等比数列及其前n项和考点与题型归纳
trip-
等比数列及其前
n
项
和考点与题型归纳
一、基础知识
1
．等比数列的有关概念
(1)
定义：
如果一个数列从第
< br>2
项起，
每一项与它的前一项的比等于同一常数
(
不为零
)
，
那么这个数列就叫做等比数列．
这个常数叫做等比数列的公比，
通常用字母
q
表示，
定
义的
表达式为
a
n
＋
1
＝
q
.
a
n
(2
)
等比中项：如果
a
，
G
，
b
成等比数列，那么
G
叫做
a
与
b
的等比中项．即
G
是
a
与
b
的等
比中项
⇔
a
，
G
，
b
成等比数列
⇒
G
2
＝
ab
.
只有当两个数同号且不为
0
时，才有等比中项，且等比中项有两个
.
2
．等比数列的有关公式
(1)
通项公式：
a
n<
/p>
＝
a
1
q
-
n
－
1
.
na
1
，
q
< br>＝
1
，
(2)
前
n
项和公式：
S
n
＝
< br>
a
1
1
－
q
n
a
1
－
a
n
q
＝
，
q
≠1.
1
－
q
1
－
q
3
．等比数列与指数型函数的关系
当
q
>0
且
q
≠1
时，
a
n
＝
·
q
可以看成函数
y
＝
cq
，
其是
一个不为
0
的常数与指数函数
的乘积，
因此数列
{
a
n
}
各项所对应的点都在函数
y
＝
cq
的图象上；
x
a
1
q
n<
/p>
x
a
1
1
－
q
n
a
1
n
a
1
对于非常数列的等比数列
{
a
n
}
的前
n
项
和
S
n
＝
＝－
q
＋
，若设
a
＝
1
－
q
1
－
q
1
－
q
a
1
1
－
q
，则
S
n
＝－
aq
＋
a
(
a
≠0，
q
≠0，
q
≠1)．由此可知，数列
{
S
n
}
的图象是函数
y
< br>＝－
aq
＋
n
< br>x
a
图象上一系列孤立的点．
对于常数列的等比数列，即
q
＝
1
时，因为
a
1
≠0，所以
S
n
＝
na
1
.
由此
可知，数列
{
S
n
}
的
图象是函数
y
＝
a
1
x
图象上一系列孤立的点．
二、常用结论汇总——规律多一点
设
数列
{
a
n
}
是等比数列，
S
n
是其前
n
项和．
·
(1)
通
项公式的推广：
a
n
＝
a
m
·
q
(2)
若
m
＋
n
＝
p
＋
q
，则
a
m
a
n
＝
a
p
a
q
；若
2
s
＝
p
＋
r
，则
a
p
a
r
＝
< br>a
s
，其中
m
< br>，
n
，
p
，
q
，
s
，
r
∈
2
n
－
m
(
n
，
m
∈
N
)
．
*
N
.
(3)
a
k
，
a
k
＋
m
，
a
k
＋
2
m
，…仍是等比数列，公比为
q
(
k
，
m
∈
N
)
．
<
/p>
(4)
若数列
{
a
n
}
，
{<
/p>
b
n
}
是两个项
数相同的等比数列，
则数列
{
ba
n
}
，
{
pa
n
·
qb
n
}
和
等比数列．
(5)
若数列
{
a
n
}
的项数为
2
n
，则
pa
n
<
/p>
也是
qb
n<
/p>
m
*
*
S
偶
S
奇
－
a
1
＝
q
；若项数为
2
n
＋
1
，则
＝
q
.
< br>S
奇
S
偶
考点一
等比数列的基本运算
[
典例
]
(
2018·全国卷Ⅲ
)
等比数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，
a
5
＝
4
a
3
.
%
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
记
S
n
为
< br>{
a
n
}
的前
n
项和．若
S
< br>m
＝
63
，求
< br>m
.
[
解
]
(1
)
设
{
a
n<
/p>
}
的公比为
q
，
由题设得
a
n
＝
q
4
2
n
－
1
.
