等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法
五言绝句-
等差、
等比的公式性质以及数列的求和方法
第一节：等差数列的公式和相关性质
1
、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一
项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：
a
n
a
n
1
d
（
d
为公差）
（
n
2
，
n
< br>
N
*
）注：下面所有涉及
n
，
n
N
*
省略，你懂的。
2
、
等差数列通项公式：
a
n
a
1
(
n
1)
< br>d
，
a
1
为首项，
d
为公差
推广公式：
a
n
a
m
(
n
< br>m
)
d
变形推广：
d
< br>
3
、等差中项
b
成等差数列，
（
1
）
如果
a
，
A
，
那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项．
即：
A
a
b
2
a
n
a
m
n
< br>m
或
2
A
a
b
（
2
）等差中项：数列
a
n
是等差数列
2
a
n
a
n
-
1
a
n
1
(<
/p>
n
2
)
2
a
n
1
a
n
a
n
2
4
、
等差数列的前
n
项和公式：
S
n
n
(
a
< br>1
a
n
)
n
(
n
1)
na
1
d
2
2
d
2
1
2
n
2
(
a
1
d
)
n
An
2
< br>
Bn
（其中
A
、
B
是常数，所以当
d
≠
0
时，
S
n
是关于
n
的二次式且常数
项为
0
）
特别地，
当项数为奇数
2
n
1
时，
a
n
< br>1
是项数为
2n+1
的等差数列
的
中间项
S
2
n
1
<
/p>
2
n
1
a
1
a
2
n
1
< br>2
2
n
1
a
n
1
（项数为奇数的等差数列的各项<
/p>
和等于项数乘以中间项）
5
、等差数列的判定方法
（
1
）
定义法：
若
a
n<
/p>
a
n
1
d
或
a
n
1
a
n
d
(
常数
n
N
)
a
n
是
等差数列．
（
2
）等差中项：数列
a
n
是等差数列
2
a
n
a
n
-
1
a
n
1
(<
/p>
n
2
)
2
a
n
1
a
n
a
n
2
（
3
）数列
a
n
是等差数列
a
n
kn
b
（其中
k
,
b
是常数）。
（
4
）
数列
a
n
是等差数列
S
n
An
2
Bn
,
（其中
A
、
B
是常数）。
6
、等差数列的证明方法
定义法：若
a
n
a
n
1
d
或
a
n
1
< br>a
n
d
(
常数
n
N
)
<
/p>
a
n
是等差
数列．
7
、等差数列相关技巧：
（
1
）
等差数列的通项公
式及前
n
和公式中，
涉及到
5
个元素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
< br>S
n
，其中
a
< br>1
、
d
称作为基本元素。只要已
知这
5
个元素中
（
2
）设项技巧：
①一般可设通项
a
n
a
1
(
n
1)
d
②奇数个数成等差，可设为„，
a
2
d
,
a
< br>
d
,
a
,
a
d
,
a
2
d
„（公差
的任意
3
个，便可求出其余
2
个，即知
3
求
2
。
为
d
）
；
③偶数个数成等差，可设为„，
a
< br>
3
d
,
a
d
,
a
d
,
a
3
d
,
„（注意；
公差为
2
d
）
8
、等差数列的性质：
（
1
）
当公差
d
0
时，
等差数列的通项公式
a
n
<
/p>
a
1
(
n
1)
d
dn
a
1
d
是
关
于
n
的
一
次
函
数
，
且
斜
率
为<
/p>
公
差
d
；
前
n
和
S
n
na
1
n
(
n
< br>
1)
d
d
d
n
2
(
a
1
<
/p>
)
n
是关于
n<
/p>
的二次函数且常数项为
2
2
2
0
。
< br>（
2
）若公差
d
0
，则为递增等差数列，若公差
d
0
，则为递减
等差数列，若公差
d
0
，则为常数列。
（
3
）
当
m
n
p
q
时
,
则有
a
m
a
n
a
p
a
q
，特别地，当
m
n
2
p
时，则有
a
m
a
n
2
a
p
。
（注：
a
1
a
n
a
2
a
n<
/p>
1
a
3
a
n
2
，
