等比数列知识点总结与典型例题 (精华版)
赤壁赋原文及翻译-
等比数列知识点总结与典型例题
1
、等比数列的定义：
2
、通项公式：
a
n
< br>a
1
q
n
1
a
1
n
q
A
B
n
a
1
q
0,
A
B
0
，首项：
a
1
；公比：
q
q
a
n
a
q
n
m
n
a
m
a<
/p>
m
a
n
q
q
0
n
2,
且
n
< br>
N
*
，
q
称为
公比
a
n
1
推广：
a
n
a
m
q
n
m
q
n
m
3
、等比中项：
（
1
）如果
a
,
A
,
b
成等比数列，
那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项，即：
A
2
ab
或
A
ab
< br>
注意：
同号的
两个数
才有
等比中项，并且它们的等比中项
有两个
（
（
2
）数列
a
n
是等比数列
a
n
2
a
n
1
a
n
1
< br>
4
、等比数列的前
n
项和
S
n
公式：
（
1
）当
q
1
时，
S
n
na
1
（
2
< br>）当
q
1
时，
S
n
a
1
1
q
n
1
q
a
1
a
n
q
1
< br>
q
a
1
a
1
q
n
A
A
B
n
A
'
B
n
A
'
（
< br>A
,
B
,
A
',
B
'
为常数）
1
q
1
q
5
、等比数列的判定方法：
（
1
）用定义：对任意的
n
，都有
a
n
1
qa
n
或
列
（
2<
/p>
）等比中项：
a
n
2
a
n
1
a
n
1
(
a
n
1
a
n
1
0)
{
a
n
}
为等比数列
（
3
）通项公式：
a
n
A
B
n
A
< br>B
0
{
a
n
}
为等比数列
6
、等比数列的证明方法：
依据定义：若
a
n
<
/p>
q
q
0
n
2,
且
n
N
*
< br>或
a
n
1
qa
n
{
a
n
}<
/p>
为等比数列
a
n
1
a
n<
/p>
1
q
(
q
为常数，
a
n
0)
{
a
n
}
为等比数
a
n
7
、等比数列的性质：
（
2
）对任何
m
,
n
N
*
，在等比数列
{
a
n
< br>}
中，有
a
n
< br>
a
m
q
n
m
。
（
3
）若
m<
/p>
n
s
t
(
m
,
n
,
s
,
t
N
*
)
，则
a
n
a
m
a
s
a
t
。特别的，当
m
n
2
k<
/p>
时，得
a
n
<
/p>
a
m
a
k
2
注：
a
1<
/p>
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
等差和等比数列比较：
定义
递推公
式
通项公
式
中项
A
等差数列
a
n
1
a
n
d
等比数列
a
n
1
q
(
q
0
)
a
n
a
n
a
n
1
d<
/p>
；
a
n
a
m
n
md
a
n
a
n
< br>
1
q
；
a
n
a
m
q
n
m
a
n
a
1
(
n
1
)
< br>d
a
n
a
1
q
n
1
（
a
1
,
q
0
）
a
n
k
a
< br>n
k
（
n
,
k
N
*
,
n
k
0
）
2
S
n
n
(
a
< br>1
a
n
)
2
n
(
n
1
)
d
2
G
a
n
k
a
n
< br>
k
(
a
n
k
a
n
k
0
)
（
n
,
k
N
*
,
n
k
< br>
0
）
前
n
项和
<
/p>
S
n
na
1
na
1
(
q
1
)
S
n
a
1
1
q
n
a
1
a<
/p>
n
q
(
q
2
)
1
q
1
q
重要
性质
a<
/p>
m
a
n
a
p
a
q
(
m
,
n
,
p
,
q
N
*
,
m<
/p>
n
p
q
)
a
m
a
n
a
p
a
q
(
m
,
n
,
p
,<
/p>
q
N
*
,
m
n
p
q
)
经典例题透析
类型一：等比数列的通项公式
例
1
．
等比数列
{<
/p>
a
n
}
中，
a
1
a
9
64
,
a
3
a
7
20
,
求
a
11
.
思路点拨：
由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于
< br>a
1
和
q
的二元方程组，解出
a
1
和
q
，可
得
a
11
；或注意到下标
1
9
3
7
，可以利用性质可求出
a
3
、
a
7
，再求
a
11
.