由已知
得
q
＝
4
q<
/p>
，解得
q
＝
0(
舍去
)
或
q<
/p>
＝－
2
或
q
＝
2.
故
a
n
＝
(
－
2)
n
－
1
或
a
n
< br>＝
2
n
－
1
n
－
1
.
n
(2)
若
a
n
＝
(
－
2)
1
－
－
2
，则
S
n
＝
3
m
.
由
S
< br>m
＝
63
，得
< br>(
－
2)
＝－
< br>188
，此方程没有正整数解．
]
若
a
n
＝
2
n
－
1
1
－
2
n
，则
S
n
＝
＝
2
－
1.
1
－
2
m
n
由
S
m
＝
63<
/p>
，得
2
＝
64<
/p>
，解得
m
＝
6.
综上，
m
＝
6.
[
题组训练
]
5
1
．已知等比数列
< br>{
a
n
}
单调递减，若
a
3
＝
1
，
a
2
＋
a
4
＝
，则
a
1
＝
(
)
2
A
．
2
~
B
．
4
D
．
2
2
5
2
解析：
选
B
由题意，设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
，
q
>0
，则
a
3
＝
a
2
a
4
＝
1
，又
a
< br>2
＋
a
4
＝
，
2
1
1
1
a
2
2
且
{
a
n
}
单调递减，所以
a
2
＝
2
，
a
4
＝
，则
q
＝
，
q
＝
，所以
a
1
＝
＝
4.
2
4
2
q
2
< br>．(2019·长春质检
)
已知等比数列
{
a
n
}
的各项均为正数，其前
n
项和为
S
n
，若
a
2<
/p>
＝
2
，
S
6
－
S
4
＝
6
a
4
，则
a
5
＝
(
)
A
．
4
C
．
16
解析：
选
C
设公比为
q
(
q
>0)
，
S
6
－
S
4
＝
a
5
＋
a
6
＝
6
a
4
，
因为
a
2
＝
2
，
所以
2
q
＋
2
< br>q
＝
12
q
，
即
q
＋
q
－
6
＝
0<
/p>
，所以
q
＝
2<
/p>
，则
a
5
＝2×
2
＝
16.
7
3
．
(2017·江苏高考
)
等比数列
{
a
n
}
的各项均为实数，
其前
n
项和为
S
n
.
已知
S
3
＝
，
S
6
＝
4
63
，则
a
8
＝
___
_____.
4
解析：设等比数列<
/p>
{
a
n
}
的公比为
q
，则由
S
6
≠2
S
3<
/p>
，得
q
≠1，
~
B
．
10
D
．
32
3
4
2
2
3
则
a
S
＝
6
a
< br>1
1
－
q
3
7
S
3
＝
＝
，
1
－
q
4
1
1
－
q
1
－
q
6
63
＝
，
4
q
＝
2
，
解得
1
a
1
＝
，
4
1
7
7
则
a
8
＝
a
< br>1
q
＝
×2
＝
32.
4
答案：
32
考点二
等比数列的判定与证明
[
典例
]
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项
和为
S
n
，
a
1
＝
1
，
S
n
＋
1
＝
4
a
n
＋
2(
n
∈
N
)
，
若
b
n
＝
a
n
＋
1
－
2<
/p>
a
n
，
求证：<
/p>
{
b
n
}
是等比数列．
^
[
证明
]
因
为
a
n
＋
2<
/p>
＝
S
n
＋
2
－
S
n
＋
1
＝
4
a
n
＋
1
＋
2
－
4
a
n
－
2
＝<
/p>
4
a
n
＋
1
－
4
a
n
，
所以
*
b
n
＋
< br>1
a
n
＋
2
－
2
a
n
＋
1
4
a
n
＋
1
－
4
a
n
－
2
a
n
＋
< br>1
2
a
n
＋
1
－
4
a
n
＝
＝
＝
＝
2.
b
n
a
n
＋
1
－
2
a
n
a
n
＋
1
－
2
a
n
a
n
＋
1<
/p>
－
2
a
n
因为
S
2
＝
a
1
＋
a
2
＝
4
a
< br>1
＋
2
，所以
< br>a
2
＝
5.