）当然扩充
到
3
项、
4
项„„都是可以的，但要保证等号两边
项数相同，下标系
数之和相等。
（
4
）
a
n
、
b
n
为等差数列，则
a
n
b
，
1
a
n
< br>2
b
n
都为等差数列
(5)
若
{
a
n
}
是等差数列，则
S
n
,
S
2
n
S
n
,
S
3
n
S
2
n
，„也成等差数
列
(6)
数
列
{
a
n
}
< br>为
等
差
数
列
,
每
隔
k
(k
N
*
)
项
取
出
一
项
(
a
m
,
a
m
k
,
a
m
< br>
2
k
,
a
m
3
k
,
)
仍
为等差数列
（
7
）
a
< br>n
、
{
b
n
}
的前
n
和分别为
A
n
、
B
n
，则
a
n
A
2
n<
/p>
1
b
n
B
2
n
1
（
8
）
等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
m
n
，
前
m
项和
S
< br>n
m
，
则前
m+n
项和
S
< br>m
n
m
n
，当然也有
a
n
m
,
a
m
n
，则<
/p>
a
m
n
0
(9)
求
S
n
的最值
法一：因等差数列前
n
项和是关于
n
的二次函数，故可转化为求
二次函数的最值，但要注意数列的
特殊性
n
N
*
。
法二：
（
1
）
“首正”
的递减等差数列中，前
n
项和的最大值是所有
非负项之和
即当
a
1
0
，
d
0
，
< br>
由
a
n
0
可
得
S
n
达到最大值时的
n
值．
< br>a
n
1
0
（
2
）
“首负”的递增等差数列中，前
n
项和的最
小值是所有
非正项之和。
即
当
a
1
0
，
d
0
，
由
< br>a
n
0
可得
S
n
达到最小值时的
n
值．
a
n
1
< br>
0
或求
a
n
中正负分界项
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前
n
项和的图像
是过原点的二次函数，
故
n
取离二次函数对称轴最近的整数时，
S
n
取
最大值（或最小值）
。若
S
p
=
S
q
则其对称轴为
< br>n
注意：
< br>S
n
S
n
1
a
n
(
n
2)
，
对于任何数列都适用，
但求通项时记住讨论
当
n
1
的情况。
p
q
2
解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于
a
1
和
d
的方程；
< br>
②巧妙运用等差数列的性质，
一般地运用性质可以化繁
为简，
减少运算量。
（
以上加上蓝色的
性质希望读者能够自己证明，
不是
很难，并能够学会运用）
第二节：等比数列的相关公式和性质
<
/p>
1
、等比数列的定义：
2
、通项公式：
a
n
a
1
q
n
1
，
< br>a
1
为首项，
q
为公比
a
n
q
q
0
n
2
，
q
为公比
a
n
1
推广公式：
a
n
a
m
q
n
m
，
从而得
q
n
m
3
、等比中项
a
n
a
m
（
1
）如果
a
,
A
,
b
成等比数列，那么
A
叫做
a
与
b
的
等差中项．即：
A
2
ab
或
A
< br>
ab
注意：
同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项
有两个（两个等比中项互为相
反数）
（
2
）数列
a
n
是等比数列
a
n
2
a
n
1
a<
/p>
n
1
4
、等比数列的前
n
项和
S
n
公式：
(1)
当
q
1
时，
S
n
na
1
(2)
当
q
1
时，
S
n
a
1
1
q
n
1
q
a
1
< br>
a
n
q
1
q
a
1
a
1
q
n
A
A
B
n
A
'
< br>B
n
A
'
A
,
B
,
A
',
B
'<
/p>
为常数）
（
1
q
1
q
5
、等比数列的判定方法
（
1
）
用定义：
对任意的
n,
都有
a
n
1
qa
n
或
为等比数列
a
n
1
q
(
q
为常数，
a
n
0)
{
a
n
< br>}
a
n
（
2
）
等比中项：
a
n
2
a
n
1
a
n
1
（
a
n
1
a
n
< br>
1
0
）
{
a
n
}
为等比数列
（
3
）
通项公式：
a
n
A
B
n
A
B
0
{
a
n
}
< br>为等比数列
（
4
）
前
n
项和公式：
S
n
A
A
B
n
或
S