解析：
8
a
1
a
9
a
1
a
1
q
64
法一：
设此数列公比为
q
，则
2
6
a
3
a
7
a
1
q
a
1
< br>q
20
(1)
(2)
由
(2)
得：
a
1
q
2
(1
q
4
)
20
..........(3)
∴
a
1
0<
/p>
.
由
(1)
得
：
(
a
1
q<
/p>
4
)
2
64
,
∴
a
1
q
4
8
......(4)
1
< br>
q
4
20
5
(3)
÷
(4)
得：
，
< br>
2
q
8
2
1
2
当
q
2
2<
/p>
时，
a
1
2
，
a
11
a
1
q
10
64
；
1
2
当
q
时，
< br>a
1
32
，
a
11
a
1
q
1
0
1
.
2
法二：
∵
a
1
a
9
a
3
a
7
64
,
又
a
3
a
7
20
< br>,
∴
2
q
4
5
q
2
2
0<
/p>
,
解得
q
2
2
或
q
2
∴
a
3
、
a
< br>7
为方程
x
< br>20
x
64
< br>
0
的两实数根，
∴
2
a
3
16
a
3
4
或
a
7
4
a
7
16
2
a
7
2
∵
a
3
a
11
a
7
,
∴
a
11
1
或
a
11<
/p>
64
.
a<
/p>
3
总结升华：
①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；
②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法
（除
式不为零）
.
举一反三：
【变式
< br>1
】
{a
n
}
为等比数列，
a
1
=3
，
a
9
=768
，求
a
6
。
【答案】
±
96
8
8
法一：
设公比为
q
，则<
/p>
768=a
1
q
，
q
=256
，∴
q=
±
2
，∴
a
6
=
±
96
；
2
法
二：
a
5
=a
1
a
9
a<
/p>
5
=
±
48
q=
±
2
，∴
a
6
=
±
96
。
【变式
2
】
{a
n
}
为等比数列，
a<
/p>
n
＞
0
，且
a
1
a
89
=16
，求
a
44<
/p>
a
45
a
46<
/p>
的值。
【答案】
64
；
2
∵
a
1
a
89
a
45
<
/p>
16
，又
a
n<
/p>
＞
0
，∴
a
45
=4
3
∴<
/p>
a
44
a
45<
/p>
a
46
a
45
64
。
【变式
3
】已知
等比数列
{
a
n
}
，若
a
1
a
2
a<
/p>
3
7
，
a
1
a
2
a
3
8
，求
a
n
。
< br>
【答案】
a
n
2
n
1
或
a
n
2
3
n<
/p>
；
3
2
法一：
∵
a
1
a
3
a
2
，∴
a
1
a
2
a
3
< br>
a
2
8
，∴
a
2
2
a<
/p>
1
a
3
5
,
解之得
a
1
1
，
a
3
4
或
a
1
4
，
a
3
1
从而
a
1
a
3
4
当
a
1
1
时，
q
2
；当
a
1
< br>
4
时，
q
故
a
n
2
n
1<
/p>
或
a
n
2
3
n
。
法二
：由等比数列的
定义知
a
2
a
1
q
，
a<
/p>
3
a
1
q
2
2
a
1
a
1
q
a
1
q
7
代入已知得
2
a
1
a
1<
/p>
q
a
1
q
8
1
。
2
2
a
1
(1
q
q
2
)
7
,
(1)
a
1
(1
q
q
)
7,<
/p>
3
3
a
q
2
(2)
1
a
1
q
8
将
a
1
2
代入（
1
）得
2
q
2
5
q
2
0
，
q
1
2
解得
q
2
或
q
a
4
a
1
1
1
由（
2
）得
或
1
，以下同方法一。
q
2
q
2
类型二：等比数列的前
n
项和公式
<
/p>
例
2
．
设等比数
列
{a
n
}
的
前
n
项和为
S
n
，若
S
3
+
S
6
=2S
9
，求数列的公比
q.
解析：
若
q=1
，则有
S
3<
/p>
=3a
1
，
S<
/p>
6
=6a
1
，<
/p>
S
9
=9a
1<
/p>
.