所以
b
1
＝
a
2
－
2
a
1
＝
3.<
/p>
所以数列
{
b
n
}
是首项为
3
，公比为
2
的等比数列．
[
解题技法
]
.
1
．掌握
等比数列的
4
种常用判定方法
定义法
中项公式法
通项公式法
前
n
项和公式法
< br>2
．等比数列判定与证明的
2
点
注意
~
(1)
等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式
法、前
n
项和公式法经常
在选择题、填
空题中用来判断数列是否为等比数列．
(2)
证明一个数列
{
a
n
}
不是等比数列，
只需要说明前三项满足
a
2
≠
a
1
·
a
3
，
或者是存在一
个正整数
m<
/p>
，使得
a
m
＋<
/p>
1
≠
a
m
·
a
m
＋
2
即可．
[
题组训练
]
1
．数列
{
a
n
}
的前
n<
/p>
项和为
S
n
＝<
/p>
2
a
n
－
2
，证明：
{
a
n
＋
1
－
2
a
n
}
是等比数列．
证明：因为
a
1
＝
S
1,
2
a
1
＝
S
1
＋
2
，
所以
a
1
＝
2
，由
a
1
＋
a
< br>2
＝
2
a
2
－
4
得
a
2
＝
6.
<
/p>
由于
S
n
＝
2
a
n
－
2
，
故
S
n
＋
1
＝
< br>2
a
n
＋
1
－
2
2
a
n
＋
2
，
|
2
2
n
n
n
＋
1
，
< br>后式减去前式得
a
n
＋
1
＝
2
a
n
＋
1
－
< br>2
a
n
－
2
，
即
a
n
＋
1
＝
n
n
所以
a
n
＋
2
－
2
a
n
＋
1
＝
2
a
n
＋
1
＋
2
n
＋
1
－
2(
2
a
n
＋
2<
/p>
)
＝
2(
a
n
＋
1
－
2
a
n
)
，
n
又
< br>a
2
－
2
a
1
＝
6
－
2×2＝
2
，
所以数列
{
a
n
＋
1
－
2
a
n
}
是首项为
2
、公比为
2
的等比数列．
2
．(2019·西宁月考
< br>)
已知在正项数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
2
，点
A
n
(
a
< br>n
，
a
n
＋
1
)
在双曲线
y
－
2
x
2
＝
1
上．
在
数列
{
b
n
}
中，
点
(
b<
/p>
n
，
T
n
)
在直线
y
＝－
x
＋
1
上，
其中
T
n
是数列
{
b
n
}
的前
n
项和．
(1)
求数列
{
a<
/p>
n
}
的通项公式；
(2)
求证：数列
{
b
n
}
是等比数列．
解：
(1)
由已知
点
A
n
在
y<
/p>
－
x
＝
1
上知，
a
n
＋
1
－
a
n
＝
1.
>
1
2
2
2
< br>
∴数列
{
a
< br>n
}
是一个以
2
为首项，
1
为公差的等差数列．
∴
a
n
＝
a
1
＋
(
n
－
1)
d
＝
2
＋
n
－
1
＝
n
＋
1.
< br>1
(2)
证明：∵点
(
b
n
，
T
n
)
在直线
y
＝－
x
＋
1
上，
2
1
∴
T
n
＝－
b
n
＋
1.
①
2
1
∴
T
n
－
1
＝－
b
n
－
1
＋
1(
n
≥2)．②
2
①②两式相减，得
<
/p>
b
n
＝－
b
n
＋
b
n
－
1
(
n
≥2)．
}
1
2
1
2
3
1
1
∴
b
n
＝
b
n
－
1
，∴
b
n
＝
b
n
－
1
.
2
2
3
1
2
由①，令
n
＝
1
，得
b
1
＝－
b
1
＋
1
，∴
b
1
< br>＝
.