n
A
'
B
< br>n
A
'
A
,
B
,
A
',
B
'<
/p>
为常数
{<
/p>
a
n
}
为等比数
列
6
、
等比数列的证明方法
依据定义：若<
/p>
a
n
q
q
0
n
2,
且
n
< br>N
*
或
a
n
1
qa
n
{<
/p>
a
n
}
为等比数
列
a
n
<
/p>
1
7
、等比数列相关技巧：
（
1
）
< br>等比数列的通项公式及前
n
和公式中，
< br>涉及到
5
个元素：
a
1
、
q
、
n
、
a
n
及
S
n
，其中
a
1
、
q
称作为基本元素。只要已知这
5
个元素中
的任意
3
个，便可求出其余
2
个，即知
3
求
2
。
（
2
）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：
a
n
a
1
< br>q
n
1
a
a
2
,
,
a
,
aq<
/p>
,
aq
„（公比为
q
，中间项
2
q
q
如奇数个数成等比，可设为„，
用
a
表示）
；
注意隐含条件公比
q
的正负
8
、等比数列的性质：
(1)
当
q
1
时
①等
比数列通项公式
a
n
a
1
q
n
1
a
1
n
q
A<
/p>
B
n
A
B
0
是关于
n
的带有系
q
数的类指数函数，底数为公比
q
②前
n
项和
S
n
a
1
1
< br>
q
n
1
q
a
1
a
1
q
n
a
1
a
1
q
n
A
< br>A
B
n
A
'
B
n
A
'
，系<
/p>
1
q
1
q
1
q
数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比
q
(2)
对任何
m,n
N
*
,
在等比数列
{
a
n
}
中
,
有
a
n
< br>a
m
q
n
m
,
特别的
,
当
m=1
时
,
便得到等比数列的通项公式。因此
,
此公式比等比数列的通项公式更
具有一般性。
(3)
若
m
n
s
<
/p>
t
(
m
,
n
,
s
,
t
N
*
),
则
a
n
< br>
a
m
a
s
a
t
。特别的
,
当
m
n
2<
/p>
k
时
,
得
a
n
a
m
a
k
2
注：
a
< br>1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
(4)
列
{
a
n
}
,
{<
/p>
b
n
}
为等比数
列
,
则数列
{
}
,
{
k
<
/p>
a
n
}
,
{
a
n
k
}
,
{
k
a
n
b
n
}
{
n
}
(k
为
非零常数
)
均为等比数列。
(5)
数
列
{
a
n
}
为
等
比
数
列
,
每
隔
k(k
N
*
)
项
取<
/p>
出
一
项
(
a
m
,
a
m
k
,
a
m
2
k
,
a
m
3
k
,
)
仍为等比数列
(6)
如果
{
a
n
}
是各项均为正数的等比数列<
/p>
,
则数列
{log
a
a
n
}
是
等差数列
(7)
若
{
a
n
}
为等比数列
,
则数列
S
n
，
S
2
n
S
n
，
S
3
n
S
2
n
,<
/p>
，成等比数列
(8)
若
{
a
n
}
为
等<
/p>
比
数
列
,
则
数
列
a
1
a
2
a
n
,
a
n
1
a
n
2
a
2
n
,
a
< br>2
n
1
a
2
n
2
a
3
n
成等比数列
k
a
n
a
b
n
(9)
①当
q
1
时，
< br>
②当
0<
q
1
时，<
/p>
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递减数列
1
0
，则
{
a
n
}
为递增数列<
/p>
{
a
{
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递减数列
,
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递增数列<
/p>
③当
q=1
时
,
该数列为常数列（此时数列也为等差数列）
< br>;
④当
q<0
时
,
该数列为摆动数列。
(10)
在等比数列
{
a
n
}
中
,
当项数为
2n (n
N
*
)
时
,
S
奇
< br>1
,
。
S
偶
q
(11)
若
{
a
n
}
是公比为
q
的等比数列
,
则
< br>S
n
m
S
n
q
n
S
m