因
a
1
≠
0
，得
S
3
+S
6
≠
2S
9
，显然
q=1<
/p>
与题设矛盾，故
q
≠
1.
a
1
(1
< br>
q
3
)
a
1
(1
q
6
)
2
a<
/p>
1
(1
q
9
)
由
S
3
S
6
2
S
9
< br>得，
，
1
q
1
q
1
<
/p>
q
整理得
q
(2
q
-q
-1)=0
，
< br>
6
3
3
3
由
q
≠
0
，得
2q
-q
-1=0
，从而
(2q
+1)(q
-1)=0
，
3
1
4
因
q
≠
1
，故
q
，所以
q
。
2
2
3
3
6
3
3
举一反三：
【变式
1
】求等比数列
1,
,
,
【答
案】
1
1
3
9
的前
6
项和。
364
；
2
43
1
∵
a
1
1
，
q
，
n
6
3
1
6
< br>
1
1
6
3
3
1
364
∴
S
6
。
< br>
1
1
2
3
243
1
3
【变式
2
】已知：
{a
n
}
为等比数列，
a
1
a
2
a
3
=2
7
，
S
3
=1
3
，求
S
5
.
【答案】
121
或
3
2
121
；
9
a
1
(1
q
3
)
1
∵
a
27
a
2
3
，
13
q
3
或
q
< br>，则
a
1
=1
< br>或
a
1
=9
< br>1
q
3
1
9
1
－
1
3
5
3
5
121
∴
S
5
.
121
或
S
5
＝
＝
1
1
3
9
1
－
3
【变式
3
】在等比数列
{
a
n
}
< br>中，
a
1
a
n
66
，
a
2
a
n
1
128
，
S
n
126
，求
n<
/p>
和
q
。
【答案】
q
1
或
2
，
n
6
；
2
∵
a
2
< br>
a
n
1
a
1
a
n
，∴
a<
/p>
1
a
n
128
a
1
64
a
1
2
a
1
a
< br>n
128
解方程组
，得
或
a
2
a
64
a
a
66
n
n
< br>1
n
①将
a
1
64
a
a
n
q
1
代入
S<
/p>
n
1
，得
q
，
2
1
q
a
n
< br>2
由
a
n
a
1
q
n
1
，解得
n
6
；
a
1
2
a
a
n
q
②将
代入
S
n
< br>1
，得
q
2
，
a
64
1
q
n
由
a
n
a
1
q
n
1
，解得
n
6
。
∴
q
< br>
1
或
2
，
n
6
。
2
类型三：等比数列的性质
例
3.
等比数列
{
a
n
}
中，若
a
5
a
6
9
,<
/p>
求
log
3
a<
/p>
1
log
3<
/p>
a
2
...<
/p>
log
3
a<
/p>
10
.
解析：
∵
{
a
n
}
是等比数列，∴
a
1
a
10
a
2
a<
/p>
9
a
3
a
8
a
4
a
7
a
5
a
6
9
∴
log
3
a
1
lo
g
3
a
2
<
/p>
log
3<
/p>
a
10
log
3
(
a
1
a
2
a
3
举一反三：
【变式
1
】正项等比数列
< br>{
a
n
}
中，若
a
1
·
a
100
=100;
则
lga
1
+lga
2
+
……
+lga
1
00
=_____________.
【答案】
100
；
∵
lga
1
+lga
2
+lga
3
+
……<
/p>
+lga
100
=lg(a
1
·
a
2
< br>·
a
3
·……·
a
100
)
而
a
1
·
a
< br>100
=a
2
·
a
99
=a
3
·
a
98
=
< br>……
=a
50
·
a
51
< br>∴原式
=lg(a
1
·
a
100
)
50
=50lg(a
1
·
a
100
)=50
×
< br>lg100=100
。
【变式
2
】在
a
10
)
log
3
(
a
5
a
6
)
5
log
3
9
5
10
8
27
和
之间插入三个
数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为
________
。
3
2
【答案】
216
；
法一：
设这个等比数列为
{
a
n
}
，其公比为
q
，
∵
a
1
8
27
8
81
9
<
/p>
a
1
q
4
q
4
，∴
q
4
，
q
2
< br>
，
a
5
2
3
16
4
3
3
8<
/p>
∴
a
2
a
3
a
4
a
1
q
a
1
q
a
1
q
a
<
/p>
q
3
2
3
3
1
6
9
6
3
216
。
4
8
27
，
a
5
，
2
3
3
法二：
设这个等比数
列为
{
a
n
}
，公比为
q
，则
a
1