450
小时
时
,
< br>选择节能灯合算
;
当照明时间少于
1450
小时时
,
选择白炽灯合算<
/p>
.
(3)<
/p>
由
(2)
知当
x
>1450
小时时
,
< br>使用节能灯省钱
.
当
x
=2000
时
,
y<
/p>
1
=0
.
018
×
2000+1
.
5=37
.
5(
元
);
当
x
=6000
时
,
y
2
=0
.
0036×
6000+22
.
38=43
.
98(
元
),
∴
3×
37
.
5-43
.<
/p>
98=68
.
52(
元
)
.
∴按
6000
小时计算
,
使用节能灯省
钱
,
省
68
.
52
元
.
<
/p>
5
.
某土特产公司组织
< br>20
辆相同型号的汽车装运甲、乙、丙三种土特产共
12
0
吨
去外地销售
.
按计划
20
辆车都要装运
,
每辆汽车只能装运同一种土特产
,
且必须
装满
,
根据下表提供的信息
,
解答以下问题
.
土特产种类
每辆汽车运载量
(
吨
)
每吨土特产获
利
(
百元
)
甲
8
12
乙
6
16
丙
5
10
(1)
设装运甲种土特产的车辆数为
x
,
装运乙种土特产的车辆数为
y
,
求
y
与
x
之间
的函数关系式<
/p>
.
(2)<
/p>
如果装运每种土特产的车辆都不少于
3
辆
,
那么车辆的安排方案有几种
?
并
写出每种安排方案
.
(3)
若要使此次销售获利最大
,
应采用
(2)
中哪种安排方案
?
并求出最大利润的值
.
解析
:(
1)
装运甲种土特产的车辆数为
x
,
装运
乙种土特产的车辆数为
y
,
共
20
辆
车
,
可得装运丙种土特产的车辆数为
20-
x
-
y
,
可得
8
x
+6
y
+5(20-
x
-
y
)=120,
整理成函数
形式即可
;(2)
由装运每种土特产的车辆都不少于
3
辆
,
可得把第
(1
)
问的结论代入
消去
y
,
再解不等式组即可
;
(3
)
列出利润
(
因变量
< br>)
与装运甲种土特产的车辆数
x
(
自
变量
)
的
函数关系式
,
根据一次函数的性质即可解出
.
解
:(1)
装运甲种土特产的车辆数为
x
,
装运乙种土特产的车辆数为
y
,
则可得装运
丙种土特产的车辆数为
20-<
/p>
x
-
y
,
根据题意
,
得
:
8
x
+6<
/p>
y
+5(20-
x
-
y
)=120,
∴
y
与
x
< br>之间的函数关系式为
y
=20―3
x.
(2)
由题意得
把
y
=20
―3
x
代人上式
,
可得
解这个不等式组
,
得
3≤
x
≤5
.
又∵
x
为正整数
,
∴
x
=3,4
或
5
.
故车辆的安排有三种方案
,
即
:
方案一
:
甲种
3
辆
,
乙种
11
辆
,
丙种
6
辆
.
方案二
:
甲种
4
辆
,
乙种
8
辆
,
丙种
8
辆
< br>.
方案三
< br>:
甲种
5
辆
,
乙种
5
辆
,
丙种
10
辆
.
(
3)
设此次销售利润为
W
元
,
则
:
W
=8
x
·
12+6(20-3
x
)·
1
6+5[20-
x
-(20-3
x
)]·
10=-92
x
+1920
.
∵
-92<0,
∴
W
随
x
的增大而减小
,<
/p>
又
x
=3,4
或
5,
∴当
x
=3
时
,
W
最大
=1644(
百元
)=16
.
44(
万元
)
.
故要使此次销售获利最大
,
应采用
(2)
中方案一
,
即甲种
3
辆
,
乙种
11
辆
,
丙种
6
辆
,
最大利润为<
/p>
16
.
44
万元
.
点评<
/p>
:
本题利用了一元一次不等式组和一次函数的增减性质进行求解<
/p>
,
解题时
注意确定自变量的取值范围
.
【教学反思】
成功之处：
本节课突出重点把握难点．
能够让学生经历数学知识的应用过程，
关注对问题的分析过程，
让学生自己利用已经具备的知识分析实例．
同时，
在解
决问题的过程中，要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想
.
本节课还通过