2
3
2
1
∴数列
{
b
n
}
是以
为首项，
为公比的等比数列．
3
3
考点三
等比数列的性质
考法
(
一
)
等比数列项的性质
[
典例
]
(
1)(2019·洛阳联考
)
在等比数列
{
a
n
}
中
，
a
3
，
a<
/p>
15
是方程
x
＋
6
x
＋
2
＝
0
的根，
则
2
a
2
a
16
的值为
(
)
a
9
2
＋
2
A
．－
2
B
．－
2
}
D
．－
2
或
2
(2)
(2018·河南四校联考
)
在等比数列
{
a
n
}
中
，
a
n
>0
，
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
8
＝
4
，
a
1
a
2
…
a
8
＝
16
，
1
1
1
则
＋
＋…＋
的值为
(
)
< br>a
1
a
2
a
8
A
．
2
C
．
8
B
．
4
D
．
16
2
[
解析
]
(1)
设等比数列
{
< br>a
n
}
的公比为
q
，因为
a
3
，
a
15
是方程
x
＋
6
x
< br>＋
2
＝
0
的根，所以
a
2
a
< br>16
a
2
9
a
3
·
a
15
＝
a
＝
2
，
a
3
＋
a
15
＝－
6
，
所以
a
3
<0
，
a
15
<0
，
则
a
9
＝－
2
，
所以
＝
＝
a
9
＝－
2
，
故
a
9
a
9
2
9
选
B.
1
1
1
a
8
＋
a
1
a
7
＋
a
2
a
4
＋
a
5
(2)
由分数的性质得到
＋
＋…＋
＝
＋
＋…＋
.
因为
a
8
a
1
＝
a
7
a
2
＝
a
1
a
2
a
8
a
8
a
1
< br>a
7
a
2
a
4
a
5
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
8
4
4
a
3
a
6
＝
a
4
a
5
< br>，所以原式＝
＝
，又
a
1
a
2
…
a
8
＝
16
＝
(
a
4
a
5
)
，
a
n
>0
，∴
a
4
a
5
＝<
/p>
2
，∴
a
4
a
5
a
4
a
5
1
a
1
a
2
1
< br>1
＋
＋…＋
＝
< br>2.
故选
A.
a
8
[
答案
< br>]
(1)B
(2)A
。
考法
(
二
)
等比数列前
n
项和的性质
[
典例
]
各项均为正数的等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
n
＝
2
，
S
3
n
＝
14
，则
S
4
n
等于
(
)
A
．
80
C
．
26
D
．
16
B
．
30
[
解析
]
由
题意知公比大于
0
，由等比数列性质知
S
n
，
S
2<
/p>
n
－
S
n
，
S
3
n
－
S
2
n
，
S
4
n
－
S
3
n
，…仍
为等比数列．
设
S
2
n
＝
< br>x
，则
2
，
x
－
2,14
－
< br>x
成等比数列．
|
由
(
x
－
2)
＝2×(
14－
x
)
，
解得
x
＝
6<
/p>
或
x
＝－
4(<
/p>
舍去
)
．
∴
S
n
，
S
2
n
－
S
n
，
S
< br>3
n
－
S
2
n
，
S
4
n
－
S
3
n
，…是首项为
2
，公比为
2
的等比数列．
又∵
S
3
n
＝
14
，∴
S
4
n
＝
14
＋2×2
＝
30.
[
答案
]
B
[
解题技法
]
应用等比数列性质解题时的
2
个关注点
(1)
在
解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若
3
2
.
m
＋
n
＝
p
＋
q
，则
a
m
< br>·
a
n
＝
a
p
·
a
q
”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)
在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．
此
外，解题时注意设而不求思想的运用．
[
题组训练
]
1
．(2019·郑州第二次质量预测
)
已知等比数列
{
a
< br>n
}
中，
a
2
a
5
a
8
＝－
8
，
S
3
＝
a
2
＋
3
a
1
，则
a
1
＝
(
)
2
C
．－
9
1
B
．－
2
1
D
．－
9