等比数列的前n项和
卜-
§
2.5
等比数列的
前
n
项和
(1)
学习目标
1.
掌握等比数列的前
n
项和公式；
2.
能用
等比数列的前
n
项和公式解决实际问题
.
学习过程
一、课前准备
（预习教材
P
55
~
P
56
，
找出疑惑之处）
复习
1
：什么是数列前
n
项和？等差数列的数列前
n
项和公式是什么？
复习
2<
/p>
：已知等比数列中，
a
3
3
，
a
6
81
，求
a
9
,
a
10
.
二、新课导学
※
学习探究
探究任务
：
等比数列的前
n
项和
故事
：“国王对国际象棋的发明者的奖励”
新知
：
等比数列的前
n
项和公式
设等比数列
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
n
它的前
n
项和是
S
n
a
1
a
2
a
3<
/p>
公式的推导方法一：
2
n
2
n
< br>
1
S
n
a
1
a
1
q
a
1
q
a
1
q
a
1
q
< br>则
qS
n
(1
q
)
S
n
当
q
1
时，
S
n
①
或
S
n
②
当
q
=1
时，
S
n
a
n
，公比为
q
≠<
/p>
0
，
公式的推导方法二：
由等比数列的定
义，
a
2
a
3
a
1
a
2
a
n
q
，
a
n
< br>1
有
a
2
a
3
a
n
S
a
1
n
q
，
a
1
a
< br>2
a
n
1
S
n
a
n
即
S
n
a
1
q
.
S
n
a
n
∴
(1
q
)
S
n
a
1
a
n
q
（结论同上）
公式的推导方法三：
S
n
a
1
< br>
a
2
a
3
a
n
＝
a
1
q
(
a
1
a
2
a
3
< br>a
n
1
)
＝
a
1
qS
n
1
＝
a
1
q
(
S
n
a
n
)
.
∴
(1
q
)<
/p>
S
n
a
1
a
n
q
（结论同上）
试试
：求等比数列
※
典型例题
例
1
已知
a
1
=
27
，
a
9
=
1
1
1
，
，
，
…
的前
8
项的和
.
2
4
8
1
，
q
<0
，求这个等比数列前
5
项的和
.
243
变式<
/p>
：
a
1
3
，
a
5
48
.
求此等比数列
的前
5
项和
.
例
2
某商场
今年销售计算机
5000
台，如果平均每年的销售量比上一年的
销售量增加
10%
，
那么从今年起，大
约几年可使总销售量达到
30000
台
(
结果保留到个位
)?
※
动手试试
3
9
练
1.
等比数列中，
a
3
,
S
3
,
求
a
1<
/p>
及
q
.
2
2
练
2.
一个球从
100m
高出处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下，当它
第
10
次着地时，共经过的路程是多少？（精
确到
1m
）
三、总结提升
※
学习小结
1.
等比数列的前
n
项和公式；
2.
等比数列
的前
n
项和公式的推导方法；
3.
“知三求二”问题，即：已知等比数列之
a
1
,
a
n
,
q
,
n
,
S
n
五个
量中任意的三个，列方程组可
以求出其余的两个
.
※
知识拓展
1.
若
q
1
，
m
N<
/p>
*
，则
S
m
,
S
2
m
S
m
,
S
3
m
< br>S
2
m
,
构成新的等比数列，公比为
q
m
.
a
2.
若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个数为
,
a
,
aq
.
若四个
同符号的数成等比
q
a
a
数列，可设这四个数为
3
,
,
aq
,
aq
3
.
q
q
3.
证明等比数列的方法有：
a
（
1
）定义法：
n
1
q
；（
2
）中项法：
a<
/p>
n
1
2
a
n
a
n
2
.
a
n
S
< br>
a
1
4.
< br>数列的前
n
项和构成一个新的数列，可用递推公式
1
表示
.
S
n
S
n
1
a
n
(
n
1)
学习评价
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）
.
A.
很好
B.
较好
C.
一般
D.
较差
※
<
/p>
当堂检测
（时量：
5
分钟
满分：
10
分）
计分
：
1.
数列
1
，
a
，
a
2<
/p>
，
a
3
，…，<
/p>
a
n
1
，…的前
n
项和为（
）
.
1
<
/p>
a
n
1
a
n
1
A.
B.
1
a
1
a
1
a
n
2
C.
D.
以上都不对
1
a
2.
等比数列中，已知
a
1
a
2
20
，
a
3
a
4
4
0
，则
a
5
a
6
（
）
.
A. 30
B. 60
C. 80
D.
160
3.
设
{
< br>a
n
}
是由正数组成的等比数列
，公比为
2
，且
a
1
a
2
a
3
a
30
2
30
，那么
a
3
a
6
a
9
a
30
（
）
.
A.
2
10
B.
2
20
C. 1
D.
2
60
4.
等比数列的各项都是正数，若
a
1
81,
a
5
16
，则它的前
5
项和为
.
5.
等比数列的前
n
项和
S
n
< br>3
n
a
，则
a
＝
.
课后作业
1.
等比数列中，已知
a
1
1,
a
4
< br>64,
求
q
及
< br>S
4
.